Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear

604 Pages·2012·2.24 MB·Portuguese

by  Reginaldo J. Santos

UM CURSO DE
´ ´
GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
Novembro 2002
Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Copyright c 2002 by Reginaldo de Jesus Santos
(cid:176)
Nenhuma parte desta publicac¸˜ao poder´a ser reproduzida por qualquer meio sem a pr´evia
autorizac¸˜ao, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revis˜ao, Supervisor de Produc¸˜ao, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-006-1
Ficha Catalogr´afica
Santos, Reginaldo J.
S237u Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2002.
1. A´lgebra Linear 2. Geometria Anal´ıtica I. T´ıtulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´do
Pref´acio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Apˆendice I: Notac¸˜ao de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.1 M´etodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
iii
iv Conteu´do
2 Invers˜ao de Matrizes e Determinantes 71
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.3 M´etodo para Invers˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 118
Apˆendice II: Demonstrac¸˜ao do Teorema 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 130
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸˜ao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2.2 Projec¸˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4 Retas e Planos 203
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2 Aˆngulos e Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2.2 Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Novembro 2002
Conteu´do v
5 Espac¸os Euclidianos 267
5.1 Independˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.1.1 Os Espac¸os Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.1.2 Combinac¸˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.1.3 Independˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.1.4 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.2 Subespac¸os, Base e Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.3 Produto Escalar em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.3.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.4.1 Rotac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
5.4.2 Translac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6 Diagonalizac¸˜ao 347
6.1 Diagonalizac¸˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.1.1 Motivac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.1.3 Diagonalizac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.2 Diagonalizac¸˜ao de Matrizes Sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.2.1 Motivac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
Apˆendice III: Demonstrac¸˜ao do Teorema 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.3 Aplicac¸˜ao na Identificac¸˜ao de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Novembro 2002 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.3.2 Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.3.3 Par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Respostas dos Exerc´ıcios 420
Bibliografia 583
´Indice Alfab´etico 587
Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Novembro 2002
Pref´acio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
ministrado nos primeiros semestres para estudantes da ´area de Ciˆencias Exatas. O texto pode, mas
n˜ao ´e necess´ario, ser acompanhado do programa Matlab(cid:114) .
∗
O conteu´do ´e dividido em seis cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares.
Aqui todas as propriedades da ´algebra matricial s˜ao demonstradas. A resoluc¸˜ao de sistemas lineares
´e feita usando somente o m´etodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz at´e que ela esteja
na forma escalonada reduzida). Este m´etodo requer mais trabalho do que o m´etodo de Gauss
(transformando a matriz, apenas, at´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por
que tamb´em ´e usado no estudo da invers˜ao de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb´em
estudado o determinante, que ´e definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste
cap´ıtulo podem ser, a crit´erio do leitor, feitas somente para matrizes 3 3.
×
OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoress˜aodefinidosdeformageom´etrica,
∗Matlab(cid:114) ´e marca registrada de The Mathworks, Inc.
vii
viii Conteu´do
assim como a soma e a multiplicac¸˜ao por escalar. S˜ao provadas algumas propriedades geometri-
camente. Depois s˜ao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade
da definic¸˜ao de base. Os produtos escalar e vetorial s˜ao definidos tamb´em geometricamente. O
Cap´ıtulo 4 trata de retas e planos no espac¸o. S˜ao estudados ˆangulos e distˆancias entre retas e
planos.
O Cap´ıtulo 5 cobre a teoria dos espac¸os euclidianos. O conceito de dependˆencia e independˆencia
linear ´e introduzido de forma alg´ebrica, acompanhado da interpretac¸˜ao geom´etrica para os casos de
R2 e R3. Aqui s˜ao estudadas as posic¸o˜es relativas de retas e planos como uma aplicac¸˜ao do conceito
dedependˆencialinear. S˜aotamb´emtratadososconceitosdegeradoresedebasedesubespac¸os. S˜ao
abordados tamb´em o produto escalar e bases ortonormais. O Cap´ıtulo ´e terminado com mudanc¸a
de coordenadas preparando para o Cap´ıtulo de diagonalizac¸˜ao.
OCap´ıtulo6trazumestudodadiagonalizac¸˜aodematrizesemgeralediagonalizac¸˜aodematrizes
sim´etricas atrav´es de um matriz ortogonal. E´ feita uma aplicac¸˜ao ao estudo das sec¸o˜es coˆnicas.
Osexerc´ıciosest˜aoagrupadosemtrˆesclasses. Os“Exerc´ıciosNum´ericos”, quecont´emexerc´ıcios
que s˜ao resolvidos fazendo c´alculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de
uma m´aquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que cont´em exerc´ıcios que requerem demons-
trac¸o˜es. Alguns s˜ao simples, outros s˜ao mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria
e geralmente s˜ao acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o Matlab(cid:114)”, que cont´em
exerc´ıcios para serem resolvidos usando o Matlab(cid:114) ou outro software. Os comandos necess´arios
a resoluc¸˜ao destes exerc´ıcios s˜ao tamb´em fornecidos juntamente com uma explicac¸˜ao r´apida do uso.
Os exerc´ıcios num´ericos s˜ao imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸˜ao dos outros, depende do n´ıvel e
dos objetivos pretendidos para o curso.
O Matlab(cid:114) ´e um software destinado a fazer c´alculos com matrizes (Matlab(cid:114) = MATrix
LABoratory). OscomandosdoMatlab(cid:114) s˜aomuitopro´ximosdaformacomoescrevemosexpresso˜es
alg´ebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados `as rotinas pr´e-definidas,
Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Novembro 2002
Pref´acio ix
pacotes para c´alculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que s˜ao direcionadas para
o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido atrav´es da internet no enderec¸o
http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introduc¸˜ao ao Matlab(cid:114) e
instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Mais informac¸o˜es sobre o que o Matlab(cid:114) ´e capaz,
podem ser obtidas em [4, 27].
No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo” para que o aluno possa avaliar os seus
conhecimentos. Os Exerc´ıcios Num´ericos e os Exerc´ıcios usando o Matlab(cid:114) est˜ao resolvidos apo´s
o u´ltimo cap´ıtulo utilizando o Matlab(cid:114). Desta forma o leitor que n˜ao estiver interessado em
usar o software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum
interesse, pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do Matlab(cid:114)
e do pacote gaal.
O programa Matlab(cid:114) pode ser adquirido gratuitamente na compra do Guia do Usu´ario em
inglˆes[27],porexemplo,nalivrariaBlackwell’s(http://bookshop.blackwell.co.uk)ounaAma-
zon.com (http://www.amazon.com).
Gostaria de agradecer a todos os professores que nos u´ltimos anos adotaram edic¸o˜es anteriores
deste texto em particular aos professores Renato Pedrosa da UNICAMP, Rosa Maria S. B. Chaves
da USP-SP, Lana Mara R. dos Santos da UFV e Ana Tucci de Carvalho da PUC-MG. Gostaria de
agradecer tamb´em aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e sugesto˜es,
entre eles Dan Avritzer, Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci, Seme
Gebara, Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado, Helder
C. Rodrigues, Nikolay A. Goussevskii, Israel Vainsencher, Leopoldo G. Fernandes, Rodney J. Biezu-
ner, Wilson D. Barbosa, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Rog´erio S. Mol, Denise Burgarelli,
Paulo C. de Lima, Jos´e Barbosa Gomes, Moacir G. dos Anjos, Daniel C. de Morais Filho, Maria
Laura M. Gomes e Maria Cristina C. Ferreira.
Novembro 2002 Reginaldo J. Santos
x Pref´acio
Hist´orico
Edic¸˜ao Descric¸˜ao
Novembro 2002 V´arias correc¸o˜es incluindo respostas de exerc´ıcios. A sec¸˜ao
’Subespac¸os, Base e Dimens˜ao’ ganhou mais um exem-
plo e um exerc´ıcio. A sec¸˜ao ’Diagonalizac¸˜ao de Matrizes
Sim´etricas’ ganhou mais um exemplo.
Junho 2002 Reimpress˜ao.
Janeiro 2002 A sec¸˜ao ’Mudanc¸as de Coordenadas’ foi reescrita.
Julho 2001 Revis˜ao completa no texto. Novos exerc´ıcios nas sec¸o˜es
’Matrizes’ e ’Sistemas Lineares’. As sec¸o˜es ’Subespac¸os’ e
’Base e Dimens˜ao’ tornaram-se uma so´. A sec¸˜ao ’Mudanc¸a
de Coordenadas’ passou do Cap´ıtulo 6 para o Cap´ıtulo 5.
Fevereiro 2001 Reimpress˜ao.
Julho 2000 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e A´lgebra
Linear’ para ser usado numa disciplina de 4 horas semanais
de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear.
Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Novembro 2002