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Grundkurs Mathematik Hannes Stoppel Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und ausführliche Lösungen zur Prüfungsvorbereitung 10. Auflage Grundkurs Mathematik Reihe herausgegeben von Martin Aigner, Freie Universität Berlin, Berlin, Deutschland Peter Gritzmann, Zentrum Mathematik, Technische Universität München, Garching, Deutschland Volker Mehrmann, Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin, Berlin, Berlin, Deutschland Gisbert Wüstholz, Departement Mathematik, ETH Zürich, Zürich, Schweiz Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuch- reihe im handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathematischen Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Beispiele und Übungsaufgaben. In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studierende der Mathematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissenschaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II. Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Algebra in aktualisierter Neuauflage. Weitere Bände in der Reihe https://link.springer.com/bookseries/12463 Hannes Stoppel · Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und ausführliche Lösungen zur Prüfungsvorbereitung 10., überarbeitete Auflage Hannes Stoppel Birgit Griese Fachbereich Mathematik, Institut für Mathematik Physik, Informatik, Max-Planck- Universität Paderborn Gymnasium Gelsenkirchen Paderborn, Deutschland Münster, Deutschland ISSN 2626-613X ISSN 2626-6148 (electronic) Grundkurs Mathematik ISBN 978-3-662-63743-2 ISBN 978-3-662-63744-9 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-63744-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http:// dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer- Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 1998, 1999, 2001, 2003, 2005, 2008, 2011, 2015, 2017, 2021 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. 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Buches geführt, wofür wir herzlich danken. Gerd Fischers Ideenreichtum, seine zahlreichen Anregungen sowie die Unterstützung von Boris Spring- born empfinden wir als sehr wertvoll. Zudem stand uns Jens Piontkowski mit Anmerkungen zur Seite, auch ihm möchten wir an dieser Stelle danken. Bei der umfangreichen Überarbeitung des zugrunde liegenden Buches Lineare Algebra von der 18. zu 19. Auflage wurde Vieles verändert. Im Kapitel über Eigenwerte wurden umfangreiche Änderungen vorgenommen. Ferner beginnt in der 19. Auflage die Nummerierung der Kapitel anders als früher mit 1 und nicht mit 0. Daher mussten sämtliche Verweise in den Lösungen ver- ändert werden. Wir bitten um Entschuldigung, wenn an einzelnen Stellen die alten Verweise erhalten geblieben sind. Im Zweifelsfall ist dann einfach die Kapitel-Nummer im Verweis um 1 zu erhöhen; dann könnte es gut funktionieren. V VI Vorwort zur 10. Auflage Unseren Leser:innen wünschen wir viel Freude bei der Beschäftigung mit den Inhalten dieses Buches – auf dass auch sie sich drei Jahrzehnte nach ihrer ersten Begegnung mit Linearer Algebra gerne an ihre damaligen Gedanken und Lern- prozesse erinnern und sich weiterhin an der Schönheit dieser Disziplin erfreuen. Gladbeck Birgit Griese Mai 2021 Hannes Stoppel Vorwort zur 9. Auflage Wenige Zeit nach der achten Auflage gibt es wieder eine neue Auflage. Die Zwischenzeit wurde umfangreich genutzt. Es gibt nun beinahe 25 neue Aufgaben. Manche sind zu Themenblöcken zusammengefasst, wie beispielsweise algebraische Kurven, Möbius Transformation oder Codierung und Kryptographie. Im Laufe der Zeit haben sich zudem viele Ergänzungsauf- gaben gesammelt, zwischen denen in einigen Fällen thematische Verbindungen existieren. Um den Überblick zu behalten, wurde am Ende des Buches ein Verzeichnis der Ergänzungsaufgaben mit den behandelten Themen eingefügt. In dieser Auflage sind erstmalig sämtliche Aufgaben inklusive all ihrer Lösungen komplett enthalten. Bisherige Aufgaben und Lösungen wurden überarbeitet und ggf. ergänzt, das Literatur- verzeichnis eingeschlossen. Hierfür bedanken wir uns auch bei unseren Leserinnen und Lesern für Hinweise. Bedanken möchten wir uns insbesondere bei Dennis Jaschek, der Ideen für neue Aufgaben hatte und in vielen Gesprächen neue Blickweisen auf alte Aufgaben ermöglicht hat. Wir wünschen viel Erfolg und Freude mit Übungen der Linearen Algebra und hoffen, dass sie die Schönheit der Mathematik sichtbar machen. Gladbeck Birgit Griese August 2016 Hannes Stoppel VII Vorwort zur ersten Auflage Seit die zehnte Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer erschienen ist, die als Neuerung gegenüber den älteren Auflagen viele Übungsaufgaben enthält, sind beim Verlag viele Anfragen nach den Lösungen dieser Aufgaben eingegangen. Auf Anregung von Frau Schmickler-Hirzebruch begann im Winter 96/97 die Arbeit an diesem Lösungsbuch. Dennoch stehen wir der Veröffentlichung eines Buches, das nur aus Lösungen zu Übungsaufgaben besteht, skeptisch gegen- über, da die eigene Beschäftigung mit Problemen und viel eigenes Nachdenken für das Verständnis von Mathematik unver- zichtbar sind. Das Nachschlagen von Lösungen in einem Buch macht nach dieser Überzeugung nur Sinn, wenn man sich vorher selbstständig und ausgiebig mit der Aufgabe auseinandergesetzt hat. Wir hoffen, daß unsere LeserInnen diese Disziplin besitzen. Unter diesen Voraussetzungen kann ein Lösungsbuch davor schützen, viel Zeit ohne viel Nutzen mit einer einzelnen Aufgabe zu vertun und so hoffentlich Frustrationen verhindern. Dieses Buch ist jedoch auch für geübte MathematikerInnen von Interesse, denn wir haben auf folgendes besonderen Wert gelegt: Viele der Übungsaufgaben in der zehnten und elften Auf- lage der Linearen Algebra gewinnen im Zusammenhang mit Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik an Bedeutung, von denen einE AnfängerIn freilich noch nichts wissen kann. Wir haben uns bemüht, so oft wie möglich auf solche Bezüge zu verweisen. Das soll zur Motivation bei- tragen, denn es platziert die lineare Algebra als Teilgebiet der IX X Vorwort zur ersten Auflage Mathematik in dem Geflecht der vielen anderen Teildisziplinen an einer zentralen Stelle. In diesem Zusammenhang sind wir stets für weitere Anstöße offen und freuen uns über Anregungen unserer LeserInnen, die wir in einer späteren Auflage berück- sichtigen können. Das vorliegende Arbeitsbuch enthält die Aufgaben aus der elften Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer, einige Ergänzungsaufgaben sowie deren Lösungen. Es kann auch mit der zehnten Auflage der Linearen Algebra benutzt werden. Kapitel, die mit einem Stern versehen sind, können beim ersten Durcharbeiten des Stoffes übergangen werden. Dasselbe gilt für Aufgaben mit Stern. Danken wollen wir all denen, die uns bei der Herstellung dieses Buches unterstützt haben. An erster Stelle stehen der Ver- lag Vieweg und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch, die dieses Projekt ermöglicht und unterstützt haben. Professor Gerd Fischer gilt besonderer Dank für die zahlreichen Gespräche und die Hilfe bei Details. Stefan Lache hat uns nicht nur durch das Mathematikstudium als Kommilitone und danach als Freund begleitet, sondern auch frühere Versionen dieses Buches sehr sorgfältig Korrektur gelesen und uns mit zahlreichen Ver- besserungshinweisen unterstützt. Jens Piontkowski hat Teile des Manuskriptes gewissenhaft durchgesehen und wertvolle Tipps gegeben. Volker Solinus hat nach schier endlosen Nörge- leien von unserer Seite die Bilder perfekt erstellt. Ohne diese Personen wäre das ganze Projekt sicher nicht zu einem guten Ende gelangt. Düsseldorf Hannes Stoppel im November 1997 Birgit Griese