Ottmar Beucher Übungsbuch Signale und Systeme 2. Auflage Übungsbuch Signale und Systeme Ottmar Beucher Übungsbuch Signale und Systeme 2. Auflage OttmarBeucher HochschuleKarlsruhe Karlsruhe,Deutschland Die im Lösungsbuch verwendeten Programme der MATLAB/Simulink-Begleitsoftware können über die Buchseite auf der Homepage des Springer-Verlags heruntergeladen werden. http://www.springer.com/de/book/9783662459546 ISBN978-3-662-45954-6 ISBN978-3-662-45955-3(eBook) DOI10.1007/978-3-662-45955-3 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerVieweg ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2011,2015 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Das giltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEin- speicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. indiesem Werk be- rechtigtauch ohnebesondere Kennzeichnung nicht zuder Annahme, dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebung alsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunkt derVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.Weder derVerlagnoch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit,Gewähr für den Inhalt des Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen. GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerFachmedienWiesbadenGmbHistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia (www.springer.com) Vorwort DervorliegendeBandenthältdieLösungenderimBuchSignaleundSyste- me–Theorie,Simulation,AnwendungvorgeschlagenenÜbungsaufgaben. Die Bearbeitung der Übungsaufgaben ist für das Verständnis der im Lehr- buchbesprochenenBegriffeundMethodenessentiell.VieleAufgaben,insbe- sonderediezurstochastischenSignaltheorieundihrerAnwendungen,sind unter Einsatz von MATLAB zu lösen. Die Bearbeitung der Aufgaben mit MATLAB ist sehr zu empfehlen, da nur ein korrektes Verständnis der Zu- sammenhänge eine Umsetzung in korrekte lauffähige Programme erlaubt. InsofernistMATLABaucheingutesWerkzeugderSelbstkontrollebeimEr- lernendesStoffes. UmdemLesereineKontrolleseinerbearbeitetenAufgabenzuermöglichen, wurdendieLösungenzudenÜbungsaufgabenausführlichdokumentiert. Jedoch war aufgrund der Vielzahl der Aufgabeneine Auslagerung der Lö- sungen aus dem Lehrbuch in einen eigenen Lösungsband nötig geworden, umdenUmfangdesLehrbuchsineinemvertretbarenMaßzuhalten. Aus Gründen der besseren Lesbarkeit des Lösungsbandes und der beque- meren Zuordnung der Lösungen zu den Übungen, werden die Aufgaben- stellungendesLehrbuchsimvorliegendenWerkwiederholt.Dieserhöhtne- benbei die Eigenständigkeit des Lösungsbandes und macht das Buch auch ohnedaszugehörigeLehrbuchprinzipiellnutzbar. Danksagungen: MeinbesondererDankgiltFrauEvaHestermann-Beyerle undFrauBirgitKollmarvomSpringer-Verlag,diediesesBuchverlagsseitig betreutunddessenVeröffentlichungunterstützthaben. LandauinderPfalz imMai2011 O.Beucher Vorwort zur 2. Auflage DasBuchhatgegenüberdererstenAuflagekeinestrukturellenÄnderungen erfahren.DiemeistenÄnderungenbetreffendieabgedrucktenMATLABund Simulink-Programme. Hier hat es beispielsweise größere Änderungen be- züglichderSymbolicMathToolboxgegeben,diezwarkeinenEinflussaufdie Berechnungen, jedoch an vielen Stellen auf die Darstellung der Ergebnisse hatten. DarüberhinauswurdenatürlichdieGelegenheitwahrgenommen,nochvor- handeneFehlerausdemTextzueliminieren. LandauinderPfalz imDezember2014 O.Beucher Hinweise zum Gebrauch des Buches ImFolgendensindeinigeHinweisezusammengestellt,diebestimmteBeson- derheitendesBucheserläuternsollen. Vorkenntnisse: Für die Lösungen der Übungen werden Kenntnisse vorausgesetzt, die den Inhalten des zugehörigen Lehrbuchs Signale und Systeme – Theorie, Simu- lation,Anwendungentsprechen. MATLAB-Vorkenntnisse: Der Lesersollte über Kenntnisse dergrundlegendenMATLAB-Befehlever- fügen und in der Lage sein, die Funktionsweise von MATLAB-Program- men zu verstehen. Idealerweise sollte er kleinere Programme selbst schrei- ben können, um die Übungsaufgaben selbstständig bearbeiten zu können. Die geforderten MATLAB-Kenntnisse entsprechen üblichen Einführungen in MATLAB, wie sie etwa im Einführungsbuch „MATLAB und Simulink“ desAutorszufindensind. WederimvorliegendenBuchnochimzugehörigenLehrbuchwirdeineEin- führunginMATLABgegeben. Begleitsoftware AlleindemvorliegendenLösungsband undindemzugehörigenLehrbuch verwendetenundteilweiseabgedrucktenProgrammesindüberdieelektro- nischeSeitedesBuchesaufderHomepagedesSpringer-Verlags http://www.springer.com/de/book/9783662459546 verfügbar.DieNamendieserProgrammesindimTextdurchFettdruckher- vorgehobenundderabgedruckteMATLAB-Codeist,miteinemgrauenHin- tergrund unterlegt, vom Fließtext abgesetzt. Die Original-Programme sind natürlich weit ausführlicher kommentiert als in den abgedruckten Auszü- gen. UmdemLeserdasAuffindenderProgrammeimTextzuerleichtern,istam EndedesBucheseinBegleitsoftwareindexabgedruckt. WichtigerHinweiszudenSimulink-Systemen: Die Simulink-Systeme der Begleitsoftware werden im Allgemeinen durch einen im Blockschaltbild integrierten Initialisierungsbutton initialisiert. Durch Drücken des Buttons wird ein zugehöriges MATLAB-Skript auf- gerufen, welches die von Simulink-System benötigten Variablen im MAT- LAB-Workspacedefiniert.Anschließend kanndieSimulationgestartetwer- den. Es empfiehlt sich, Änderungen der Initialisierungsvariablen nur im X HinweisezumGebrauchdesBuches Workspace vorzunehmen, nicht jedoch im Initialisierungsskript, um bei ei- ner späteren erneuten Simulation die gleichen Voraussetzungen vorzufin- den. Referenztabellen DerLösungsbandenthältzweiReferenztabellen,diealsHilfestellungbeider BearbeitungderÜbungengedachtsind.ZuBeginndesBuchesisteineTabel- leintegriert,inderdiewichtigstenZusammenhängeausdemLehrbuch„Si- gnale und Systeme – Theorie, Simulation, Anwendung“ zusammengefasst undkomprimiertdargestelltwerden. AmEndedesBuchesfindetmanfernereineTabelle,inderdieÜbungenden darinbehandeltenSachthemenzugeordnetsind.Übungenzueineminteres- sierendenThemengebietkönnensoleichterausgewähltwerden. MathematischeFormelnundGleichungen Mathematische Formeln und Gleichungen sind entsprechend ihrer Seite nummeriert.SobedeutetdieReferenzaufGleichung(80.2),dassdieentspre- chende Gleichung auf der Seite 80 zu finden ist und dort die zweite (num- merierte)Gleichungist. Marginalien BesondersschwierigeÜbungsaufgabensindamRandwienebenstehendmit einembesonderenSymbolgekennzeichnet. Das Symbol weist auf besondere Herausforderungen bei der Lösung der Aufgabehin. Signale und Systeme - Kurzreferenz IndennachfolgendenTabellenwerdeneinigewichtigeZusammenhängeaus dem Lehrbuch „Signale und Systeme – Theorie, Simulation, Anwendung“ zusammengefasstundkomprimiertdargestellt. DarstellungsformenfürzeitkontinuierlicheSysteme LTI-SystemeSimZeitbereich LTI-SystemeSimBildbereich LTI-SystemeSimFrequenzbereich Differentialgleichungen ÜbertragungsfunktionimBildbereich ÜbertragungsfunktionimFrequenzbereich fallsSystemstabil kXN=0akddtkky(t)=jXM=0bjddtjjx(t) H(s)= PNkMj==00abjkssjk H(jω)=H(s)|s=jω P Zustandsraumdarstellungen d s·X~(s)=A·X~(s)+B·U~(s), − ~x(t)=A·~x(t)+B·~u(t), dt y~(t)=C·~x(t)+D·u~(t) Y~(s)=C·X~(s)+D·U~(s) − EindeutigeCharakterisierungdurchdie EindeutigeCharakterisierungdurchdie EindeutigeCharakterisierungdurch Impulsantworth(t) Übertragungsfunktion Frequenzgang undSignalspektren y(t)=x(t)∗h(t) (x∗h)(t)=(h∗x)(t) ∞ ◦−•H(s)·X(s) := x(τ)h(t−τ)dτ Y(jω)=H(jω)·X(jω) −Z∞ Y(s)=H(s)·X(s) DarstellungsformenfürzeitdiskreteSysteme LTI-SystemeSimZeitbereich LTI-SystemeSimBildbereich LTI-SystemeSimFrequenzbereich Differenzengleichungen ÜbertragungsfunktionimBildbereich ÜbertragungsfunktionimFrequenzbereich, fallsSystemstabil kXN=0akyn−k=jXM=0bjxn−j, H(z)= PNkMj==00abjkzz−−jk H(Ω)=H(z)|z=ejΩ PY(z) ∀Ω∈[−π,π]. mit ak,bj∈C = X(z) Zustandsraumdarstellungen ~xn+1=A·~xn+B·u~n z·X~(z)=A·X~(z)+B·U~(z) − ~yn=C·~xn+D·~un Y~(z)=C·X~(z)+D·U~(z) − EindeutigeCharakterisierungdurchdie EindeutigeCharakterisierungdurchdie EindeutigeCharakterisierungdurch Impulsantworthn Übertragungsfunktion FrequenzgangundSignalspektren, normierteFrequenz yn=hn∗xn= ∞ xkhn−k (hn∗xn)n∈Z←Z→H(z)·X(z) Y(Ω)=H(Ω)·X(Ω) k=X−∞ f ω 1 Y(z)=H(z)·X(z) Ω=2πfa = fa, fa= T XII SignaleundSysteme-Kurzreferenz SpeziellezeitkontinuierlicheSignale SignaleimZeitbereich SignaleimBildbereich SignaleimFrequenzbereich DerDirac-Impulsδ0(t) Ausblendeigenschaft,Faltungseigenschaft, Translationseigenschaft: ∞ δ0(x(t))= δ0(t)x(t)dt − 1(ω)=1 ∀ω∈R −Z∞ =x(0) − − δ0(t)∗x(t)=x(t−τ)|τ=0 =x(t) δ0(t−t0)∗x(t) =x(t−t0) e−st0X(s) e−jωt0X(jω) Sprung-undImpulsantwort h(t) H(s) H(jω) t 1 j δ0(τ)dτ=σ(t), Σ(s)= Σ(jω)=π·δ0(ω)− −Z∞ s ω d σ(t)=δ0(t) dt yσ(t):=S(σ(t)) 1 − d Yσ(s)= H(s) =⇒ yσ(t)=h(t) s dt GleichwertundSchwingungen fallsSignalekausal(d.h.0fürt<0) 1(t) − 2πδ0(ω) sin(ωt) ω/(s2+ω2) −jπδ0(ω−ω0) +jπδ0(ω+ω0) cos(ωt) s/(s2+ω2) πδ0(ω−ω0) +πδ0(ω+ω0) ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt) 1/(s−jω) 2πδ0(ω−ω0) RechtecksignaleundFensterung Signalspektren 1 t∈[0,T], rectT(t):=0 sonst. 1−es−Ts T·e−jωT2 ·sinω(ωT2T2) 1 T T ·rectT(t+ 2) ωT − sinc 2π! :=T1 t∈[−T2,T2], 0 sonst. SpektraleVerschmierung, Spektralverbreiterung, Zeitfensterung − spektraleBegrenzung, Gibbs’Phänomen Bandbegrenzung
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