Übungsbuch zur Analysis 2: Aufgaben und Lösungen

156 Pages·2013·1.227 MB·German

by  Otto Forster, Thomas Szymczak (auth.)

Grundkurs Mathematik
Berater
Prof. Dr. Martin Aigner,
Prof. Dr. Peter Gritzmann,
Prof. Dr. Volker Mehrmann,
Prof. Dr. Gisbert Wüstholz
Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe im
handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathematischen
Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind
didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Bei-
spiele und Übungsaufgaben.
In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der
Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studierende der Ma-
thematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissen-
schaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der
Sekundarstufe II.
Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto
Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Algebra in aktuali-
sierter Neuauflage.
⋅
Otto Forster Thomas Szymczak
Übungsbuch
zur Analysis 2
Aufgaben und Lösungen
8., aktualisierte Auflage
Prof. Dr. OttoForster Dr.ThomasSzymczak
Ludwig-Maximilians-Universität Ostfildern,Deutschland
München,Deutschland [email protected]
[email protected]
ISBN978-3-658-00512-2 ISBN978-3-658-00513-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-00513-9
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werdendürften.
Lektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach
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V
Vorwort zur ersten Auflage
DervorliegendeBandstelltdenzweitenTeileinesU¨bungsbucheszurAnalysis
dar.
WieimerstenBandistdasBuchineinenAufgaben–undLo¨sungsteilunter-
gliedert.DieAufgabenstammenvorwiegendausdemBuch Analysis2“ von
”
O.Forster,jedochauchdiezusa¨tzlichenAufgabensetzenstofflichnichtmehr
Wissenvoraus.
Die Lo¨sungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausfu¨hrlich
dargestelltundandieBu¨cher Analysis1“und Analysis2“(imfolgendenmit
” ”
An.1undAn.2zitiert)vonO.Forsterangelehnt,sodaßsieauchohnezusa¨tz-
licheLiteraturzuverstehensind.IstzueinerAufgabekeineLo¨sungenthalten,
so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausfu¨hrlichen Anleitung
versehen.
SicherlichwirddiesesBuchnichtfehlerfreiseinundzueinigenAufgabengibt
esku¨rzerebzw.elegantereLo¨sungen,dochichhoffe,daßderLesermitdiesem
BuchnichtdenSpaßverliert,selbstmathematischeAufgabenzulo¨sen.Denn
mansolltesichinderRegel,bevormaneineLo¨sungzueinerAufgabeineinem
Buchnachliest,ausgiebigmitihrbescha¨ftigthabenundversuchthaben,selbst
eineLo¨sungzufinden.
Schließlichmo¨chteichnocheinigeDanksagungenaussprechen:
HerrnProfessorO.Forster,dermitseinenBu¨chernzurAnalysisdieses
(cid:0)
Bucherstmo¨glichgemachthat.
HerrnProfessorDr.W.Ku¨hnel,beidemichdieGrundvorlesungenzur
(cid:0)
Analysisgeho¨rthabe.
Fu¨rdieMithilfebeimKorrekturlesendankeichHerrnKu¨hnundHerrn
(cid:0)
Westermann.
DemVieweg–VerlagundinsbesondereFrauSchmickler–Hirzebruchfu¨r
(cid:0)
dieHerausgabedesBuches.
Dinslaken,Februar1995 ThomasSzymczak
VI
Vorwortzur2.Auflage
In der vorliegenden zweiten Auflage wurden einige Lo¨sungen vereinfacht.
Weiter wurden diejenigen Aufgaben, zu denen Lo¨sungen bzw. Hinweise im
2.Teilvorhandensind,imAufgabenteilmiteinemSternversehen.
Rostock,Ma¨rz1997 ThomasSzymczak
Vorwortzur4.Auflage
Nachdem der Band Analysis 2 mit der 6. Auflage eine umfassende Neube-
arbeitungerfahren hat,wurdeauchdasvorliegendeU¨bungsbuchu¨berarbeitet
undderNeuauflagederAnalysis2angepasst.Einigefru¨hereU¨bungsaufgaben
sindjetztindenHaupttextderAnalysis2aufgenommen;dafu¨rkamenandere
AufgabenundLo¨sungenhinzu.
April2005 OttoForster
ThomasSzymczak
Vorwortzur8.Auflage
Fu¨r die 8. Auflage wurden eine Reihe von Aufgaben u¨berarbeitet, Lo¨sungen
vereinfachtundzumTeilalternativeLo¨sungswegeangegeben.Außerdemka-
meneinigeneueAufgabenundLo¨sungenhinzu.
Juli2012 OttoForster
ThomasSzymczak
VII
Inhaltsverzeichnis
I.Aufgaben
1. TopologiemetrischerRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
(cid:0)2. Grenzwerte.Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
(cid:0)3. Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
(cid:0)4. Kurvenim n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
(cid:0)5. PartielleAb(cid:0)leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
(cid:0)6. TotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
(cid:0)7. Taylor–Formel.LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 15
(cid:0)8. ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
(cid:0)9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
(cid:0)10. Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen . . . . . . . . . 19
(cid:0)11. ElementareLo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
(cid:0)12. Existenz–undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 23
(cid:0)13. LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 24
(cid:0)14. Differentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 26
(cid:0)15. LineareDgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . 29
(cid:0)16. Systemevonlin.Dgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . 31
(cid:0)
II.Lo¨sungen
1. TopologiemetrischerRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
(cid:0)2. Grenzwerte.Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
(cid:0)3. Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
(cid:0)4. Kurvenim n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
(cid:0)5. PartielleAb(cid:0)leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
(cid:0)6. TotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
(cid:0)7. Taylor–Formel.LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 64
(cid:0)8. ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
(cid:0)9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
(cid:0)10. Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen . . . . . . . . . 84
(cid:0)11. ElementareLo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
(cid:0)12. Existenz–undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 104
(cid:0)13. LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 108
(cid:0)14. Differentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 114
(cid:0)15. LineareDgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . 131
(cid:0)16. Systemevonlin.Dgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . 141
(cid:0)
Literaturverzeichnis 151
Teil I
Aufgaben
3
1. TopologiemetrischerRa¨ume
(cid:0)
Aufgabe1A. Auf werdeeineMetrikδdefiniertdurch
(cid:0)
(cid:0)
δ x y : arctan x y
(cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:3) (cid:0) (cid:2) (cid:0)(cid:2)
Manzeige,dassδdieAxiomeeinerMetrikerfu¨lltunddassdieoffenenMengen
bzgl.dieserMetrikdieselbensindwiebzgl.deru¨blichenMetrik
d x y x y
(cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:3)(cid:0) (cid:2) (cid:0)(cid:2)
Aufgabe1B. Sei X d einmetrischerRaum.AufX werdeeineneueMetrik
δdefiniertdurch (cid:0) (cid:0) (cid:2)
d x y
δ(cid:0)x(cid:0)y(cid:2):(cid:3)1 (cid:0)d(cid:0)x(cid:2)y (cid:2)
Manzeige,dassδdieAxiomeeinerMetr(cid:4)iker(cid:0)fu¨(cid:0)ll(cid:2)tunddassdieoffenenMengen
bzgl.derMetrikδdieselbensindwiebzgl.derAusgangs-Metrikd.
Aufgabe1C. Essei X d einmetrischerRaumundseienx X,k 1 4,
k
PunkteausX.Manbe(cid:0)w(cid:0)eis(cid:2)e: (cid:3) (cid:3) (cid:0)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:0)
a) d x x d x x d x x ,
1 2 2 3 1 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:0)(cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:2)
b) d x x d x x d x x d x x .
1 2 3 4 1 3 2 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:0)(cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:2)
Aufgabe1D. SeienA,B beliebigeTeilmengen.Manzeige:
(cid:0)
(cid:5)(cid:0)
a) A B Æ AÆ BÆ,
(cid:0) (cid:6) (cid:2) (cid:3) (cid:6)
b) A B A B.
(cid:6) (cid:3) (cid:6)
Aufgabe1E. SeienA,B beliebigeTeilmengen.Manzeige,dassfu¨rden
(cid:0)
RandvonA B 2 gilt (cid:5)(cid:0)
(cid:6) (cid:5)(cid:0)
∂ A B ∂A B A ∂B
(cid:0) (cid:6) (cid:2)(cid:3)(cid:0) (cid:6) (cid:2)(cid:7)(cid:0) (cid:6) (cid:2)(cid:2)
Aufgabe 1 F. Man zeige, dass in einem metrischen (oder topologischen)
(cid:0)
RaumdieVereinigungendlichvielerundderDurchschnittbeliebigvielerab-
geschlossenerMengenwiederabgeschlossenist.
(cid:0)ZudenmiteinemSternversehenenAufgabenfindensichLo¨sungenimLo¨sungsteil
O. Forster, T. Szymczak, Übungsbuch zur Analysis 2, Grundkurs Mathematik,
DOI 10.1007/978-3-658-00513-9_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013
4 Aufgaben
Aufgabe1G. Manbeweise:
(cid:0)
a) EineTeilmengeY einestopologischenRaumesX istgenaudannoffen,
wennY ∂Y 0/.
(cid:0) (cid:0)
b) EineTeilmengeY einestopologischenRaumesX istgenaudannabge-
schlossen,wenn∂Y Y.
(cid:2)
Aufgabe1H. EsseiX einebeliebigeMenge.Dannwirddurch
(cid:0)
0 fallsx y
d x y :
1(cid:0) fallsx(cid:0)y(cid:0)
(cid:2) (cid:0) (cid:3) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:0) (cid:0)
aufXeineMetrikdefiniert(dheißttrivialeMetrikaufX).Manzeige,dassjede
TeilmengevonX bzgl.dieserMetrikzugleichoffenundabgeschlossenist.
Aufgabe1I. EsseiX einmetrischerRaumundA,BzweiTeilmengenvonX.
ManzeigefolgendeAussagen:
a) AÆ Æ AÆ A A A.
(cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)
(cid:2) (cid:3)
b) Die Vereinigung aller offenen Teilmengen von X, die auch Teilmenge
von A sind, ist gleich AÆ. Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teil-
mengenvonX,welcheAumfassen,istgleichA.
c) IstA B,soauchAÆ BÆ undA B.
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
d) AÆ BÆ A B Æ, A B A B.
(cid:0) (cid:0)(cid:2) (cid:0) (cid:3) (cid:4) (cid:0) (cid:4)
e) AÆ BÆ A B Æ, A B A B. Gilti.a.auchGleichheit?
(cid:4) (cid:2)(cid:2) (cid:4) (cid:3) (cid:0) (cid:5) (cid:0)
Aufgabe1J. AufderMenge derganzenZahlenwerdefolgendeTopologie
(cid:0)
eingefu¨hrt:OffeneMengensind(cid:0)außer0/ und alleTeilmengenU ,sodass
U endlich ist. Man zeige, dass die Axio(cid:0)me einer Topologie(cid:2)er(cid:0)fu¨llt sind,
(cid:0)(cid:2)
aberdasHausdorffscheTrennungs-Axiomnichtgilt.