um curso de geometria analítica e´algebra linear

679 Pages·2009·3.55 MB·Portuguese

UM CURSO DE
´ ´
GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Julho 2009
UmCursodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear
Copyright c 2009byReginaldodeJesusSantos(091118)
⃝
E´ proibidaareproduc¸a˜odestapublicac¸a˜o,oupartedela,porqualquermeio,semapre´via
autorizac¸a˜o,porescrito,doautor.
Editor, CoordenadordeRevisa˜o,SupervisordeProduc¸a˜o,CapaeIlustrac¸o˜es:
ReginaldoJ.Santos
ISBN 85-7470-006-1
FichaCatalogra´fica
Santos,ReginaldoJ.
S237u UmCursodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear/ReginaldoJ.Santos
-BeloHorizonte: ImprensaUniversita´riadaUFMG,2009.
1. A´lgebraLinear 2. GeometriaAnal´ıtica I.T´ıtulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´ do
Prefa´cio vii
1 MatrizeseSistemasLineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜escomMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 PropriedadesdaA´lgebraMatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Aplicac¸a˜o: CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ApeˆndiceI: Notac¸a˜odeSomato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 SistemasdeEquac¸o˜esLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.1 Me´tododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2 MatrizesEquivalentesporLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 SistemasLinearesHomogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 MatrizesElementares(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
iv Conteu´do
2 Inversa˜odeMatrizeseDeterminantes 75
2.1 MatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 PropriedadesdaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.2 MatrizesElementareseInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.3 Me´todoparaInversa˜odeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜oPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.2.1 PropriedadesdoDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.2 MatrizesElementareseoDeterminante(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 126
ApeˆndiceII: Demonstrac¸a˜odoTeorema2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 VetoresnoPlano enoEspac¸o 139
3.1 SomadeVetoreseMultiplicac¸a˜oporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 ProdutosdeVetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.1 NormaeProdutoEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.2 Projec¸a˜oOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.2.3 ProdutoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.2.4 ProdutoMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
ApeˆndiceIII: Demonstrac¸a˜odoitem(e)doTeorema3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4 RetasePlanos 213
4.1 Equac¸o˜esdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.1 Equac¸o˜esdoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.2 Equac¸o˜esdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.2 AˆnguloseDistaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
UmCursodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear Julho2009
Conteu´do v
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5 Espac¸osℝ𝑛 278
5.1 IndependeˆnciaLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.1 OsEspac¸osℝ𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.2 Combinac¸a˜oLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.1.3 IndependeˆnciaLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.1.4 Posic¸o˜esRelativasdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.2 Subespac¸os,BaseeDimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
ApeˆndiceIV: OutrosResultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.3 ProdutoEscalaremℝ𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.1 ProdutoInterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.2 BasesOrtogonaiseOrtonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4 Mudanc¸adeCoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.4.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5.4.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.4.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜oGra´fica-Projec¸a˜oOrtogra´fica . . . . . . . . . . . . . 370
6 Diagonalizac¸a˜o 382
6.1 Diagonalizac¸a˜odeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.1.2 AutovaloreseAutovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
6.1.3 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.2 Diagonalizac¸a˜odeMatrizesSime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.2.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Julho2009 ReginaldoJ.Santos
vi Conteu´do
6.2.2 MatrizesOrtogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
ApeˆndiceV: AutovaloresComplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.3 Aplicac¸a˜o: Identificac¸a˜odeCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
6.3.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
RespostasdosExerc´ıcios 474
Bibliografia 656
´Indice Alfabe´tico 661
UmCursodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear Julho2009
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
ministrado nos primeiros semestres para estudantes da a´rea de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas
na˜oe´ necessa´rio,seracompanhadodeumprogramacomoo MATLABⓇ ∗,SciLabouoMaxima.
Oconteu´doe´ divididoemseiscap´ıtulos. OCap´ıtulo1tratadasmatrizesesistemaslineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´
feitausandosomenteome´tododeGauss-Jordan(transformandoamatrizate´ queelaestejanaforma
escalonadareduzida). Esteme´todorequermaistrabalhodoqueome´tododeGauss(transformandoa
matriz,apenas,ate´ queelaestejanaformaescalonada). Elefoioescolhido,porquetambe´me´ usado
noestudodainversa˜odematrizesnoCap´ıtulo2. NesteCap´ıtuloe´ tambe´mestudadoodeterminante,
que e´ definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a
crite´riodoleitor,feitassomenteparamatrizes3 3.
×
OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoressa˜odefinidosdeformageome´trica,
assim como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas propriedades geometrica-
∗MATLABⓇe´ marcaregistradadeTheMathworks,Inc.
vii
viii Conteu´do
mente. Depois sa˜o introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da
definic¸a˜odebase. Osprodutosescalarevetorialsa˜odefinidostambe´mgeometricamente. OCap´ıtulo
4trataderetaseplanosnoespac¸o. Sa˜oestudadosaˆngulosedistaˆnciasentreretaseplanos.
OCap´ıtulo5cobreateoriadosespac¸oseuclidianos. Oconceitodedependeˆnciaeindependeˆncia
linear e´ introduzido de forma alge´brica, acompanhado da interpretac¸a˜o geome´trica para os casos de
ℝ2 eℝ3. Aquisa˜oestudadasasposic¸o˜esrelativasderetaseplanoscomoumaaplicac¸a˜odoconceito
de dependeˆncia linear. Sa˜o tambe´m tratados os conceitos de geradores e de base de subespac¸os.
Sa˜oabordadostambe´moprodutoescalarebasesortonormais. OCap´ıtuloe´ terminadocommudanc¸a
decoordenadaspreparandoparaoCap´ıtulodediagonalizac¸a˜o.
OCap´ıtulo6trazumestudodadiagonalizac¸a˜odematrizesemgeralediagonalizac¸a˜odematrizes
sime´tricasatrave´sdeummatrizortogonal. E´ feitaumaaplicac¸a˜oaoestudodassec¸o˜escoˆnicas.
Os exerc´ıcios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exerc´ıcios Nume´ricos”, que conte´m
exerc´ıcios que sa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-
putador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que conte´m exerc´ıcios que reque-
rem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o simples, outros sa˜o mais complexos. Os mais dif´ıceis complemen-
tam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABⓇ”,
que conte´m exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABⓇ ou outro software. Os comandos
necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios sa˜o tambe´m fornecidos juntamente com uma explicac¸a˜o
ra´pida do uso. Os exerc´ıcios nume´ricos sa˜o imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸a˜o dos outros, de-
pendedon´ıveledosobjetivospretendidosparaocurso.
O MATLABⓇ e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLABⓇ = MATrix LABo-
ratory). Os comandos do MATLABⓇ sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alge´bricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s func¸o˜es pre´-definidas,
pacotes de func¸o˜es para tarefas espec´ıficas. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direci-
onadas para o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido na web na pa´gina do
UmCursodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear Julho2009
Prefa´cio ix
autor,assimcomoumtextocomumaintroduc¸a˜oao MATLABⓇ einstruc¸o˜esdecomoinstalaropacote
gaal. O MATLABⓇ na˜o e´ um software gratuito, embora antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se
comprar o guia do usua´rio. Atualmente o SciLab e´ uma alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo
simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados
como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Na pa´gina do
autornawebpodemserencontradospacotesdefunc¸o˜esparaestesprogramasale´mdelinksparaas
pa´ginasdoSciLabedoMaximaeva´riaspa´ginasinterativasquepodemauxiliarnaaprendizagem.
No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo” para que o aluno possa avaliar os seus
conhecimentos. Os Exerc´ıcios Nume´ricos e os Exerc´ıcios usando o MATLABⓇ esta˜o resolvidos apo´s
o u´ltimo cap´ıtulo utilizando o MATLABⓇ. Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o
software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse,
podeficarsabendocomoosexerc´ıciospoderiamserresolvidosfazendousodoMATLABⓇ edopacote
gaal.
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e su-
gesto˜es,entreelesJoanaDarcA.S.daCruz,FranciscoDutenhefner,JorgeSabatucci,SemeGebara,
Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado, Helder C. Rodri-
gues,NikolaiA.Goussevskii,IsraelVainsencher,LeopoldoG.Fernandes,RodneyJ.Biezuner,Wilson
D. Barbosa, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Roge´rio S. Mol, Denise Burgarelli, Paulo C. de
Lima, Jose´ Barbosa Gomes, Francisco Satuf, Viktor Beckkert, Moacir G. dos Anjos, Daniel C. de
Morais Filho, Michel Spira, Dan Avritzer, Maria Laura M. Gomes, Armando Neves, Maria Cristina C.
FerreiraeKennedyPedroso.
Histo´rico
Julho2009 ReginaldoJ.Santos
x Prefa´cio
Julho 2009 Algumascorrec¸o˜es. Va´riasfigurasforamrefeitas.
Julho 2007 Algumascorrec¸o˜es. Asrespostasdealgunsexerc´ıciosforamreescritas.
Marc¸o2007 Va´riasfigurasforamrefeitaseoutrasacrescentadas. ForamreescritosoExemplo3.12e
oCorola´rio3.10. Nasec¸a˜o5.2umexemplofoireescritoeacrescentadomaisum. OsExemplos
5.25 e 5.26 foram reescritos, sa´ıram do apeˆndice e voltaram ao texto normal. A sec¸a˜o 5.4 de
Mudanc¸a de Coordenadas foi reescrita e acrescentada uma aplicac¸a˜o a` computac¸a˜o gra´fica.
Foramacrescentadosdoisexerc´ıciosnasec¸a˜odeMatrizes,umnadeInversa˜odeMatrizes,um
na sec¸a˜o de Determinantes, dois na de Produto de Vetores, um na de Subespac¸os, um na de
Produto Escalar em ℝ𝑛, treˆs na de Mudanc¸a de Coordenadas, quatro na de Diagonalizac¸a˜o e
umnadeDiagonalizac¸a˜odeMatrizesSime´tricas. Foramcorrigidosalgunserros.
Julho 2006 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na pa´gina 122. A sec¸a˜o 3.2 ’Produtos de Vetores’
foi reescrita. Foi acrescentado um exerc´ıcio na sec¸a˜o 4.2. O Cap´ıtulo 5 foi reescrito. Foram
corrigidosalgunserros.
Marc¸o2006 ASec¸a˜o1.1deMatrizeseaSec¸a˜o2.2deDeterminantesforamreescritas. Nasec¸a˜o1.2
oTeorema1.4voltouaserquetodamatrize´ equivalenteporlinhasaumau´nicamatriznaforma
escalonada reduzida. Foram acrescentados va´rios exerc´ıcios aos Cap´ıtulos 3 e 4. O Cap´ıtulo
5foireescrito. Foramacrescentadosexerc´ıciosteo´ricosa` sec¸a˜o’Aplicac¸a˜oa` Coˆnicas’.
Julho 2004 Foram acrescentadas aplicac¸o˜es a` criptografia (Exemplo na pa´gina 96) e a cadeias de
Markov(Exemplos1.9napa´gina16,1.16napa´gina53e6.8napa´gina402). Foiacrescentado
um exerc´ıcio na sec¸a˜o 1.1. O Teorema 1.4 agora conte´m as propriedades da relac¸a˜o “ser
equivalente por linhas” com a demonstrac¸a˜o. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o
lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. No Cap´ıtulo 3 foram acrescentados 2
UmCursodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear Julho2009