Übungsbuch zur Numerischen Mathematik: Typische Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen zur Numerik und zum Wissenschaftlichen Rechnen PDF
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Jurgen Herzberger Obungsbuch zur Numerischen Mathematik Aus dem Programm_ ______ Mathematik Otto Forster Analysis I Qtto Forster / Rudiger Wessoly Ubungsbuch zur Analysis I Otto Forster Analysis 2 Otto Forster / Thomas Szymczak Ubungsbuch zur Analysis 2 Gerd Fischer Lineare Algebra Hannes Stoppel/Birgit Griese Ubungsbuch zur Linearen Algebra Gerhard Opfer Numerische Mathematik fur Anfanger Jochen Werner Numerische Mathematik Bd. 1 und 2 Helmut Spath Numerik Vievveg ________________________ ~ Jurgen Herzberger iibungsbuch zur NUlllerischen Malhelllalik Typische Aufgaben mit ausgearbeiteten Losungen zur Numerik und zum Wissenschaftlichen Rechnen I I Vlewag Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Herzberger, Jurgen: Obungsbuch zur numerischen Mathematik: typische Aufgaben mit ausgeorbeiteten Losungen zur Numerik und zum wissenschaftlichen Rechnen / Jurgen Herzberger. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1998 ISBN 978-3-528-06948-3 Prof. Dr. Jurgen Herzberger Fachbereich 6 Mathematik Carl von Ossietzky UniversitCit Oldenburg Postfach 2503 26111 Oldenburg E-mail: [email protected] Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1998 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Dos Werk einschlieBlich oller seiner Teile ist urheberrechtlich geschUtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuicissi9. und strafbar. Dos gilt insbesondere fur Vervielfalti gungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspei cherung und Verorbeitung in elektronischen Systemen. http://www.vieweg.de Umschlag: Klaus Birk, Wiesbaden Satz: Christiane BuBelmonn, Oldenburg Gedruckt auf saurelreiem Papier ISBN-13: 978-3-528-06948-3 8-ISBN-13: 978-3-322-83138-5 001: 10.1007/978-3-322-83138-5 VORWORT Das vorliegende Ubungsbuch zur Numerischen Mathematik wendet sich an Horer einer einftihrenden Vorlesung in die Numerik etwa ab dem dritten Se mester. Es stellt in seiner Art ein Novum auf dem deutschen Fachbuchmarkt dar, da so1che Ubungsbticher bisher vereinzelt nur zu Vorlesungen, wie etwa tiber die Einftihrnng in die Analysis, Lineare Algebra oder Hohere Mathematik, bekannt sind. Dieses Ubungsbuch deckt in etwa den Standardstoff einer Einftih rung in die Numerik ab -ausgenommen die Numerik von Differentialgleiehun gen -wie er in allen gangigen deutschsprachigen Lehrbtichem behandelt wird. Es ist also nieht auf ein bestimmtes Lehrbuch abgestellt. Das Ubungsbuch ist in acht Paragraphen gegliedert, die jeweiligen Standard stoffgebieten der Numerik entsprechen. Jedem Abschnitt mit Ubungsaufgaben ist eine kurze, tabellarisehe Aufziihlung des zugrundeliegenden Stoffes voran gestellt urn die in den folgenden Aufgaben mit Losung verwendeten Begriffe und Verfahren eindeutig zu eharakterisieren. Diese kurzen Absehnitte sollen kein Lehrbueh in Kurzform sein, konnen aber dennoeh als unvollstandiges Re petitorium tiber die jeweiligen Gebiete genutzt werden. Das eigentliehe Ubungsbueh besteht dann aus einer gesammelten Auswahl von Ubungsauf gaben, we1che mehr oder weniger theoretiseher Natur sind. Jede Aufgabe ist mit einem ausfiihrliehen Losungsvorsehlag versehen. Es wurde versueht die Wie dergabe analoger Ubungsaufgaben zu vermeiden. Jede Ubung zur Numerisehen Mathematik stellt aber aueh ein Teil an praktiseher Programmieriibung dar. Es wurde bewuBt auf die Aufnahme derartiger Reehenaufgaben verziehtet. Der Grund dafiir ist, daB bekanntermaBen die Losungen, soweit sie in Zahlform an fallen, stets yom verwendeten Rechner oder aueh Compiler abhangig sind. Des halb kame hier dann nieht mehr die zweiwertige 'Aufgabenlogik', namlieh riehtig oder falsch, zur Anwendung. Insbesondere ist. das der Fall bei dem ersten Paragraphen tiber Gleitkommaeffekte, die jeweils dem Reehner oder Compiler VI Vorwort angepaBte Datenvorgaben in den Aufgabenstellungen erfordem wUrden. Man bekame also ein Ubungsbuch, das auf einen bestimmten Rechner zugeschnitten ware. Dies ist aber in keiner Weise wUnschenswert, zumal Rechner wie auch Compiler sehr schnell einem Wechsel unterworfen sind. AuBerdem solI nicht verschwiegen werden, daB es fUr alle gangigen numerischen Algorithmen, ab gesehen von ausgefallenen Varianten, schon entsprechende Programmesamm lungen gibt. Ihnen solI mit diesem Ubungsbuch keine Konkurrenz gemacht werden. Das vorliegende Ubungsbuch soIl vielmehr eine echte LUcke auf dem Lehrbuchmarkt schlieBen und nicht schon vorhandenen iihnlichen BUchem ein weiteres hinzufUgen. Die Behandlung der Numerik der Differentialgleichungen wurde bewuBt ausgespart. Das Ubungsbuch ist als Begleitbuch zu einer ein semestrigen Einfiihrnng gedacht, da in der Regel nur ein Ubungsschein in Numerik erworben werden muB. Namrlich kann selbst eine solche einse mestrige Vorlesung auch kurz auf die Numerik der Differentialgleichungen ein gehen. Das bedingt jedoch wegen der KUrze der dafUr zur VerfUgung stehenden Zeit eine starke Selektion der Stoffauswahl. Urn moglichst viele solche Mog lichkeiten abzudecken, mtiBte aber dieses Gebiet in groBer Breite durch ent sprechende Musteraufgaben behandelt werden. Dies wUrde dann aber zwangs laufig zu einem Ungleichgewicht im Verhiiltnis zu den anderen Gebieten ftih ren. Vielerorts ist es Ublich, die Numerik der Differentialgleichungen in einer eigenen Vorlesung (etwa als Numerische Mathematik II) zu bringen und somit erscheint es als angebracht ein separates Ubungsbuch dartiber zusammen zu stellen. Das vorliegende Ubungsbuch setzt einige, kleinere Schwerpunkte, die in den meisten LehrbUchem eher kurz oder kaum behandelt werden. So nehmen etwa die Gleitkommarechnung und die Bestimmung der Konvergenzordnung sowie der BANACHsche Fixpunktsatz einen etwas breiteren Rahmen als Ublich ein. Dabei liiBt sich nicht verleugnen. daB der Autor selbst eine 'Einftihrnng in das wissenschaftliche Rechnen' in iihnlicher Art verfaBt hat und auch als Vorle sungsgrundlage benutzt. Das Buch eignet sich somit auch als Erganzung zu Vorlesungen, die unter diesem Titel angeboten werden. vn Vorwort Grundlage der Aufgabensammlung dieses Ubungsbuches war das breite Reper toire an Ubungsaufgaben, welche der Autor in seiner langjiihrigen Vorlesungs und Ubungstatigkeit an der Universitat Oldenburg verwendet hat. Dabei flossen auch einige Ubungsaufgaben ein, welche auf die Kollegen Professor Dr. Gotz Alefeld (seinerzeit TU Berlin) und Professor Dr. Helmuth Spath (ebenfalls Ol denburg) zuriick gehen. Letzterer hat ebenfalls ein Lehrbuch tiber 'Nurnerik' verfaBt, das aber keine Aufgaben enthiilt. Einige Aufgaben sind iihnlich abge faBt, wie in den in der Literaturliste angegebenen Lehrbtichern, meist aber dem vorliegenden Zwecke angepaBt. Da vielfach Ubungsaufgabentypen durch den Stoff bereits grob vorgegeben sind, liillt sich dieser geschilderte Sachverhalt schwerlich vermeiden. Es wurde aber versucht sowohl in der Auswahl der Auf gaben, in der Art der LOsungsvorschlage als auch in der Gesamtdarstellung ein neues originelles Buch zu schaffen. Vieles blieb dabei notgedrungen ausge klammert, da es nur in einigen Lehrbtichern abgehandelt wird und daher fUr ein allgemeines Ubungsbuch nicht von gro8er Bedeutung ist. Dieses Ubungsbuch ist absichtlich nicht als vollstiindige Auswahl abgefaBt, sondern solI lediglich eine Hilfe fUr einen GroBteil der Ubungsaufgaben zu einer Numerikvorlesung sein. An dieser Stelle mOchte ich einigen Personen meinen Dank fUr die Hilfe und Unterstiitzung bei der Abfassung und Erstellung des Manuskriptes zu diesem Ubungsbuch aussprechen. Zunachst danke ich vielmals Frau Christiane BtiBel mann, die mit viel Geschick und Hingabe das druckfertige Manuskript aus einer nicht immer iibersichtlichen Vorlage erstellt hat. Bei dieser Art von Buch kann man meines Erachtens dies ruhig als den Hauptanteil am Entstehen des Buches bezeichnen. Daneben mochte ich Herrn Professor Dr. Gtinter Mayer (Rostock) fUr die Durchsicht der Rohfassung des Manuskriptes zu diesem Buch und die dabei gemachten Verbesserungsvorschlage und Hinweise auf Fehler danken. Dem Vieweg Verlag mit Frau Schmickler-Hirzebruch als zustiindige Lektorin, mochte ich fUr die verstiindnisvolle Bereitschaft zur Herausgabe dieses VIII Vorwort Ubungsbuches danken, das als ein Experiment auf dem Fachbuchmarkt ange sehen werden kann. Es bleibt aus meiner Sicht zu hoffen, daB eine moglichst weite und lange Verbreitung dieses Ubungsbuches die Miihen aller am Ent stehen des Buches Beteiligten belohnen wird. Oldenburg, September 1997 Jiirgen Herzberger INHALTSVERZEICHNIS VORWORT V INHALTSVERZEICHNIS IX §1 Rechnerarithmetik 1.1 Grundbegriffe l.2 Aufgaben zur Rundung und Rechnerarithmetik 4 1.3 Summationsverfahren in Gleitkommaarithmetik 8 1.4 Aufgaben zu Summationsalgorithmen 9 l.5 Rundungsfehler in arithmetischen Ausdriicken - subtrak- tive AuslOschung 16 l.6 Aufgaben zur Auswertung arithmetischer Ausdriicke 17 §2 Polynome und Interpolation 23 2.1 Polynome 23 2.2 Aufgaben zu Polynomen 23 2.3 Polynominterpolation 27 2.4 Aufgaben zur Polynominterpolation 29 2.5 Spline-Interpolation 37 2.6 Aufgaben zur Spline-Interpolation 38 §3 Numerische Differentiation und RICHARDsoN-Extrapolation 41 3.1 Numerische Differentiation 41 3.2 Aufgaben zur numerischen Differentiation 42 3.3 RICHARDSON-Extrapolation 44 3.4 Aufgaben zur RICHARDSON-Extrapolation 45 §4 Numerische Integration 49 4.1 NEWTON-CoTEs-Formeln 49 4.2 Aufgaben zu NEWTON-COTES-Formeln 50 x Inhaltsverzeichnis 4.3 Methode der unbestimmten Koeffizienten 56 4.4 Aufgaben zur Methode der unbestimmten Koeffizienten 57 § 5 BANAcHScher Fixpunktsatz, sukzessive Substitution und Konvergenzordnung 63 5.1 BANAcHscher Fixpunktsatz 63 5.2 Aufgaben zum BANAcHschen Fixpunktsatz und zur suk zessiven Substitution 64 5.3 Konvergenzordnung von lterationsverfahren 72 5.4 Aufgaben zur Konvergenzordnung von Interationsver- fahren 73 § 6 NichtIineare Gleichungen 79 6.1 Uisungsverfahren fUr nichtlineare Gleichungen 79 6.2 Aufgaben zur Losung von nichtlinearen Gleichungen 80 6.3 Polynomwurzelbestimmung 87 6.4 Aufgaben zur Polynomwurzelbestimmung 87 § 7 Matrixanalysis und Normen 93 7.1 Hilfsrnittel aus der Matrixanalysis 93 7.2 Aufgaben zur Matrixanalysis 93 7.3 Vektor-und Matrixnormen 97 7.4 Aufgaben zu Vektor-und Matrixnormen 99 § 8 Lineare Gleichungssysteme 115 8.1 Uisungsmethoden fUr lineare Gleichungssysteme 115 8.2 Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen 117 LITERATURVERZEICHNIS 127 STICHWORTVERZEICHNIS 131
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