Übungsbuch zur numerischen Mathematik: Aufgaben, Lösungen und Anwendungen

223 Pages·2010·2.19 MB·German

by  Dr. Robert Plato (auth.)

RobertPlato
ÜbungsbuchzurnumerischenMathematik
Robert Plato
Übungsbuch zur
numerischen
Mathematik
Aufgaben, Lösungen und Anwendungen
2., überarbeitete Auflage
STUDIUM
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Dr.RobertPlato
FachbereichMathematik
UniversitätSiegen
Walter-Flex-Straße3
57068Siegen
E-Mail:[email protected]
1. Auflage2004
2.,überarbeiteteAuflage2010
AlleRechtevorbehalten
©Vieweg+Teubner |GWVFachverlageGmbH,Wiesbaden2010
Lektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|NastassjaVanselow
Vieweg+TeubneristTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia.
www.viewegteubner.de
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Umschlaggestaltung:KünkelLopkaMedienentwicklung,Heidelberg
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
PrintedinGermany
ISBN978-3-8348-1212-4
v
Vorwort zur zweiten Auflage
Für diese Neuauflage habe ichAktualisierungen, Korrekturenund stilistischeÄnde-
rungenvorgenommen,außerdemsindeinigeAufgabenunddazugehörigeLösungen
hinzugekommen.
Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau Vanselow vom Verlag Vieweg/Teubner
möchte ich für die gewohnt gute Zusammenarbeit und Verbesserungsvorschläge
danken. Hinweise zu diesem Lehrbuch erreichen mich nun unter der Email-Adresse
[email protected].
Siegen,imDezember 2009 RobertPlato
Vorwort zur ersten Auflage
In dem vorliegenden Buch werden Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik
unddiedazugehörigenLösungswegevorgestellt.Dabeiwerdendiefolgendengrund-
legendenThemenbehandelt:
(cid:2) Interpolation,schnelleFouriertransformationundIntegration,
(cid:2) direkteunditerativeLösunglinearerGleichungssysteme,
(cid:2) iterativeVerfahrenfürnichtlineareGleichungssysteme,
(cid:2) numerischeLösungvonAnfangs-undRandwertproblemen
beigewöhnlichenDifferenzialgleichungen,
(cid:2) undEigenwertaufgabenbeiMatrizensowieApproximationstheorie.
Die in Vorlesungen oder durch ein Selbststudium erlernten Kenntnisse zu diesen
Themen lassensichdurchdiehier vorgestelltenÜbungsaufgaben vertiefen, und die
dazugehörigenLösungswegesolleneineLernkontrolleermöglichen.
IndemerstenTeildesBuchessinddieÜbungsaufgabenformuliert,darunterauch
einigeProgrammieraufgaben. Außerdem werden indiesem erstenTeil nochAnwen-
dungenderdiskretenFouriertransformationinderAudio-undBildkompressionvor-
gestellt.
Im zweiten Teil des Buches finden Sie dann vollständige Lösungen zu den im
ersten Teil vorgestellten Übungsaufgaben. Die Ergebnisse zu den Programmierauf-
gaben sind allerdings aus Platzgründen zumeist nur teilweise wiedergegeben. Esist
noch zu beachten, dass diese numerischen Ergebnisse je nach verwendeter Hard-
und Software geringfügigvariieren können. Auf die Angabe der zugehörigen Codes
(diemeistendavonsindvonmirinCoderMatlabbeziehungsweiseOctaveerstellt
worden) wird ebenfalls aus Platzgründen verzichtet. Diese finden Sie teilweise auf
derzudemvorliegendenÜbungsbuchgehörendenWebpage
http://www.math.tu-berlin.de/numerik/plato/viewegbuch.
vi Vorwort
DortwirdaucheineListedereventuell anfallenden KorrekturenzudiesemÜbungs-
bucherstellt.
Die vorgestellten “theoretischen Übungsaufgaben“ (damit sind alle Aufgaben bis
auf die Programmieraufgaben gemeint) sind in erster Linie für Studierende der
Mathematik-, Physik-und Informatik-Studiengänge an Universitäten gedacht. Bei ei-
nigen der Aufgaben handelt es sich um reine Rechenaufgaben, die auch für andere
Studiengänge geeignet sind. Die verwendeten Notationen und Lösungshinweise ori-
entierensichandemBuch[26].Allerdingshandeltesweitgehendumstandardisierte
Bezeichnungen,sodassdieÜbungsaufgabenundderenLösungenauchgutinBeglei-
tungzuandereneinführendenMonografienüberNumerikeinsetzbarseinsollten.
Diemeistenderhier vorgestelltenÜbungsaufgabensindvonmir alsbetreuender
Assistent in Numerikvorlesungen an der TU Berlin verwendet worden. Einige dieser
AufgabenhabeichdabeiausfrüherenLehrveranstaltungen übernommenundstam-
men nicht vonmir. Ein paar der indiesem Buch verwendeten Übungsaufgaben sind
dann noch an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel entstanden, wo ich in den
Jahren2000bis2002Numerikvorlesungengehaltenhabe.
Ich möchte abschließend Dipl. Math. Oliver Pfeiffer danken, der das Manuskript
gelesen und viele wertvolle Verbesserungsvorschläge gemacht hat. Selbstverständ-
lichsindaberalleindiesemÜbungsbuchauftretendeninhaltlichenundstilistischen
Mängel mir anzulasten. Dem DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüssel-
technologien“ (FZT86) in Berlin danke ich für Unterstützung und Frau Schmickler-
HirzebruchsowieFrauRußkampvomViewegVerlagfürdieangenehmeZusammen-
arbeit.
Berlin,imAugust2004 RobertPlato
vii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
I Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Polynominterpolation – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Splinefunktionen– Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 DiskreteFouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 DiskreteCosinustransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Audiokompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 Audiosignale,Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 Speicherplatzbetrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.3 AudioaufzeichnunginkomprimierterForm . . . . . . . . . . . . 15
3.3.4 DieDekodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.5 MP3-Dateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 ZweidimensionalediskreteFouriertransformation. . . . . . . . . . . . 18
3.5 ZweidimensionalediskreteCosinustransformation . . . . . . . . . . . 21
3.6 KompressiondigitalerBilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Speicherplatzbetrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.2 DasKomprimierungsformatJPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.3 EinBeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 KompressiondigitalerVideodateien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 LineareGleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 NichtlineareGleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 34
6 NumerischeIntegration – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 EinschrittverfahrenfürAnfangswertprobleme – Aufgaben. . . . . . . . 39
8 MehrschrittverfahrenfürAnfangswertprobleme – Aufgaben . . . . . . . 43
9 RandwertproblemebeigewöhnlichenDifferenzialgleichungen– Aufgaben. . 51
10Gesamtschritt-, Einzelschritt-undRelaxationsverfahren zurLösunglinearer
Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11VerfahrenderkonjugiertenGradienten,undGMRES-Verfahren– Aufgaben . 61
12Eigenwertprobleme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13NumerischeVerfahrenfürEigenwertprobleme – Aufgaben . . . . . . . 66
14Peano-Restglieddarstellung – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 69
15Approximationstheorie – Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
viii Inhaltsverzeichnis
II Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1 Polynominterpolation – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2 Splinefunktionen– Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 DiskreteFouriertransformation– Lösungen. . . . . . . . . . . . . . 90
4 LineareGleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 NichtlineareGleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . 120
6 NumerischeIntegration – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 ExpliziteEinschrittverfahrenfürAnfangswertproblemebeigewöhnlichenDif-
ferenzialgleichungen– Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differen-
zialgleichungen– Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 RandwertproblemebeigewöhnlichenDifferentialgleichungen – Lösungen . 159
10Gesamtschritt-, Einzelschritt-undRelaxationsverfahren zurLösunglinearer
Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11VerfahrenderkonjugiertenGradienten,undGMRES-Verfahren– Lösungen . 185
12Eigenwertprobleme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13NumerischeVerfahrenfürEigenwertprobleme – Lösungen . . . . . . . 196
14Peano-Restglieddarstellung – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 203
15Approximationstheorie – Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
1
Teil I Aufgaben
1 Polynominterpolation – Aufgaben
Aufgabe1.1. Für drei gegebene Funktionen f;g;h W RN (cid:2) D ! R und einen Häu-
fungspunktx(cid:2) 2RN vonD zeigemanFolgendes:
(a) f.x/ D O.g.x// für D 3x !x(cid:2) H) f.x/ D O.g.x// für D 3x !x(cid:2).
(b) f.x/ D O.g.x// und g.x/ D O.h.x// für D 3x !x(cid:2)
H) f.x/ D O.h.x// für D 3x !x(cid:2).
(c) O.f.x//O.g.x// D O..f g/.x// für D 3x !x(cid:2).
(d) O.O.f.x/// D O.O.f.x/// D O.f.x// für D 3x !x(cid:2).
Aufgabe1.2. Man zeige Folgendes: Für gegebene paarweise verschiedene Stützstel-
len x0;x1;:::;xn 2 R istdieAbbildung RnC1 ! …n; .f0;f1;:::;fn/> (cid:2) P linear,
wobeiP dasjeweiligeInterpolationspolynombezeichnet.
Aufgabe1.3(Hermite-Interpolation). Manzeige:Zupaarweiseverschiedenenreellen
PZahlen x0;x1;:::;xr sowie nichtnegativen ganzen Zahlen m0;m1;:::;mr 2 N0 mit
rjD0mj D nC1 und vorgegebenen Zahlen fj.(cid:2)/ 2 R für (cid:2) D 0;1;:::;mj (cid:3)1 und
j D0;1;:::;r existiertgenaueinPolynomP 2…n mitderEigenschaft
P.(cid:2)/.xj/ D fj.(cid:2)/ für (cid:2) D 0;1;:::;mj (cid:3)1;
j D 0;1;:::;r:
Aufgabe1.4. Zu paarweise verschiedenen reellen Zahlen x0;x1;:::;xn weise man
fürdieinduziertenlagrangeschenBasispolynomeFolgendesnach:
Xn
(a) Lk.x/ (cid:4) 1; 8
kD0 Xn < 1 für s D0;
(b) Lk.0/xks D : 0 für 1(cid:5)s (cid:5)n;
kD0 .(cid:3)1/nx0x1(cid:6)(cid:6)(cid:6)xn für s DnC1:
Aufgabe1.5. Gegeben seien n C1 paarweise verschiedene Stützstellen x0;x1;:::;
xn.DieStützkoeffizientenbezüglichdererstenmC1Stützstellenx0;x1;:::;xm (mit
0(cid:5)m(cid:5)n)seiendurch
Ym
(cid:3).m/ D 1 für k D 0;1;:::;m
k xk(cid:3)xs
sD0
s¤k
definiert.
P
(a) Manweisefürm(cid:7)1dieIdentität m (cid:3).m/ D0nach.
kD0 k
2 Kapitel1 Polynominterpolation
(b) ManweisefürmD0;1;:::;n(cid:3)1diefolgendeRekursionsbeziehungnach:
.m/
(cid:3).mC1/ D (cid:3)k für k D 0;1;:::;m:
k xk(cid:3)xmC1
(c) Unter Ausnutzung der in (a) und (b) angegebenen Identitäten formuliere man
einen Algorithmus zur Berechnung der Stützkoeffizienten (cid:3).n/ für k D 0;1;:::;
k
n.AußerdembestimmemandendabeianfallendenRechenaufwand inderForm
“anq CO.nq(cid:3)1/arithmetischeOperationen“.
Aufgabe1.6. ZunC1Stützstellen x0;x1;:::;xn seiendiezugehörigenStützkoeffi-
zientenmit
Yn
(cid:3)k D xk(cid:3)1 xs für k D 0;1;:::;n
sD0
s¤k
bezeichnet. Die Stützstellen seien zudem äquidistant gelegen, xj D xj(cid:3)1 C h für
j D1;2;:::;n.ManzeigeFolgendes:
(a) Esgilt
(cid:3)k D .(cid:3)1/khn(cid:3)Šn(cid:2)nk(cid:3) für k D 0;1;:::;n:
(b) Esgilt
(cid:3)0 D h(cid:3)n; (cid:3)k D (cid:3)(cid:3)k(cid:3)1n(cid:3)kC1 für k D 1;2;:::;n:
nŠ k
Aufgabe1.7. DieStützstellenx0;x1;:::;xnseienäquidistantgelegen,xj Dxj(cid:3)1Ch
für j D 1;2;:::;n. Für zugehörige Stützwerte f0;f1;:::;fn sind die aufsteigenden
Differenzen (cid:4)kfj 2RderOrdnungk definiertdurch
(cid:4)0fj WD fj; j D0;1;:::;n;
(cid:4)kfj WD (cid:4)k(cid:3)1fjC1(cid:3)(cid:4)k(cid:3)1fj; j D 0;1;:::;n(cid:3)k;
k D 1;2;:::;n:
Man weise nach, dass das Interpolationspolynom P 2 …n zu den Stützpunkten
.x0;f0/;.x1;f1/;::: ;.xn;fn/dieDarstellung
P.x/ D Xn (cid:4)kŠkhfk0 kY(cid:3)1.x(cid:3)xs/; x 2R;
kD0 sD0
besitzt.
Aufgabe1.8. ZudendreiStützpunkten.xj;tan2.xj//fürj D0;1;2mitdenStütz-
stellen x0 D (cid:5)=6;x1 D (cid:5)=4 und x2 D (cid:5)=3 berechne man unter Verwendung des
SchemasvonNevilledaszugehörigeInterpolationspolynom.
Aufgaben 3
Aufgabe1.9. Zu gegebenen paarweise verschiedenen Stützstellen x0;x1;:::;xn 2
R und Stützwerten f0;f1;:::;fn 2 R weise man für die zugehörigen dividierten
DifferenzenFolgendesnach,
Xn ı Yn
fŒx0;:::;xn(cid:6) D fk .xk(cid:3)xs/:
kD0 sD0
s¤k
Aufgabe1.10. (Unabhängigkeit der dividierten Differenzen gegenüber der Anord-
nung der Stützpunkte) Seien .x0;f0/;.x1;f1/;::: ;.xn;fn/ 2 R2 und .y0;g0/;
.y1;g1/;::: ;.yn;gn/ 2 R2 Stützpunkte mit zugehörigen dividierten Differenzen
fŒx0;:::;xn(cid:6)undgŒy0;:::;yn(cid:6).Manzeige:Wenn
¹.xj;fj/ W j D 0;1;:::;nº D ¹.yj;gj/ W j D 0;1;:::;nº (1.1)
erfülltist,sogiltfŒx0;:::;xn(cid:6) D gŒy0;:::;yn(cid:6):
Aufgabe1.11. ManbestimmeindernewtonschenDarstellungdasInterpolationspo-
lynomzudenfolgendenStützpunkten:
j 0 1 2 3 4
xj (cid:3)5 (cid:3)2 (cid:3)1 0 1
fj 17 8 21 42 35
ImFolgendenbezeichnet CŒa;b(cid:6)dieMengederstetigenFunktionenf W Œa;b(cid:6) !R,
undfürr D1;2;:::bezeichnetCrŒa;b(cid:6)dieMengederr-fachstetigdifferenzierbaren
Funktionenf WŒa;b(cid:6)!R.
Aufgabe1.12. Man zeige, dass es zu jeder Funktion f 2 CŒa;b(cid:6) und paarweise
verschiedenenStützstellenx0;x1;:::;xn 2Œa;b(cid:6)sowiefür">0einPolynomP gibt
mit
max jP.x/(cid:3)f.x/j (cid:5) "; P.xj/ D f.xj/ für j D 0;1;:::;n:
x2Œa;b(cid:3)
Aufgabe1.13. Seien '0;'1;:::;'n W CŒa;b(cid:6) ! R lineare Funktionale und V (cid:8)
CŒa;b(cid:6)ein.nC1/-dimensionalerlinearerTeilraum.
(a) Manzeige,dassdieverallgemeinerteInterpolationsaufgabe
bestimme v 2V mit 'j.v/ D 'j.f / für j D 0;1;:::;n (1.2)
genaudannfürjedesf 2CŒa;b(cid:6)eindeutiglösbarist,wenndieFunktionf D0nur
v D0alsverallgemeinerteInterpolierendebesitzt.
(b) Sei die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe (1.2) für jedes f 2 CŒa;b(cid:6) ein-
deutiglösbarundLn WCŒa;b(cid:6)!VderzugehörigeInterpolationsoperator,dasheißt,
Lnf D v. Man weise nach, dass Ln eine lineare Abbildung ist und für f 2 CŒa;b(cid:6)
gilt
Lnf D f ” f 2V: