Übungsbuch zur Analysis 1: Aufgaben und Lösungen

183 Pages·2008·0.944 MB·German

by  Prof. Dr. Otto Forster, Rüdiger Wessoly (auth.)

Otto Forster | Rüdiger Wessoly
Übungsbuch zur Analysis 1
Grundkurs Mathematik
Berater:
Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann
und Gisbert Wüstholz
Lineare Algebra
von Gerd Fischer
Übungsbuch zur Linearen Algebra
von Hannes Stoppel und Birgit Griese
Analytische Geometrie
von Gerd Fischer
Analysis 1
von Otto Forster
Übungsbuchzur Analysis 1
von Otto Forster und Rüdiger Wessoly
Analysis 2
von Otto Forster
Übungsbuch zur Analysis 2
von Otto Forster und Thomas Szymczak
Numerische Mathematik für Anfänger
von Gerhard Opfer
Numerische Mathematik
von Matthias Bollhöfer und Volker Mehrmann
www.viewegteubner.de
Otto Forster | Rüdiger Wessoly
Übungsbuch
zur Analysis1
Aufgaben und Lösungen
4., überarbeitete Auflage
STUDIUM
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<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Otto Forster
Ludwig-Maximilians-Universität München
Mathematisches Institut
Theresienstraße 39
80333 München
[email protected]
Die Titel der Reihe „Grundkurs Mathematik“ erschienen bisher unter dem Namen
„vieweg studium – Grundkurs Mathematik“.
1. Auflage1995
3Nachdrucke
2., überarbeitete Auflage 2004
3., überarbeiteteAuflage2006
4., überarbeitete Auflage 2008
Alle Rechtevorbehalten
©Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská Tiskárna, a.s., Tschechien
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in CzechRepublic
ISBN 978-3-8348-0307-8
V
Vorwort zur 1. Auflage
SeitdemErscheinenmeinesBuchesAnalysis1sindwiederholtAnfragenge-
kommen, doch Lo¨sungen zu den U¨bungsaufgaben herauszugeben. Ich stand
demimmerskeptischgegenu¨ber.DasLo¨senvonU¨bungsaufgabenzudenAn-
fa¨ngervorlesungen ist ein unentbehrlicher Bestandteil des Mathematik–Stu-
diums.DasVorliegenvonschriftlichenLo¨sungenverfu¨hrtaberdazu,esselbst
nicht hart genug zu versuchen und zu fru¨h in den Lo¨sungen nachzuschauen.
Außerdem kanneinegedruckteLo¨sungnichtdieBesprechung derAufgaben
in einer U¨bungsgruppeersetzen, in der der Tutor(im allerdings nicht immer
erreichtenIdealfall)aufdieverschiedenenLo¨sungsmo¨glichkeitenunddiege-
machtenFehlereingehenundbeiVersta¨ndnisschwierigkeitenindividuellhel-
fenkann.
Andererseits ist der Bedarf an U¨bungsmaterial mit nachpru¨fbaren Lo¨sungen
fu¨r das Selbststudium (z.B. bei Pru¨fungsvorbereitungen) nicht von der Hand
zu weisen. So wurde mit dem vorliegenden Aufgabenbuch ein Kompromiß
versucht: Zu ausgewa¨hlten Aufgaben wurden Lo¨sungen ausgearbeitet und es
wurden auch neue Aufgaben hinzugefu¨gt, so daß genu¨gend viele ungelo¨ste
AufgabenalsHerausforderungfu¨rdenLeseru¨brigbleiben.
AlleAufgabentexte(einschließlichderausdemBuchAnalysis1u¨bernomme-
nen) sind im 1. Teil des Aufgabenbuches abgedruckt. Zu den mit Stern ver-
sehenenAufgabenstehenLo¨sungenim2.Teil,manchmalauchnurHinweise
oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse. In keinem Fall sind die angegebe-
nenLo¨sungenalsalleingu¨ltigeMuster–Lo¨sungenzubetrachten.Zufastallen
AufgabengibtesmehrereLo¨sungswegeundesistoftnureineFragedesGe-
schmacks,welchenWegmanwa¨hlt.AuchsindsicherlichnocheinigeLo¨sun-
genmitmehroderwenigerschwerenFehlern(vonDruckfehlernundVersehen
bis zu logischen Fehlern) behaftet. Der Student mag sich damit tro¨sten, daß
nichtnurihm,sondernauchdemDozentenfu¨rmancheLo¨sungenderU¨bungs-
aufgabenPunkteabgezogenwu¨rden.
DieArbeitandiesemBuchhabeichzusammenmitmeinemlangja¨hrigenAs-
sistentenandenUniversita¨tenMu¨nsterundMu¨nchen,Dr.Ru¨digerWessolybe-
gonnen.DiegemeinsameArbeitwurdeauchnachseinemAusscheidenausder
Universita¨t,alserfu¨reinevonihmselbstmitbegru¨ndeteSoftware–Firmaarbei-
tete,fortgesetzt.NochvorderFertigstellungdesManuskriptsistHerrWessoly
VI
plo¨tzlichundunerwartetverstorben.SeinemAndenkenseidiesesBuchgewid-
met.
ZudankenhabeichauchHerrnThomasSzymczak(Dinslaken),derselbsta¨ndig
einLo¨sungsbuchzurAnalysis2erarbeitet hatunddersichbereiterkla¨rthat,
dasManuskriptzumvorliegendenBuchinLATEXzusetzenunddabeimanche
FehlerundUnebenheitenausdemTexteliminierthat. Nichtzuletztverdankt
das Buch sein Erscheinen dem beharrlichen und unermu¨dlichen Einsatz von
FrauU.Schmickler-HirzebruchvomVieweg-Verlag.
Mu¨nchen,Februar1995 OttoForster
Vorwortzur2.Auflage
Fu¨r die 2. Auflage dieses U¨bungsbuches habe ich die bekannt gewordenen
Druckfehlerkorrigiert(vielenDankdensorgfa¨ltigenLeserinnenundLesern!)
undeineAnpassungandieneuesteAuflagedesBuchesAnalysis1vorgenom-
men,dasseitder5.AuflagemancheA¨nderungenerfahrenhat.Sosindeinige
fru¨hereU¨bungsaufgabenjetztindenHaupttextderAnalysis1integriert.Dafu¨r
wurdenindasU¨bungsbuchneueAufgabenundLo¨sungenaufgenommen.
Mu¨nchen,Ma¨rz2004 OttoForster
Vorwortzur4.Auflage
Fu¨r die 3. und 4. Auflage wurden bekannt gewordene Druckfehler korrigiert
sowieeinigeneueAufgabenundLo¨sungenhinzugefu¨gt.
Mu¨nchen,Mai 2008 OttoForster
VII
Inhaltsverzeichnis
I Aufgaben 1
§1 Vollsta¨ndigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2 DieKo¨rperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§3 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§4 Folgen,Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§5 DasVollsta¨ndigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§6 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§7 Konvergenzkriterienfu¨rReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§8 DieExponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§9 Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§10 Funktionen,Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§11 Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§12 LogarithmusundallgemeinePotenz . . . . . . . . . . . . . . 26
§13 DieExponentialfunktionimKomplexen . . . . . . . . . . . . 29
§14 TrigonometrischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§15 Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§16 LokaleExtrema.Mittelwertsatz.Konvexita¨t . . . . . . . . . . 35
§17 NumerischeLo¨sungvonGleichungen . . . . . . . . . . . . . 37
§18 DasRiemannscheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§19 IntegrationundDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§20 UneigentlicheIntegrale.DieGamma–Funktion . . . . . . . . 46
§21 Gleichma¨ßigeKonvergenzvonFunktionenfolgen . . . . . . . 48
§22 Taylor–Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§23 Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
VIII
II Lo¨sungen 55
§1 Vollsta¨ndigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§2 DieKo¨rperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§3 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§4 Folgen,Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§5 DasVollsta¨ndigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§6 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§7 Konvergenzkriterienfu¨rReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§8 DieExponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§9 Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§10 Funktionen,Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§11 Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§12 LogarithmusundallgemeinePotenz . . . . . . . . . . . . . . 112
§13 DieExponentialfunktionimKomplexen . . . . . . . . . . . . 117
§14 TrigonometrischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§15 Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§16 LokaleExtrema.Mittelwertsatz.Konvexita¨t . . . . . . . . . . 136
§17 NumerischeLo¨sungvonGleichungen . . . . . . . . . . . . . 144
§18 DasRiemannscheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§19 IntegrationundDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
§20 UneigentlicheIntegrale.DieGamma–Funktion . . . . . . . . 164
§21 Gleichma¨ßigeKonvergenzvonFunktionenfolgen . . . . . . . 166
§22 Taylor–Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§23 Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Teil I
Aufgaben
3
§1 Vollsta¨ndigeInduktion
Aufgabe1A*. Seienn,knatu¨rlicheZahlenmitn≥k.Manbeweise
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
n+1 = ∑n m .
k+1 k
m=k
Aufgabe1B. Fu¨reinereelleZahlxundeinenatu¨rlicheZahlkwerdedefiniert
(cid:2) (cid:3)
x :=∏k x−j+1 =x(x−1)·...·(x−k+1),
k j k!
j=1
alsoinsbesondere (cid:2) (cid:3)
x
=1.
0
Manbeweisefu¨rallereellenZahlenxundnatu¨rlichenZahlenk
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
x+1 x x
a) = + ,
k+1 k+1 k
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
−x x+k−1
b) =(−1)k ,
k k
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
k+x k−x
c) =− .
2k+1 2k+1
Aufgabe1C*. Manbeweisefu¨rallereellenZahlenx,yundallen∈N
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:3)
x+y = ∑n x y .
n n−k k
k=0
Aufgabe1D. Manbeweisefu¨rallereellenZahlenx,yundallen∈N
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:3)
x+y+n−1 = ∑n x+n−k−1 y+k−1 .
n n−k k
k=0
Aufgabe1E. Manzeige:Fu¨rallen∈Ngilt
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
2n = ∑n n 2.
n k
k=0