Übungsaufgaben zur Analysis Ü 1

92 Pages·1999·4.727 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. habil. Horst Wenzel, Dipl.-Math. Gottfried Heinrich (auth.)

H. Wenzel/G. Heinrich
Ubungsaufgaben zur Analysis U 1
••
Ubungsaufgaben
••
zur Analysis U 1
Von Prof. Dr. Horst Wenzel
und Dipl.-Math. Gottfried Heinrich
6. Auflage
83
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Das Lehrwerk wurde 1972 begrundet und wird herausgegeben van:
Praf. Dr. Otfried Beyer, Praf. Dr. Harst Erfurth,
Praf. Dr. Christian GraBmann, Praf. Dr. Harst Kadner,
Praf. Dr. Karl Manteuffel, Praf. Dr. Manfred SChneider,
Praf. Dr. Gunter Zeidler
Verantwartlicher Herausgeber dieses Bandes:
Praf. Dr. Karl Manteuffel
Autaren:
Praf. Dr. rer. nat. habil. Harst Wenzel (Abschnitte 7.-10. und 14.-16.)
Dipl.-Math. Gattfried Heinrich (Abschnitte 1.-6. und 11.-13.)
Technische Universităt Dresden
Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ubungsaufgaben zur Analysis : U 1 I
H. Wenzel ; G. Heinrich. [Verantw. Hrsg.: Karl Manteuffel). -
Stuttgart ; Leipzig : Teubner
1. - 6. Auf!. - 1999
(Mathematik fOr Ingenieure und Naturwissenschaftler)
ISBN 978-3-519-00250-5 ISBN 978-3-663-07815-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07815-9
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung
auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fOr Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfil
mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© 1999 Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprunglich erschienen bei B.G. Teubner 1999.
Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, Leipzig
Vorwort zur 5. Auflage
Diese bewahrte Aufgabensammlung fUr Ingenieure und Naturwissenschaftler wird seit
vielen lahren sowohl im Direktstudium als auch im Fernstudium an Universitliten und
Fachhochschulen verwendet. Neben innermathematischen Problemstellungen findet der
Leser auch einfache naturwissenschaftIiche, technische und okonomische Sachverhalte.
Bei der Erarbeitung dieses Ubungsbandes wurden die Erfahrungen aus den Mathematik
Lehrveranstaltungen an der Technischen Universitat Dresden und an anderen Hochschu
len genutzt.
Aufgaben mit etwas hoherem Schwierigkeitsgrad oder umfangreicherem Rechenaufwand
sind mit einem Stern gekennzeichnet.
Unser besonderer Dank gilt den Herren Dipl.-Math. Helmut Ebmeyer (Dresden, Mitarbeit
bei den Abschnitten 1.-6. und 11.-13.) und Dr.-Ing. Ralf Kuhrt (Berlin, Mitarbeit bei den
Abschnitten 7.-lO. und 14.-16.).
Auch weiterhin sind wir fUr Hinweise und Vorschlage, die der Verbesserung der Aufga
bensammlung dienen, stets dankbar.
Dresden, luni 1997 H. Wenzel
G. Heinrich
Inhalt
1. Logik ...... . 5
2. Beweisprinzipien 6
3. Zahlen .... 7
4. Kombinatorik 10
5. Mengen ... 13
6. Funktionen 14
7. Zahlenfolgen 21
8. Grenzwerte und Stetigkeit 22
9. Ableitungen . . . . . . . . 23
10. Anwendung des Ableitungsbegrifi's . 26
11. Das unbestimmte Integral 30
12. Das bestimmte Integral . . . . . . . 33
13. Uneigentliche Integrale ...... . 39
14. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedem 41
15. Potenzreihen. . . . . . . . . . . . . 42
16. Fourierreihen und Fourierintegrale 45
L6sungen und L6sungshinweise . . . . . . . . 48
1. Logik
1.1. Welche der folgenden schriftlichen Gebilde bzw. Forrnulierungen sind Aussagen;
man bestimme gegebenenfalls ihren Wahrheitswert.
J
a) 2 + 1 = 15, b) ex2 dx, c) 2216091 - 1 ist eine Primzahl.
120.
d) Halten Sie mal bitte! e) d:~:) = f) Warum ist ; groBer als I?
g) Am 30. September 2003 wird es in Vitte keinen Verkehrsunfall geben.
h) Das ist stets ein giinstiges Angebot!
i) 3C2HsOH + PCl3 ~ 3C2HsCl + P(OHh.
j) Wenn ein rechtwinkliges Dreieck gleichseitig ist, so hat eine Kathete die Lange {IT.
k) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ahnlich, wenn die Differenz der spitzen Winkel des
einen Dreiecks gleich der entsprechenden Differenz des anderen Dreiecks ist.
1) Aller Irrtum ist maskierte Wahrheit.
m) 197 ist eine rationale Zahl.
1.2. Folgende Aussagen sollen betrachtet werden:
p: "Die Ware ist verdorben",
q: "Die Ware darf nicht verkauft werden".
Es sind verbal alle Falle anzugeben, in denen die Aussagenverbindung "p =:> q" wahr ist.
1.3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, wenn p und auch q wahr sind?
a) P/\q, b) P/\q, c) (p/\q),
d) p=:>q, e) pvq, f) (p/\q),
g) (p v q) /\ p, h) (p =:> q).
1.4. Man gebe jeweils eine Aussage p an, so daB mit q: "Das Parallelogramm D ist ein
Quadrat", gilt:
a) q =:> p, aber nicht p =:> q, c) p¢=>q.
b) p =:> q, aber nicht q =:> p,
1.5. Welche der folgenden Implikationen sind mr beliebige reelle Zahlen a, b, c, d stets
wahr?
a) (a>b)=:>(a2>b2),
b) (a> b > c > 0) =:> (a2 > ab > b2 > be> c2),
c) [(a - b)2 + 2ab > a2 + b2] =:>(a2 > 12ab),
d) (a> b) /\ (c < d) =:> (a - c> b - d),
~ ~)
e) (ab> cd) =:> ( > (b, d =1= 0).
1.6. Man bilde die Negation von:
a) Eine notwendige Bedingung damr, daB zwei Dreiecke kongruent sind, ist, daB sie glei
chen Flacheninhalt haben.
b) Zu jedem Mann gibt es mindestens eine Frau, die ihn nicht liebt.
H. Wenzel et al., Übungsaufgaben zur Analysis Ü 1
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1999
6 2. Beweisprinzipien
1.7. Man gebe die Wahrheitstafeln folgender Aussagenverbindungen an:
a) p /\ (q V r), b) (p=q)=r,
c) (p=q)=q, d) [pvq]/\[(rvq)].
Wie k6nnen demnach c) und d) vereinfacht dargestellt werden?
1.8. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln zeige man:
a) (p=q) <=>(ji v q),
b) (p v q) <=> (ji /\ ij),
c) (p /\ q) <=>(ji V ij),
d) [(p /\ q) V (ji /\ ij)] <=> [p <=> q],
e) [p /\ (q v r)] <=> [(p /\ q) V (p /\ r)],
f) [p v (q /\ r)] <=> [(p v q) /\ (p v r)].
1.9. Z(x, y) sei eine Aussageform. Man bilde die Negation von:
a) VxVy: Z(x,y), b) Vx:ly: Z(x,y),
c) :Ix Vy: Z(x, y), d) :Ix :ly: Z(x,y).
1.10. Es seien x und y Variable fUr reelle Zahlen. Man bestimme die Wahrheitswerte
von:
a) VxVy:y=x2, b) Vx:ly:y=x2,
c) :Ix Vy: y = x2, d) :Ix :ly:y = x2,
e) Vy :Ix: y = x2, f) :lyVx:y=x2•
Andert sich die L6sung in dem Fall, daB x und y Variable fUr komplexe Zahlen sind?
2. Beweisprinzipien
2.1. Man zeige, daB fUr die endliche geometrische Reihe die Darstellung
1 - qn+ 1 '*'
1 + q + q2 + ... + qn = { 1 - q , falls q 1 ist, fUr n E N, q reell,
(n + 1), falls q = 1 ist,
gilt. Welche Situationen ergeben sich beim Grenziibergang n ---'> co ?
2.2. Beweisen Sie durch vollstiindige Induktion:
±
n
a) k2 = n(n + 1)(2n + 1) , b) L(2k-1)=n2,
k~ 1 6 k~l
n + 1
e) 3· L (2k - 1)2 = 4n3 + 12n2 + lIn + 3,
k~l
6 2. Beweisprinzipien
1.7. Man gebe die Wahrheitstafeln folgender Aussagenverbindungen an:
a) p /\ (q V r), b) (p=q)=r,
c) (p=q)=q, d) [pvq]/\[(rvq)].
Wie k6nnen demnach c) und d) vereinfacht dargestellt werden?
1.8. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln zeige man:
a) (p=q) <=>(ji v q),
b) (p v q) <=> (ji /\ ij),
c) (p /\ q) <=>(ji V ij),
d) [(p /\ q) V (ji /\ ij)] <=> [p <=> q],
e) [p /\ (q v r)] <=> [(p /\ q) V (p /\ r)],
f) [p v (q /\ r)] <=> [(p v q) /\ (p v r)].
1.9. Z(x, y) sei eine Aussageform. Man bilde die Negation von:
a) VxVy: Z(x,y), b) Vx:ly: Z(x,y),
c) :Ix Vy: Z(x, y), d) :Ix :ly: Z(x,y).
1.10. Es seien x und y Variable fUr reelle Zahlen. Man bestimme die Wahrheitswerte
von:
a) VxVy:y=x2, b) Vx:ly:y=x2,
c) :Ix Vy: y = x2, d) :Ix :ly:y = x2,
e) Vy :Ix: y = x2, f) :lyVx:y=x2•
Andert sich die L6sung in dem Fall, daB x und y Variable fUr komplexe Zahlen sind?
2. Beweisprinzipien
2.1. Man zeige, daB fUr die endliche geometrische Reihe die Darstellung
1 - qn+ 1 '*'
1 + q + q2 + ... + qn = { 1 - q , falls q 1 ist, fUr n E N, q reell,
(n + 1), falls q = 1 ist,
gilt. Welche Situationen ergeben sich beim Grenziibergang n ---'> co ?
2.2. Beweisen Sie durch vollstiindige Induktion:
±
n
a) k2 = n(n + 1)(2n + 1) , b) L(2k-1)=n2,
k~ 1 6 k~l
n + 1
e) 3· L (2k - 1)2 = 4n3 + 12n2 + lIn + 3,
k~l
H. Wenzel et al., Übungsaufgaben zur Analysis Ü 1
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1999
3. Zahlen 7
{_X
n
(nxn_~)
fUr x*' 1,
I x-I x-I
f) kxk= n(n
k=1 + 1)
2 fUr x = 1,
~ sin2nx
g) L... cos (2k - 1) x = 2 . (x *' mrr, m ganze Zahl),
k=1 smx
n 1
h) kL;1 /k > .[n (n = 2,3, ... ).
2.3. Fur welche naturlichen Zahlen n gilt:
a) n!;:;; 3n, b) 2n > 2n + 1, c) 2n>n3,
n
d) 4n> n4 (man benutze das Ergebnis b)), e)* (n !)2. 2 (~)n-1
(2n)! < 3 '
< 26Sn ?
f) 6 = 4n2 + 121 .
2.4. Durch indirekten Beweis zeige man, daB
jf
a) .J3, log2 6, 1 + 3 irrationale Zahlen sind,
1- 2
b) die Gleichung eX = 0 fUr keine reelle Zahl x eine Lasung hat,
c) (a2 + b2)2;:;; 4ab(a - b)2 fUr beliebige reelle Zahlen a, b gilt,
ra
d) fUr reelle Zahlen a, b mit 0 < a < b die Ungleichung ..[b - < ~ gilt,
e) die Umkehrfunktion einer streng monoton fallenden Funktion ebenfalls streng mo
noton fallend ist,
Ii
f)* fUr jede Primzahl p irrational ist.
*
2.5. Man untersuche die durch
n
I
y(x) = Cav - Xbv)2
v=1
gegebene Parabel auf ihre Nullstellen und leite daraus die Cauchy-Schwarzsche Unglei
chung
n n
L L
av2 bv2 ab (av, bv, v = 1, ... , n, beliebige reelle Zahlen).
v=l v=1
3. Zahlen
3.1. Fur welche reellen Zahlen x gilt:
x 3
a) x + 2 > 4 - x, b) 3 - 2x > x - 9, c) -+1<3--x
3 = 2'
3. Zahlen 7
{_X
n
(nxn_~)
fUr x*' 1,
I x-I x-I
f) kxk= n(n
k=1 + 1)
2 fUr x = 1,
~ sin2nx
g) L... cos (2k - 1) x = 2 . (x *' mrr, m ganze Zahl),
k=1 smx
n 1
h) kL;1 /k > .[n (n = 2,3, ... ).
2.3. Fur welche naturlichen Zahlen n gilt:
a) n!;:;; 3n, b) 2n > 2n + 1, c) 2n>n3,
n
d) 4n> n4 (man benutze das Ergebnis b)), e)* (n !)2. 2 (~)n-1
(2n)! < 3 '
< 26Sn ?
f) 6 = 4n2 + 121 .
2.4. Durch indirekten Beweis zeige man, daB
jf
a) .J3, log2 6, 1 + 3 irrationale Zahlen sind,
1- 2
b) die Gleichung eX = 0 fUr keine reelle Zahl x eine Lasung hat,
c) (a2 + b2)2;:;; 4ab(a - b)2 fUr beliebige reelle Zahlen a, b gilt,
ra
d) fUr reelle Zahlen a, b mit 0 < a < b die Ungleichung ..[b - < ~ gilt,
e) die Umkehrfunktion einer streng monoton fallenden Funktion ebenfalls streng mo
noton fallend ist,
Ii
f)* fUr jede Primzahl p irrational ist.
*
2.5. Man untersuche die durch
n
I
y(x) = Cav - Xbv)2
v=1
gegebene Parabel auf ihre Nullstellen und leite daraus die Cauchy-Schwarzsche Unglei
chung
n n
L L
av2 bv2 ab (av, bv, v = 1, ... , n, beliebige reelle Zahlen).
v=l v=1
3. Zahlen
3.1. Fur welche reellen Zahlen x gilt:
x 3
a) x + 2 > 4 - x, b) 3 - 2x > x - 9, c) -+1<3--x
3 = 2'
H. Wenzel et al., Übungsaufgaben zur Analysis Ü 1
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1999