Übungsbuch zur Analysis 2: Aufgaben und Lösungen PDF
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Otto Forster Thomas Szymczak Obungsbuch zur Analysis 2 vieVIeg stucliu111 Grundkurs Mathematik Diese Reihe wendet sich an Studierende der mathematischen, naturwissenschaftlichen und techn'ischen Fecher. Ihnen - und ouch den Schulern der Sekundarstufe II -soli die Vorbereitung auf Vorlesungen und Prufungen erleichtert und gleichzeitig ein Ein blick in die Nachbarfecher geboten werden. Die Reihe wendet sich aber ouch an den Mathematiker, Naturwissenschaftler und lngenieur in der Praxis und an die Lehrer dieser Fecher. Zu der Reihe vieweg studium gehoren folgende Abteilungen: Basiswissen, Grundkurs und Aufbaukurs Mathematik, Physik, Chemie, Biologie Otto Forster Thomas Szymczak Übungsbuch zur Analysis 2 Aufgaben und Lösungen Professor Dr. Otto Forster Ludwig-Maximilians-Universität München Fakultät für Mathematik Theresienstr. 39 80333 München Thomas Szymczak Ludwig-Richter-Str. 22 46539 Dinslaken Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1995 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1995 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzu lässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigun gen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlag: Klaus Birk, Wiesbaden ISBN 978-3-528-07273-5 ISBN 978-3-663-13896-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-13896-9 v Inhaltsverzeichnis Vorwort VII I Aufgaben 1 §I. Topologie metrischer Raume . 3 §2. Grenzwerte. Stetigkeit 4 §3. Kompaktheit . . . . . 6 §4. Kurven im IRn .... 8 §5. Partielle Ableitungen . 10 §6. Totale Differenzierbarkeit 12 §7. Taylor-Formel. Lokale Extrema 13 §8. Implizite Funktionen . . . . . . 15 §9. Integrate, die von einem Parameter abhangen 16 § 10. Existenz-und Eindeutigkeitssatz 19 § 11. Elementare Losungsmethoden . . . . . . . 20 § 12. Lineare Differentialgleichungen ...... 22 § 13. Lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten . 26 § 14. Systeme von lin. Dgl. mit konstanten Koeffizienten 27 n Losungen 29 §I. Topologie metrischer Raume . 31 §2. Grenzwerte. Stetigkeit 35 §3. Kompaktheit . . . . . 38 §4. Kurven im JRn .... 43 §5. Partielle Ableitungen . 48 §6. Totale Differenzierbarkeit 52 §7. Taylor-Formel. Lokale Extrema 56 §8. Implizite Funktionen . . . . . . 67 §9. lntegrale, die von einem Parameter abhangen 74 VI Inhaltsverzeichnis § 10. Existenz-und Eindeutigkeitssatz 79 § 11. Elementare Losungsmethoden . . 90 § 12. Lineare Differentialgleichungen . 105 § 13. Lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten . 123 § 14. Systeme von lin. Dgl. mit konstanten Koeffizienten 134 Literaturverzeichnis 147 VII Vorwort Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Obungsbuches zur Analysis dar. Wie im ersten Band ist das Buch in einen Aufgaben- und LOsungsteil unter gliedert. Die Aufgaben stammen vorwiegend aus dem Buch ,,Analysis 2" von 0. Forster, jedoch auch die zusatzlichen Aufgaben setzen stoffiich nicht mehr Wissen voraus. Die LOsungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausfiihrlich dargestellt und an die Bucher ,,Analysis 1" und ,Analysis 2" (im folgenden mit An. 1 und An. 2 zitiert) von 0. Forster angelehnt, so daB sie auch ohne zusatzliche Literatur zu verstehen sind. 1st zu einer Aufgabe keine Losung enthalten, so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausfuhrlichen Anleitung versehen. Sicherlich wird dieses Buch nicht fehlerfrei sein, und zu einigen Aufgaben gibt es kurzere bzw. elegantere Losungen, doch ich hoffe, daB der Leser mit diesem Buch nicht den Spa./3 verliert, selbst mathematische Aufgaben zu losen. Denn man sollte sich in der Regel, bevor man eine Losung zu einer Aufgabe in einem Buch nachliest, ausgiebig mit ihr beschliftigt haben und versucht haben, selbst eine Losung zu finden. SchlieBlich mochte ich noch einige Danksagungen aussprechen: • Herrn Professor Dr. 0. Forster, der mit seinen Buchem zur Analysis dieses Buch erst moglich gemacht hat. • Herrn Professor Dr. W. ~uhnel, bei dem ich die Grundvorlesungen zur Analysis gehort babe. • Fur die Mithilfe beim Korrekturlesen danke ich Herro Kuhn und Herro Westermann. • Dem Vieweg-Verlag und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch fur die Herausgabe des Buches. Dinslaken, Februar 1995 Thomas Szymczak Teil I Aufgaben 3 § 1. Topologie metrischer Raume Aufgabe 1 A. Auf IR werde eine Metrik 8 definiert durch 8(x, y) :=arctan lx- Yl· Man zeige, daB 8 die Axiome einer Metrik erfiillt und daB die offenen Mengen bzgl. dieser Metrik diesel ben sind wie bzgl. der iiblichen Metrik d( x, y) = lx-yl. Aufgabe 1 B. Es sei X die Menge aller komplexer Zahlenfolgen. Man zeige, daB durch eine Metrik auf X definiert wird. Aufgabe 1 C. (Vierecksungleichung). Es sei (X, d) ein metrischer Raum und a, b, c, dE X. Dann gilt id(a, b)- d(c, d) I :::; d(a, c)+ d(b, d). Aufgabe 1 D. Seien A, B c IR beliebige Teilmengen. Man zeige: 0 0 0 a) (Ax B) =A x B, b) A X B =A X B. Aufgabe 1 E. Seien A, B c IR beliebige Teilmengen. Man zeige, daB fiir den Rand von A x B c IR2 gilt a( Ax B) = (aA x B) u (Ax a B). Aufgabe 1 F. Man zeige, daB in einem metrischen (oder topologischen) Raum die Vereinigung endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlos sener Mengen wieder abgeschlossen ist. Aufgabe 1 G. Man beweise: a) Eine Teilmenge Y eines metrischen Raumes X ist genau dann offen, wenn Yn8Y = 0.
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