Übungsbuch zur Linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen PDF
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Grundkurs Mathematik Hannes Stoppel Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und Lösungen . Auflage Grundkurs Mathematik Berater Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann, Gisbert Wüstholz Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe im handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathe- matischen Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Beispiele und Übungsaufgaben. In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studieren- de der Mathematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissenschaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II. Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Alge- bra in aktualisierter Neuauflage. Hannes Stoppel · Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und Lösungen 9., erweiterte Auflage Hannes Stoppel Birgit Griese Westfälische Wilhelms-Universität Universität Paderborn Münster, Deutschland Deutschland Grundkurs Mathematik ISBN 978-3-658-14521-7 ISBN 978-3-658-14522-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-658-14522-4 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 1998, 1999, 2001, 2003, 2005, 2008, 2011, 2015, 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Ver- wertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigun- gen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz- Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt wer- den dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber über- nehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Vorwort SeitdiezehnteAuflagederLinearenAlgebravonGerdFischererschienenist, diealsNeuerunggegenberdena¨lterenAuflagenvieleU¨bungsaufgabenentha¨lt, sindbeimVerlagvieleAnfragennachdenLo¨sungendieserAufgabeneingegan- gen. Auf Anregung von Frau Schmickler-Hirzebruch begann im Winter 96/97 dieArbeitandiesemLo¨sungsbuch. DennochstehenwirderVero¨ffentlichungeinesBuches,dasnurausLo¨sungen zuU¨bungsaufgabenbesteht,skeptischgegenu¨ber,dadieeigeneBescha¨ftigung mitProblemenundvieleigenesNachdenkenfu¨rdasVersta¨ndnisvonMathema- tikunverzichtbarsind.DasNachschlagenvonLo¨sungenineinemBuchmacht nachdieserU¨berzeugungnurSinn,wennmansichvorherselbststa¨ndigundaus- giebigmitderAufgabeauseinandergesetzthat.Wirhoffen,daßunsereLeserIn- nendieseDisziplinbesitzen.UnterdiesenVoraussetzungenkanneinLo¨sungs- buchdavorschu¨tzen,vielZeitohnevielNutzenmiteinereinzelnenAufgabezu vertunundsohoffentlichFrustrationenverhindern. Dieses Buch ist jedoch auch fu¨r geu¨bte MathematikerInnen von Interesse, denn wir haben auf folgendes besonderen Wert gelegt: Viele der U¨bungsauf- gabeninderzehntenundelftenAuflagederLinearenAlgebragewinnenimZu- sammenhangmitAnwendungenausverschiedenenBereichenderMathematik anBedeutung,vondeneneinEAnfa¨ngerInfreilichnochnichtswissenkann.Wir habenunsbemu¨ht,sooftwiemo¨glichaufsolcheBezu¨gezuverweisen.Dassoll zurMotivationbeitragen,dennesplatziertdielineareAlgebraalsTeilgebietder MathematikindemGeflechtdervielenanderenTeildisziplinenaneinerzentra- len Stelle. In diesem Zusammenhang sind wir stets fu¨r weitere Ansto¨ße offen undfreuenunsu¨berAnregungenunsererLeserInnen,diewirineinerspa¨teren Auflageberu¨cksichtigenko¨nnen. DasvorliegendeArbeitsbuchentha¨ltdieAufgabenausderelftenAuflageder Linearen Algebra von Gerd Fischer, einige Erga¨nzungsaufgaben sowie deren Lo¨sungen.EskannauchmitderzehntenAuflagederLinearenAlgebrabenutzt werden.Kapitel,diemiteinemSternversehensind,ko¨nnenbeimerstenDurch- arbeitendesStoffesu¨bergangenwerden.Dasselbegiltfu¨rAufgabenmitStern. Dankenwollenwiralldenen,dieunsbeiderHerstellungdiesesBuchesun- terstu¨tzt haben. An erster Stelle stehen der Verlag Vieweg und insbesondere FrauSchmickler-Hirzebruch,diediesesProjektermo¨glichtundunterstu¨tztha- ben.ProfessorGerdFischergiltbesondererDankfu¨rdiezahlreichenGespra¨che unddieHilfebeiDetails.StefanLachehatunsnichtnurdurchdasMathematik- studiumalsKommilitoneunddanachalsFreundbegleitet,sondernauchfru¨here VersionendiesesBuchessehrsorgfa¨ltigKorrekturgelesenundunsmitzahlrei- VI chen Verbesserungshinweisen unterstu¨tzt. Jens Piontkowski hat Teile des Ma- nuskriptesgewissenhaftdurchgesehenundwertvolleTippsgegeben.VolkerSo- linushatnachschierendlosenNo¨rgeleienvonunsererSeitedieBilderperfekt erstellt.OhnediesePersonenwa¨redasganzeProjektsichernichtzueinemguten Endegelangt. Du¨sseldorf,imNovember1997 HannesStoppelundBirgitGriese Vorwort zur 9. Auflage WenigeZeitnachderachtenAuflagegibteswiedereineneueAuflage.DieZwi- schenzeitwurdeumfangreichgenutzt.Esgibtnunbeinahe25neueAufgaben. ManchesindzuThemenblo¨ckenzusammengefasst,wiebeispielsweisealgebrai- scheKurven,Mo¨biusTransformationoderCodierungundKryptographie. ImLaufederZeithabensichzudemvieleErga¨nzungsaufgabengesammelt, zwischen denen in einigen Fa¨llen thematische Verbindungen existieren. Um den U¨berblick zu behalten, wurde am Ende des Buches ein Verzeichnis der Erga¨nzungsaufgabenmitdenbehandeltenThemeneingefu¨gt. IndieserAuflagesinderstmaligsa¨mtlicheAufgabeninklusiveallihrerLo¨sun- genkomplettenthalten.BisherigeAufgabenundLo¨sungenwurdenu¨berarbeitet undggf.erga¨nzt,dasLiteraturverzeichniseingeschlossen.Hierfu¨rbedankenwir unsauchbeiunserenLeserinnenundLesernfu¨rHinweise. Bedanken mo¨chten wir uns insbesondere bei Dennis Jaschek, der Ideen fu¨r neueAufgabenhatteundinvielenGespra¨chenneueBlickweisenaufalteAuf- gabenermo¨glichthat. Wirwu¨nschenvielErfolgundFreudemitU¨bungenderLinearenAlgebraund hoffen,dasssiedieScho¨nheitderMathematiksichtbarmachen. Gladbeck,imAugust2016 HannesStoppelundBirgitGriese Inhaltsverzeichnis I Aufgaben 1 0 LineareGleichungssysteme 3 0.3 EbenenundGeradenimStandardraumR3 . . . . . . . . . . . . 3 0.4 DasEliminationsverfahrenvonGAUSS. . . . . . . . . . . . . . 4 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.5 GeradenundQuadratischeKurvenimR2 . . . . . . . . . . . . 7 1 Grundbegriffe 11 1.1 MengenundAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ringe,Ko¨rperundPolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Vektorra¨ume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 SummenvonVektorra¨umen∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 LineareAbbildungen 26 2.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Bild,FasernundKern,Quotientenvektorra¨ume∗ . . . . . . . . . 27 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 LineareAbbildungenundMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . 30 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.7 ElementarmatrizenundMatrizenumformungen . . . . . . . . . 35 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Determinanten 39 3.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 VIII 3.3 Minoren∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 DeterminanteeinesEndomorphismusundOrientierung∗ . . . . 46 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Eigenwerte 47 4.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 DascharakteristischePolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.4 Trigonalisierung∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.5 PotenzeneinesEndomorphismus∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.6 DieJordanscheNormalform∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Euklidischeundunita¨reVektorra¨ume 56 5.1 DaskanonischeSkalarproduktimRn. . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2 DasVektorproduktimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 DaskanonischeSkalarproduktimCn. . . . . . . . . . . . . . . 61 5.4 BilinearformenundSesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . 61 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5 Orthogonaleundunita¨reEndomorphismen. . . . . . . . . . . . 67 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.6 SelbstadjungierteEndomorphismen∗ . . . . . . . . . . . . . . . 68 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.7 Hauptachsentransformation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6 Dualita¨t∗ 72 6.1 Dualra¨ume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2 Dualita¨tundSkalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.3 Tensorprodukte∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.4 MultilineareAlgebra∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 IX II Lo¨sungen 83 0 LineareGleichungssysteme 85 0.3 EbenenundGeradenimStandardraumR3 . . . . . . . . . . . . 85 0.4 DasEliminationsverfahrenvonGAUSS. . . . . . . . . . . . . . 88 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 0.5 GeradenundQuadratischeKurvenimR2 . . . . . . . . . . . . 92 1 Grundbegriffe 98 1.1 MengenundAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1.3 Ringe,Ko¨rperundPolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.4 Vektorra¨ume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 1.5 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1.6 SummenvonVektorra¨umen∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2 LineareAbbildungen 146 2.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2 Bild,FasernundKern,Quotientenvektorra¨ume∗ . . . . . . . . . 149 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.3 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.4 LineareAbbildungenundMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . 157 Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2.5 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.6 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2.7 ElementarmatrizenundMatrizenumformungen . . . . . . . . . 176 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 3 Determinanten 184 3.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.2 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 3.3 Minoren∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
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