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Übungsbuch zur Analysis 2: Aufgaben und Lösungen PDF

156 Pages·2013·1.227 MB·German
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Grundkurs Mathematik Berater Prof. Dr. Martin Aigner, Prof. Dr. Peter Gritzmann, Prof. Dr. Volker Mehrmann, Prof. Dr. Gisbert Wüstholz Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe im handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathematischen Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Bei- spiele und Übungsaufgaben. In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studierende der Ma- thematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissen- schaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II. Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Algebra in aktuali- sierter Neuauflage. ⋅ Otto Forster Thomas Szymczak Übungsbuch zur Analysis 2 Aufgaben und Lösungen 8., aktualisierte Auflage Prof. Dr. OttoForster Dr.ThomasSzymczak Ludwig-Maximilians-Universität Ostfildern,Deutschland München,Deutschland [email protected] [email protected] ISBN978-3-658-00512-2 ISBN978-3-658-00513-9(eBook) DOI10.1007/978-3-658-00513-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deut- schen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet überhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden1995 ... 2005, 2006, 2008, 2011, 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Je- de Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die EinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw.indiesemWerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuder Annahme, dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz- Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werdendürften. Lektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia www.springer-spektrum.de V Vorwort zur ersten Auflage DervorliegendeBandstelltdenzweitenTeileinesU¨bungsbucheszurAnalysis dar. WieimerstenBandistdasBuchineinenAufgaben–undLo¨sungsteilunter- gliedert.DieAufgabenstammenvorwiegendausdemBuch Analysis2“ von ” O.Forster,jedochauchdiezusa¨tzlichenAufgabensetzenstofflichnichtmehr Wissenvoraus. Die Lo¨sungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausfu¨hrlich dargestelltundandieBu¨cher Analysis1“und Analysis2“(imfolgendenmit ” ” An.1undAn.2zitiert)vonO.Forsterangelehnt,sodaßsieauchohnezusa¨tz- licheLiteraturzuverstehensind.IstzueinerAufgabekeineLo¨sungenthalten, so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausfu¨hrlichen Anleitung versehen. SicherlichwirddiesesBuchnichtfehlerfreiseinundzueinigenAufgabengibt esku¨rzerebzw.elegantereLo¨sungen,dochichhoffe,daßderLesermitdiesem BuchnichtdenSpaßverliert,selbstmathematischeAufgabenzulo¨sen.Denn mansolltesichinderRegel,bevormaneineLo¨sungzueinerAufgabeineinem Buchnachliest,ausgiebigmitihrbescha¨ftigthabenundversuchthaben,selbst eineLo¨sungzufinden. Schließlichmo¨chteichnocheinigeDanksagungenaussprechen: HerrnProfessorO.Forster,dermitseinenBu¨chernzurAnalysisdieses (cid:0) Bucherstmo¨glichgemachthat. HerrnProfessorDr.W.Ku¨hnel,beidemichdieGrundvorlesungenzur (cid:0) Analysisgeho¨rthabe. Fu¨rdieMithilfebeimKorrekturlesendankeichHerrnKu¨hnundHerrn (cid:0) Westermann. DemVieweg–VerlagundinsbesondereFrauSchmickler–Hirzebruchfu¨r (cid:0) dieHerausgabedesBuches. Dinslaken,Februar1995 ThomasSzymczak VI Vorwortzur2.Auflage In der vorliegenden zweiten Auflage wurden einige Lo¨sungen vereinfacht. Weiter wurden diejenigen Aufgaben, zu denen Lo¨sungen bzw. Hinweise im 2.Teilvorhandensind,imAufgabenteilmiteinemSternversehen. Rostock,Ma¨rz1997 ThomasSzymczak Vorwortzur4.Auflage Nachdem der Band Analysis 2 mit der 6. Auflage eine umfassende Neube- arbeitungerfahren hat,wurdeauchdasvorliegendeU¨bungsbuchu¨berarbeitet undderNeuauflagederAnalysis2angepasst.Einigefru¨hereU¨bungsaufgaben sindjetztindenHaupttextderAnalysis2aufgenommen;dafu¨rkamenandere AufgabenundLo¨sungenhinzu. April2005 OttoForster ThomasSzymczak Vorwortzur8.Auflage Fu¨r die 8. Auflage wurden eine Reihe von Aufgaben u¨berarbeitet, Lo¨sungen vereinfachtundzumTeilalternativeLo¨sungswegeangegeben.Außerdemka- meneinigeneueAufgabenundLo¨sungenhinzu. Juli2012 OttoForster ThomasSzymczak VII Inhaltsverzeichnis I.Aufgaben 1. TopologiemetrischerRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (cid:0)2. Grenzwerte.Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (cid:0)3. Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (cid:0)4. Kurvenim n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (cid:0)5. PartielleAb(cid:0)leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 (cid:0)6. TotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 (cid:0)7. Taylor–Formel.LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 15 (cid:0)8. ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cid:0)9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cid:0)10. Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen . . . . . . . . . 19 (cid:0)11. ElementareLo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (cid:0)12. Existenz–undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (cid:0)13. LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (cid:0)14. Differentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 26 (cid:0)15. LineareDgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . 29 (cid:0)16. Systemevonlin.Dgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . 31 (cid:0) II.Lo¨sungen 1. TopologiemetrischerRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (cid:0)2. Grenzwerte.Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (cid:0)3. Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (cid:0)4. Kurvenim n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (cid:0)5. PartielleAb(cid:0)leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (cid:0)6. TotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 (cid:0)7. Taylor–Formel.LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (cid:0)8. ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 (cid:0)9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 (cid:0)10. Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen . . . . . . . . . 84 (cid:0)11. ElementareLo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 (cid:0)12. Existenz–undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 104 (cid:0)13. LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 108 (cid:0)14. Differentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 114 (cid:0)15. LineareDgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . 131 (cid:0)16. Systemevonlin.Dgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . 141 (cid:0) Literaturverzeichnis 151 Teil I Aufgaben 3 1. TopologiemetrischerRa¨ume (cid:0) Aufgabe1A. Auf werdeeineMetrikδdefiniertdurch (cid:0) (cid:0) δ x y : arctan x y (cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:3) (cid:0) (cid:2) (cid:0)(cid:2) Manzeige,dassδdieAxiomeeinerMetrikerfu¨lltunddassdieoffenenMengen bzgl.dieserMetrikdieselbensindwiebzgl.deru¨blichenMetrik d x y x y (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:3)(cid:0) (cid:2) (cid:0)(cid:2) Aufgabe1B. Sei X d einmetrischerRaum.AufX werdeeineneueMetrik δdefiniertdurch (cid:0) (cid:0) (cid:2) d x y δ(cid:0)x(cid:0)y(cid:2):(cid:3)1 (cid:0)d(cid:0)x(cid:2)y (cid:2) Manzeige,dassδdieAxiomeeinerMetr(cid:4)iker(cid:0)fu¨(cid:0)ll(cid:2)tunddassdieoffenenMengen bzgl.derMetrikδdieselbensindwiebzgl.derAusgangs-Metrikd. Aufgabe1C. Essei X d einmetrischerRaumundseienx X,k 1 4, k PunkteausX.Manbe(cid:0)w(cid:0)eis(cid:2)e: (cid:3) (cid:3) (cid:0)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:0) a) d x x d x x d x x , 1 2 2 3 1 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:0)(cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:2) b) d x x d x x d x x d x x . 1 2 3 4 1 3 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:0)(cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:2) Aufgabe1D. SeienA,B beliebigeTeilmengen.Manzeige: (cid:0) (cid:5)(cid:0) a) A B Æ AÆ BÆ, (cid:0) (cid:6) (cid:2) (cid:3) (cid:6) b) A B A B. (cid:6) (cid:3) (cid:6) Aufgabe1E. SeienA,B beliebigeTeilmengen.Manzeige,dassfu¨rden (cid:0) RandvonA B 2 gilt (cid:5)(cid:0) (cid:6) (cid:5)(cid:0) ∂ A B ∂A B A ∂B (cid:0) (cid:6) (cid:2)(cid:3)(cid:0) (cid:6) (cid:2)(cid:7)(cid:0) (cid:6) (cid:2)(cid:2) Aufgabe 1 F. Man zeige, dass in einem metrischen (oder topologischen) (cid:0) RaumdieVereinigungendlichvielerundderDurchschnittbeliebigvielerab- geschlossenerMengenwiederabgeschlossenist. (cid:0)ZudenmiteinemSternversehenenAufgabenfindensichLo¨sungenimLo¨sungsteil O. Forster, T. Szymczak, Übungsbuch zur Analysis 2, Grundkurs Mathematik, DOI 10.1007/978-3-658-00513-9_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 4 Aufgaben Aufgabe1G. Manbeweise: (cid:0) a) EineTeilmengeY einestopologischenRaumesX istgenaudannoffen, wennY ∂Y 0/. (cid:0) (cid:0) b) EineTeilmengeY einestopologischenRaumesX istgenaudannabge- schlossen,wenn∂Y Y. (cid:2) Aufgabe1H. EsseiX einebeliebigeMenge.Dannwirddurch (cid:0) 0 fallsx y d x y : 1(cid:0) fallsx(cid:0)y(cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:0) (cid:0) aufXeineMetrikdefiniert(dheißttrivialeMetrikaufX).Manzeige,dassjede TeilmengevonX bzgl.dieserMetrikzugleichoffenundabgeschlossenist. Aufgabe1I. EsseiX einmetrischerRaumundA,BzweiTeilmengenvonX. ManzeigefolgendeAussagen: a) AÆ Æ AÆ A A A. (cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:3) b) Die Vereinigung aller offenen Teilmengen von X, die auch Teilmenge von A sind, ist gleich AÆ. Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teil- mengenvonX,welcheAumfassen,istgleichA. c) IstA B,soauchAÆ BÆ undA B. (cid:2) (cid:2) (cid:2) d) AÆ BÆ A B Æ, A B A B. (cid:0) (cid:0)(cid:2) (cid:0) (cid:3) (cid:4) (cid:0) (cid:4) e) AÆ BÆ A B Æ, A B A B. Gilti.a.auchGleichheit? (cid:4) (cid:2)(cid:2) (cid:4) (cid:3) (cid:0) (cid:5) (cid:0) Aufgabe1J. AufderMenge derganzenZahlenwerdefolgendeTopologie (cid:0) eingefu¨hrt:OffeneMengensind(cid:0)außer0/ und alleTeilmengenU ,sodass U endlich ist. Man zeige, dass die Axio(cid:0)me einer Topologie(cid:2)er(cid:0)fu¨llt sind, (cid:0)(cid:2) aberdasHausdorffscheTrennungs-Axiomnichtgilt.

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