Übungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung Ü3

96 Pages·1998·9.49 MB·German

by  Doz. Dr. Ernst-Adam Pforr

Ernst-Adam Pfarr I Lothar Oehlschlaegel I Georg Seltmann
Obungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung 03
Mathematik fur Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Herausgegeben von
Prof. Dr. Otfried Beyer
Prof. Dr. Horst Erfurth
Prof. Dr. Christian GroBmann
Prof. Dr. Horst Kadner
Prof. Dr. Karl Manteuffel
Prof. Dr. Manfred Schneider
Prof. Dr. Gunter Zeidler
www.viewegteubner.de _________________- ---'
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Das Lehrwerk wurde 1972 begriindet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian GroBmann, Prof. Dr. Horst Kadner
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider
Prof. Dr. Giinter Zeidler
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Horst Kadner
Autoren:
Doz. Dr. Ernst-Adam Pforrr
Dr. Lothar Oehlschlaegel
Dipl.-Math. Georg Seltmann (Abschnitt 6)
5., durchgesehene Auflage 1998
unveranderter Nachdruck 2010
Aile Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 1998
Vieweg+ Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.
www.viewegteubner.de
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede
Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr
Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher
von jedermann benutzt werden diirften.
Umschlaggestaltung: KiinkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13:978-3-519-00224-6 e-ISBN-13:978-3-8351-9073-3
001: 10.1007/978-3-8351-9073-3
Vorwort zur 5. Auflage
Diese bewAhrte Aufgabensammlung fOr Ingenieure und Naturwissenschaftler wird seit
vielen Jahren sowohl im Direktstudium als aueh im Femstudium an Universltiiten und Faeh
hochschulen verwendet. Bel der Erarbeitung dieses Obungsbandes wurden die Erfahrun
gen aus den Mathematik-Lehrveranstahungen an der Technischen UniversitAt Dresden und
an anderen Hochschulen genutzt.
Unser Dank gilt Herm Oberlehrer J. LABig (Leipzig) fOr viele wertvolle Hinweise aus der
Sieht des Femstudlums.
Auch weiterhin sind wir fOr Hinweise und VorschlAge, die der Verbesserung dar Aufgaben
sammlung dienen, stats dankbar.
Dresden,Juni 1998 E.-A. Pforr
L. Oehlschlaegel
G. Seltmann
I I
Ernst-Adam Pforr Lothar Oehlschlaegel Georg Seltmann
••
Ubungsaufgaben zur
linearen Algebra und ..
linearen Optimierung U3
5., durchgesehene Auflage
STUDIUM
I I
VI EWEG+
TEUBNER
Inbalt
1. Matrizen und Determinanten 5
1.1. Rechnen mit Matrizen . . . • • • . . . . • • . . . . • . . . . • . • . . . . . . . . . • . . .. 5
1.2. Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
1.3. Inverse Matrix ..•....•.................................. 11
1.4. Besondere Matrizen .............•..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. VeJrtorrechnung in der Bbene und im Raum . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Lineare Abhingigkeit von Vektoren . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
3. Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1. Homogene und inhomogene Systeme .....................•........ 21
3.2. Allgemeine LOsung eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Systeme von linearen Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Lineare Abhlingigkeit von Spaltenvektoren; Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1. Gleichungen von Geraden und Bbenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Geometrische Grundaufgaben • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Anwendungen .......................................... 38
4.4. Kurven und Flichen 2.0rdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5. Geometrie im Rft • • • • • • • • • • • • . • . . • . • . • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • 43
5. Weitere Bestandtelle der linearen Algebra ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1. Lineare Uume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. Lineare Abblldungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3. Quadratische Formen ...................................... 46
5.4. Bigenwerte und BigenveJrtoren; Hauptachsentransformation ................. 47
5.5. Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1. Aufstellung linearer und linearer ganzzahliger Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2. Graphische LOsung linearer und einfacher nichtlinearer Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3. Aufgaben zum Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4. Transportprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5. Ganzzahlige Optimierungsaufgaben ............................... 64
Ausgewihlte LOsungen und LOsungshinweise ............................ 65
Anhang ................................................. 90
1. Matrizen und Determinanten
1.1. Rechnen mit Matrizen
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl, transponierte Ma
trix, Matrizengleichungen, Permutationsmatrizen, Blockmatrizen
1.1.1. Folgende Matrizen seien gegeben:
[11 -25 12]
[! !],
-~ [-~ ~ -~], C=
A = B= 10 -3 3·
a) Man berechne: A + B, A - B, A + B + C, 3A - 4B.
b) Man ermittle (falls moglich) zwei Zahlen A und /l, fiir welche die Gleichung
AA + liB = C gilt. (Was kann man aligemein uber die LOsbarkeit dieser Gleichung aus
sagen, wenn A,B,C vorgegebene Matrizen sind?)
1.1.2. Man addiere unter den folgenden Matrizen diejenigen, deren Summe erkliirt ist:
[-1 1] [6 3 7] [19 3]
B= 1 -1 ' C= 4 4 1 ' D= 27 2'
[1 2 3]
~ ~l'
G=[ H=
4 5 6·
-1 1
1.1.3. Man bestimme die LOsung X der Matrizengleichung
A + 3(X - A - E) = 2B + X - E
a) aligemein,
-!],
~ _~],
b) mitA=G B = [ _ E: Einheitsmatrix.
(Zusatzfrage: Welche Voraussetzung mussen die Matrizen .A, B, E, X erfiillen, damit
die vorgegebene Matrizengleichung sinnvoll ist?)
1.1.4.
-2 1]
[
A = [ 1 -2 4]
-2 3 -5 ' C= 0 3·
Man berechne:
cr
a) AB, BA; AC, CA; BC, CB; ATC, A. (Welche allgemeinen GesetzmiiBigkeiten wer
den durch diese Ergebnisse bestiitigt?)
b) ABC, CBA.
1.1.5. Gegeben seien die Matrizen mit komplexen Elementen
1] [5 3- [1 i]
[2 + i 2i] +
A = 1 - i 1 + i' B = 3 + 2i 7 ' b = 1 - i .
E.-A. Pforr et al., Übungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung Ü3
© Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 1998
6 1. Matrizen und Detenninanten
a) Man berechne (falls mijglic:h): ~ .Ab, bA; A *, B*, "*.
= "
b) Besitzt Ax eine reelle L6sung?
c:) Besitzt Ax = " eine komplexe L6sung?
d) Sind die Matrizen A und B hermitesc:h?
e) Sind die Matrizen A und B unitir?
1.1.6.
[2 0 3] [! -lJ.
~ = [23 0 1]
-1 S' B= 4 0 -1 ' c-
Man berec:hne (falls die entsprechenden Ausdriic:ke defmiert sind):
a) A + B, A + C, AC, Be; (A + B) C,
b) ATB,JPA,Bd,dTBT,
c:) ZA - 3B, Ad, (A + B) d, Cd, dTC.
1.1.7.
[~ ~],
C=
a) Man berec:hne: t!x, XTCx, a, xTx.
b) Welc:he geometrisc:hen Gebilde werden dutCh cTx= 1 bzw. XTC,x= 1 bzw.
XTC,x + cTx = 1 bzw. xTx = 1 besc:hrieben?
c:) Welc:he Gebilde besc:hreiben die in b) angegebenen Gleic:hungen, wenn C eine
(3, 3)-Matrix ist und c bzw. x (3, 1)-Matrizen sind?
1.1.8. A sei eine (m. II)-Matrix, x eine (II, I)-Matrix, y eine (m. I)-Matrix. Vor.: 11=1= m.
m> I, II> 1.
a) Welc:he der folgenden Ausdriic:ke sind definiert? Was &tellen sie dar (Zahl, Matrix)?
Zwischen welc:hen Ausdrilc:ken besteht ein Zusammenhang? Zwischen welc:he Aus
driic:ke tun man das Gleic:hheitszeic:hen setzen?
y.Ax,yT.Ax, xTAy, xTATy, (Ax)Ty, XT(yTA)T,~, ~T,yxTAT, ATyxT, qTA.
b) Man berec:hne diese Ausdriic:ke fiir
3 -1 0]
[
A= 1 2 2'
1.1.9.
1 2- 1] .[ -1 3 2]
[
C=[: -~] .
A= 4 0 3, B= S 1 0,
S 1-4 -3 2 4 S -3
Mit Hilfe des Falksc:hen Sc:hemas berec:hne man:
a) (A + B)C und AC + Be,
b) (AB)C und A(BC),
c:) (AB)TundBTAT.
Welc:he GesetzmliBigkeiten sind zu erkennen? Man versuc:he, diese GesetzmliBigkeiten
allgemein zu beweisen! (Welc:he Voraussetzungen iiber den Typ von A, B, C miissen er
fiUlt sein?)
1.1.llechnen mit Matrizen 7
1.1.10.
r 1- 4] 1 3 -2
2 0
4 1 0
A= 03 4 1 o2 0 B= 5. o -3
-1 3 2 5'
3 1 2
4 0 0 1 -2
0 4 0
Man bereehne (mit Hilfe del Falksehen Sehemas): AS, BA, BTAT.
1.1.11. Oeseben seien die Matrizen
0 1 0] an au]
[ [ 412
C= 0 0 1 , A = 1121 1122 112, •
100 a31 a'2 a"
Man bilde die Produkte CA und AC und vergleiehe sie mit A. Welehe OesetzmiBigkeit
ist zu erkennen?
(Bemerkung: Die Matrix C entsteht aus der Einheitsmatrix E durc:h Vertauschung der
Zeilen bzw. der Spalten. C ist eine sosenannte Permutationsmatrix.)
1.1.12. Oeseben sei eine Matrix A = [011;] vom Typ (5, 5). Man bestimme eine Matrix P
(permutationsmatrix), so daB PA die gleiehen Zeilen wie A, aber in der Reihenfolge 3, 2,
1, 4, 5 enthilt.
(Hinweis: Man orientiere sieh an Aufsabe 1.1.11.)
1.1.13. A sei eine Matrix vom Typ (n. n). Man bestimme eine Matrix P so, daB PA sieh
von A nur durch Vertauscbung der i-ten und k-ten Zeile unterseheidet. Wie wild eine
Vertauscbung der i-ten und k-ten Spalte von A erreiebt?
1.1.14. 4to .•• , a", c seien (n, 1)-Matrizen. Man beweise:
Cl • "1 + Cz' 112 + ... + C• • a" = [Gt, ~, ... , a,,]c.
(C/: Elemente von c; ["10 ... , a,,): Matrix mit den Spalten "1 , ... , a".)
1.1.15. Es selte A = [::] und B = [~ ~].
(A und B sind sogenannte Blockmatrizen (Hypermatrizen); sie setzen sieb aus Teilmatri
zen (Untermatrizen) zusammen!)
Vor.: Typ (P) = Typ (T) = (~ I),
Typ (8) = Typ (W) = (m, m).
Man zeige:
aV aWl
PT+ PU+
[
AS= RT+SV RU+SWj"
1.1.16. Es selte
7Y12 -= AA2l1l%%11 ++ AA1222XXzz ++ "~1 , (I)
und
(II)
8 1. Matrizen und Determinanten
Man zeige, daB die Darstellungen (I) und (II) aquivalent sind. (Bemerkung: (II) nennt
man die Blockschreibweise von (I).)
1.1.17. a) ..4 sei die in 1.1.15. angegebene Blockmatrix. Man berechne ..42 als Blockma
trix. (Von welchem Typ mussen die Matrizen P und S sein?)
b) Unter Benutzung einer geeigneten Blockbildung berechne man das Quadrat der Ma
trix
3 0 0 0 0
0 -1 0 0 0
..4= 0 0 4 0 0
0 0 0 1 2
0 0 0 -1 3
1.1.18.
..4=[..~ n··~.. ·l , C=[·.~ n··~..· ·.l , x~[~J
a",l ••• Q"", Cd"'C""
Man beweise:
a) Ax==o~A=O, b) XTCx==O~CT= -C.
(Hinweis: == 0 bzw. :i; 0 heiBt: = 0 bzw. = 0 fUr alle x.)
1.1.19. a) Von der Matrizengleichung AX + XA T = E
[~ ~] ~ ~]
mit E = und A = [_ ermittle man eine .LOsung X. Gibt es mehrere LO
sungen?
b) Man bestimme samtliche LOsungen X der Matrizengleichung
[~ ~l
X2-X=
1.1.20. In einem Betrieb werden aus vier Rohstoffen R1, R2, R3, R4 fiinf Zwischenpro
dukte Zl, Z2, Z3, Z4, Zs hergestellt, aus diesen Zwischenprodukten werden schlieBlich
drei Endprodukte E1, E2, E3 gefertigt. In den Tabellen sind die Rohstoff-bzw. Zwischen
produktverbrauchsnormen zur Produktion einer Einheit von Zj bzw. einer Einheit von E
j
angegeben.
Zl Z2 Z3 Z4 Zs El E2 E3
Rl 3 4 2 6 1 Zl 2 4 1
R2 5 0 3 1 2 Z2 1 3 6
R3 1 2 4 0 6 Z3 5 1 0
R4 1 3 1 3 0 Z4 0 2 3
Zs 3 1 2
Mit Hilfe der Matrizenrechnung beantworte man die Frage:
Wieviel Einheiten von Rb R2, R3, ~ sind bereitzustellen, wenn der Betrieb 100 Einheiten
von Eb 200 Einheiten von ~ und 300 Einheiten von E3 herstellen solI?