Um Estudo Sobre Aplicação do Algoritmo de Euclides Alecio Soares Silva

68 Pages·2014·0.83 MB·Portuguese

UNIVERSIDADEFEDERALDECAMPINAGRANDE
ProgramadePós-GraduaçãoemMatemática
MestradoProfissional-PROFMAT/CCT/UFCG
U
m Estudo Sobre Aplicação do Algoritmo de Euclides
Alecio Soares Silva
TrabalhodeConclusãodeCurso
Orientador: Prof. Dr. Bráulio Maia Junior
CampinaGrande-PB
Agosto/2014
FICHACATALOGRÁFICAELABORADAPELABIBLIOTECACENTRALDAUFCG.
S586e Silva,AlecioSoares.
UmEstudoSobreAplicaçãodoAlgoritmodeEuclides/
AlecioSoaresSilva.
CampinaGrande,2014.
60f.:il.color.
TrabalhodeConclusãodeCurso-UniversidadeFederal
deCampinaGrande,CentrodeCiênciaseTecnologia.
Orientação: Prof. Dr. BráulioMaiaJunior.
Referências.
1. AlgoritmodeEuclides2. MDC3. ReaçõesQuímicas
I.UmEstudoSobreAplicaçãodoAlgoritmodeEuclides.
CDU-510.5(043)
UNIVERSIDADEFEDERALDECAMPINAGRANDE
ProgramadePós-GraduaçãoemMatemática
MestradoProfissional-PROFMAT/CCT/UFCG
U
m Estudo Sobre Aplicação do Algoritmo de Euclides
por
Alecio Soares Silva†
TrabalhodeConclusãodeCursoapresentadoaoCorpoDo-
cente do Programa de Pós-Graduação em Matemática -
CCT - UFCG, na modalidade Mestrado Profissional, como
requisitoparcialparaobtençãodotítulodeMestre.
†BolsistaCAPES
U
m Estudo Sobre Aplicação do Algoritmo de Euclides
por
AlecioSoaresSilva
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Corpo Docente do Programa de Pós-
Graduação em Matemática-CCT-UFCG, Modalidade Mestrado Profissional, como requisito
parcialparaobtençãodotítulodeMestre.
Aprovadopor:
UniversidadeFederaldeCampinaGrande
CentrodeCiênciaseTecnologia
UnidadeAcadêmicadeMatemática
CursodeMestradoProfissionalemMatemáticaemRedeNacional
Agosto/2014
Dedicatória
A meu querido írmão Almicio (in
memorian), por tudo que ele pôde
me proporcionar durante o tempo
queesteveaomeulado,tantoamor,
carinho, atenção, respeito e imensa
dedicação.
v
Agradecimentos
Primeiramente a Deus, pela sua divina misericórdia e por tudo de tão maravilhoso
quantonostemdado.
À minha família, pai , mãe, irmãos, tias pelo companheirismo, apoio e admiração que trans-
cendemnossoslaçossanguíneos.
Prof. Dr. Bráulio Maia Junior, meu orientador, pela sua sabedoria, paciência, pelo modo
respeitosoededicadodeorientar.
Ao Professor Urânio, por toda sua sabedoria, sua disposição, pela incomensurável contri-
buiçãodadanaproduçãodestetrabalho.
Aos Professores Vandenberg Lopes e Rosana Marques por terem aceitado participar da
BancaExaminadora,assimcomoportodacontribuiçãoporelesdada.
A todos meus amigos do Mestrado turma 2012, Flávio, Fernando, Carlos André, Marcos,
Michele, Vandenberg, Damião, Jorge Porto, Jorge Luiz, Edson, Emerson, João, pelos mo-
mentosdetroca,pelagrandeajudaemmomentosdifíceis,portodososmomentosquepude-
moscompartilhar,risosetantocompanheirismo.
A meus amigos Ailton, Francisco, Angélica, Maria, Rosimere, Rostand, Dona Maria pelo
carinho,Força,apoioetodaajudaquepuderamdispor.
À Escola Estadual Walnyza Borborema Cunha Lima pelo apoio e pela liberação parcial de
minhacargahoráriasemanalparaqueeupudessemededicaraoPROFMAT.
Por fim, agradeço à Sociedade Brasileira da Matemática - SBM pelo oferecimento deste
CursoemRedeNacionaleàCAPESpelaconcessãodabolsa.
vi
Resumo
Neste trabalho consideramos o uso de algoritmo de Euclides com o intuito de aplicá-lo de
uma forma interdisciplinar. Para atingir este objetivo construimos o conjunto dos números
naturais,combasenosquatroaxiomasdePeanoeoconjuntodosinteirosporumarelaçãode
equivalênciaespecífica. Alémdisto,fizemosumestudodealgumaspropriedadesaritméticas
dos números inteiros, bem como do magnífico algoritmo de Euclides. Em seguida utiliza-
mosestealgoritmocomoumaferramentaparacalcularomaximodivisorcomum(MDC)de
númerosinteiroseapartirdoMDCestudamosaresoluçãodeequaçõeslinearesdiofantinas,
asquaisforamempregadasparafazerobalanceamentodeReaçõesQuimicas.
Palavras-Chave: AlgoritmodeEuclides. MDC.ReaçõesQuímicas.
vii
Abstract
In this work we consider the use of the Euclid’s algorithm in order to apply it in an inter-
disciplinary way. To achieve this we constructed the set of the natural numbers based on
the four Peano axioms and the set of integers by a specific equivalence relation. Moreover,
wehavestudiedsomearithmeticpropertiesofintegers,aswellasthemagnificentEuclidean
algorithm. We then use this algorithm as a tool to calculate the Greatest Common Divisor
(GCD)ofintegersandfromthisstudytheresolutionofDiophantinelinearequations,which
wereemployedtodothebalanceofChemicalReactions.
Keywords: EuclideanAlgorithm. GCD.ChemicalReaction.
viii
Sumário
1 Introdução 3
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 PúblicoAlvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 UmPoucodeHistóriadaMatemática 6
2.1 EgitoeMesopotâmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 EuclideseosElementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 DiofantoeaArithmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 OÚltimoTeoremadeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 OConjuntoNdosNúmerosNaturais 14
3.1 NúmeroNatural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 OQuartoAxiomadePeano(AxiomadaIndução) . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 AdiçãoeMultiplicaçãodeNúmerosNaturais . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 AOrdemdosNúmerosNaturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 BoaOrdenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 OconjuntoZdosnúmerosinteiros 21
4.1 Relaçãodeequivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 AconstruçãodeZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 AdiçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 PropriedadesdaadiçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 SubtraçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 MultiplicaçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.7 PropriedadesdamultiplicaçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.8 OrdememZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
5 DivisibilidadeemZ 29
5.1 MultiplicidadeeDivisibilidadeemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 AlgoritmodaDivisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 MáximoDivisorComum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 EquaçõesDiofantinas 35
6.1 EquaçõesDiofantinasLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 EquaçõesDiofantinasLinearescomUmaIncógnita . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 EquaçõesDiofantinasLinearescomDuasVariáveis . . . . . . . . . . . . . 36
6.4 EquaçõesDiofantinasLinearescomTrêsVariáveis . . . . . . . . . . . . . 37
7 Congruências 40
7.1 CongruênciaMódulom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 CompatibilidadecomaAdiçãoeaMultiplicação . . . . . . . . . . . . . . 41
7.3 ClassesdeCongruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.4 SistemaCompletodeResíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.5 PropriedadesdaAdiçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
m
7.6 PropriedadesdaMultipliçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
m
7.7 TabelasdeAdiçãoeMultiplicaçãoemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
m
7.8 CongruênciasLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.9 ResolvendoEquaçõesDiofantinasLinearesUtilizandoCongruênciasLineares 45
8 Aplicação 47
8.1 UsandoEquaçõesDiofantinasLinearesComoFerramentanoBalanceamento
deEquaçõesQuímicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9 ConsideraçõesFinais 50
ReferênciasBibliográficas 52
A SoluçãoparaoProblemadoEpitáfiodeDiofanto 54
B OnúmeroZero 55
C OutraDemonstraçãoparaaIdentidadedeBezout 59
2