Übungsbuch zur Analysis: Aufgaben und Lösungen PDF
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Otto Forster Rüdiger Wessoly Übungsbuch zur Analysis 1 vieweg studium Grundkurs Mathematik Diese Reihe wendet sich an Studierende der mathematischen, naturwissenschaftlichen und technischen Fächer. Ihnen - und auch den Schülern der Sekundarstufe lI-soll die Vorereitung auf Vorlesungen und Prüfungen erleichtert und gleichzeitig ein Ein blick in die Nachbarfächer geboten werden. Die Reihe wendet sich aber auch an den Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingeni eur in der Praxis und an die Lehrer dieser Fächer. Zu der Reihe vieweg studium gehören folgende Abteilungen: Basiswissen, Grundkurs und Aufbaukurs Mathematik, Physik atto Forster Rüdiger Wessoly •• Ubungsbuch zur Analysis 1 Aufgaben und Lösungen ~ vleweg Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich Prof. Dr. Otto Forster Ludwig-Maximilians-Universität München Mathematisches Institut Theresienstraße 39 80333 München E-mail: [email protected] World-Wide-Web: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/-forster/ I. Auflage 1995 3 Nachdrucke Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1995 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urhe berrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. http://www.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-528-07261-2 ISBN 978-3-322-93979-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-93979-1 v Inhaltsverzeichnis Vorwort VII I Aufgaben 1 § I. Vollständige Induktion 3 §2. Die Körperaxiome . 5 §3. Anordnungsaxiome .. 8 §4. Folgen, Grenzwerte . . 9 §5. Das Vollständigkeitsaxiom . 12 §6. Quadratwurzeln . . . . . . 13 §7. Konvergenzkriterien für Reihen 15 §8. Die Exponentialreihe. 17 §9. Punktmengen ....... . 18 § 10. Funktionen, Stetigkeit . . . . 20 § 11. Sätze über stetige Funktionen 21 § 12. Logarithmus und allgemeine Potenz 23 § 13. Die Exponentialfunktion im Komplexen . 26 § 14. Trigonometrische Funktionen . . . . . . 27 § 15. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . 29 §16. Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität 31 §17. Numerische Lösung von Gleichungen 33 §18. Das Riemannsche Integral ........ . 35 § 19. Integration und Differentiation . . . . . . . 37 §20. Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion 42 §21. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 44 §22. Taylor-Reihen . , 45 §23. Fourier-Reihen 46 11 Lösungen 49 § 1. Vollständige Induktion 51 §2. Die Körperaxiome . 57 §3. Anordnungsaxiome .. 62 VI Inhaltsverzeichnis §4. Folgen, Grenzwerte .. . . 66 §5. Das Vollständigkeitsaxiom . 70 §6. Quadratwurzeln . . . . . . 76 §7. Konvergenzkriterien für Reihen 82 §8. Die Exponentialreihe. 88 §9. Punktmengen ....... . 91 § 10. Funktionen, Stetigkeit . . . . 94 § 11. Sätze über stetige Funktionen 98 § 12. Logarithmus und allgemeine Potenz 100 § 13. Die Exponentialfunktion im Komplexen . 106 § 14. Trigonometrische Funktionen . . . . . . 109 § 15. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . 118 § 16. Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität 124 § 17. Numerische Lösung von Gleichungen 131 § 18. Das Riemannsche Integral . . . . . . . . . 140 § 19. Integration und Differentiation . . . . . . . 143 §20. Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion 149 §21. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 151 §22. Taylor-Reihen . 153 §23. Fourier-Reihen ................ . 157 VII Vorwort Seit dem Erscheinen meines Buches Analysis I sind wiederholt Anfragen ge kommen, doch Lösungen zu den Übungsaufgaben herauszugeben. Ich stand dem immer skeptisch gegenüber. Das Lösen von Übungsaufgaben zu den Anfängervorlesungen ist ein unentbehrlicher Bestandteil des Mathematik-Stu diums. Das Vorliegen von schriftlichen Lösungen verführt aber dazu, es selbst nicht hart genug zu versuchen und zu früh in den Lösungen nachzuschauen. Außerdem kann eine gedruckte Lösung nicht die Besprechung der Aufgaben in einer Übungsgruppe ersetzen, in der der Tutor (im allerdings nicht immer erreichten Idealfall) auf die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten und die ge machten Fehler eingehen und bei Verständnisschwierigkeiten individuell helfen kann. Andererseits ist der Bedarf an Übungsmaterial mit nachprüfbaren Lösungen für das Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen) nicht von der Hand zu weisen. So wurde mit dem vorliegenden Aufgabenbuch ein Kompromiß versucht: Zu ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet und es wurden auch neue Aufgaben hinzugefügt, so daß genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Alle Aufgabentexte (einschließlich der aus dem Buch Analysis I übernomme nen) sind im 1. Teil des Aufgabenbuches abgedruckt. Zu den mit Stern ver sehenen Aufgaben stehen Lösungen im 2. Teil, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse. In keinem Fall sind die angegebe nen Lösungen als alleingültige Muster-Lösungen zu betrachten. Zu fast allen Aufgaben gibt es mehrere Lösungswege und es ist oft nur eine Frage des Ge schmacks, welchen Weg man wählt. Auch sind sicherlich noch einige Lösungen mit mehr oder weniger schweren Fehlern (von Druckfehlern und Versehen bis zu logischen Fehlern) behaftet. Der Student mag sich damit trösten, daß nicht nur ihm, sondern auch dem Dozenten für manche Lösungen der Übungsaufga ben Punkte abgezogen würden. Die Arbeit an diesem Buch habe ich zusammen mit meinem langjährigen Assistenten an den Universitäten Münster und München, Dr. Rüdiger Wessoly begonnen. Die gemeinsame Arbeit wurde auch nach seinem Ausscheiden aus der Universität, als er für eine von ihm selbst mitbegründete Software-Firma vrn Vorwort arbeitete, fortgesetzt. Noch vor der Fertigstellung des Manuskripts ist Herr Wessoly plötzlich und unerwartet verstorben. Seinem Andenken sei dieses Buch gewidmet. Zu danken habe ich auch Herrn Thomas Szymczak (Dinslaken), der selbständig ein Lösungsbuch zur Analysis 2 erarbeitet hat und der sich bereit erklärt hat, das Manusskript zum vorliegenden Buch in Jb.Tp' zu setzen und dabei manche Fehler und Unebenheiten aus dem Text eliminiert hat. Nicht zuletzt verdankt das Buch sein Erscheinen dem beharrlichen und unermüdlichen Einsatz von Frau U. Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg-Verlag. München, Februar 1995 Otto Forster Teil I Aufgaben 3 § 1. Vollständige Induktion Aufgabe 1 A.· Seien n, k natürliche Zahlen mit n ~ k. Man beweise Aufgabe 1 ß. Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert rr (x) := k x - j + 1 = x(x - 1) ..... (x - k + 1) k j k!' ]=1 also insbesondere (~) = l. Man beweise für alle reellen Zahlen x und natürlichen Zahlen k G). (k:l) G:~) + a) = (~x) =(-l)ke+~-l). b) (:k: Ckk Xl) ~ Xl). c) = - c.. Aufgabe 1 Man beweise für alle reellen Zahlen x, y und alle n E N Aufgabe 1 D. Man beweise für alle reellen Zahlen x, y und alle n E N Aufgabe 1 E. Man zeige: Für alle n E N gilt
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