Uberspannungskonzept zur Modellierung von duktil-spröden Deformationsprozessen in Stahlbeton

154 Pages·2.85 MB·German

by  Golowin A.

(cid:127)
Uberspannungskonzept zur Modellierung von
duktil-spr(cid:127)oden Deformationsprozessen in Stahlbeton
vorgelegt von
Diplom-Ingenieur
Andrej Golowin
Beim Fachbereich 9
- Bauingenieurwesen und Angewandte Geowissenschaften -
der Technischen Universit(cid:127)at Berlin
zur Verleihung des akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs
genehmigte Dissertation
Zusammenfassung
U(cid:127)berspannungskonzept zur Modellierung von duktil-spr(cid:127)oden De-
formationsprozessen in Stahlbeton
Durch die Einfu(cid:127)hrung von modernen Regelwerken, z.B. dem EC 2 wer-
den nichtlinearen Berechnungsmethoden im Stahlbetonbau generell zuge-
lassen, wobei deren Anwendung auf monotone und quasistatischen Bela-
stungen beschr(cid:127)ankt ist. Die numerische Simulation des Betonverhaltens
wird durch die Lokalisierungsph(cid:127)anomene und die nichtassoziierten inela-
stischen Verzerrungen erheblich erschwert.
In der vorliegenden Arbeit wird ein zeitabh(cid:127)angiges Plastizit(cid:127)ats-Sch(cid:127)adi-
gungsmodell auf der Grundlage der Dissipationsgleichung vorgestellt. Bei
der kinematischen und thermodynamischen Betrachtung erfolgt die kon-
sequente Aufteilung in Plastizit(cid:127)at und Sch(cid:127)adigung mit Hilfe einer Vertei-
lungsfunktion. Die beiden inelastischen Ph(cid:127)anomene werden in Abh(cid:127)angig-
(cid:127)
keit von einer Uberspannung beschrieben. Durch den additiven Aufbau
des inelastischen Potentials werden die unterschiedlichen Versagensme-
chanismen im Zug-, Druck- und im gemischten Bereich erfa(cid:25)t. Die vor-
gestellte Modellierung beru(cid:127)cksichtigt das kontraktant-dilatante Verhalten
in der Druckzone, die anisotrope Rissbildung in der Zugzone und einen
(cid:127) (cid:127)
O(cid:11)nen-Schlie(cid:25)en-Mechanismus durch Risse. Das Uberspannungskonzept
erm(cid:127)oglicht die Tragwerksanalyse bei transienten dynamischen Belastun-
gen wie Erdbeben oder Explosion.
Die numerische Umsetzung des Modells erfolgt im Rahmen einer sym-
metrischen gemischt-hybriden FE-Formulierung mit 8-Knoten Volumen-
elementen. Die zeitabh(cid:127)angige Formulierung bietet eine eÆziente numeri-
sche L(cid:127)osung fu(cid:127)r Materialien mit Entfestigung und nichtassoziierter Flie(cid:25)-
regel. Die Veri(cid:12)zierung des entwickelten Konzepts erfolgt anhand von Bei-
spielen. Dabei wird besonderer Wert auf die Modellierung der Lokalisie-
rungsph(cid:127)anomene bei unbewehrtem Beton und die Modellierung des Be-
tonverhaltens unter zyklischen Beanspruchungen und unterschiedlichen
Belastungsgeschwindigkeiten gelegt.
Abstract
Overstress concept for modeling ductile-brittle deformation pro-
cesses in reinforced concrete
Nonlinear analysis methods for reinforced concrete structures are general-
ly allowed in the modern standarts EC 2 and DIN 1045-1. The area of
application is however restricted to monotone and quasistatic loads. The
phenomena of localization and the non-associated inelastic strains make
the numerical simulation of concrete behavior rather complicated.
A time-dependent plasticity and damage model for concrete on the ba-
sis of the energy dissipation equation is introduced. Plasticity and damage
are consequently separated by means of a distribution function within the
framework of kinematics and thermodynamics. Both inelastic phenomena
are de(cid:12)ned as functions of one overstress. The additive composition of the
inelastic potential allows a realistic description of di(cid:11)erent failure modes
in tension, compression and in mixed zones. The model takes into account
the contraction and dilatation of concrete in the compression zone, aniso-
tropic crack initiationin the tension zone and opening-closing-mechanisms
for cracking. The transient dynamic analysis for earthquake or explosion
loading will be possible with a special choice of the overstress function.
The numerical implementation is done within a symmetrical mixed/
hybrid (cid:12)nite element formulation using 8-node solid elements. The time-
dependent formulation allows an eÆcient numerical solution for materials
with softening and non-associated (cid:13)ow rules. The proposed model is veri-
(cid:12)ed with example problems. The simulation of strain localization in plain
concrete as well as the structural response to cyclic loading and to variable
loading rates are especially emphasized.
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand w(cid:127)ahrend meiner T(cid:127)atigkeit als wissen-
schaftlicher Mitarbeiter am Institut fu(cid:127)r Bauingenieurwesen, Fachgebiet
Statik der Baukonstruktionen der Technischen Universit(cid:127)at Berlin.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. R. Harbord fu(cid:127)r die An-
regung zu dieser Dissertation, die gro(cid:25)zu(cid:127)gige Unterstu(cid:127)tzung, die kontinu-
ierliche Betreuung und die stets vorhandene Diskussionsbereitschaft.
Mein herzlicher Dank gilt Herrn Dr.-Ing. K. Brandes fu(cid:127)r die Anregung
zur Promotion an der TU Berlin, seine stetige Unterstu(cid:127)tzung und fu(cid:127)r die
(cid:127)
Ubernahme des Koreferats.
Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. mult. P. J. Pahl danke ich fu(cid:127)r das dieser Ar-
beit entgegengebrachte Interesse, die gru(cid:127)ndliche und kritische Durchsicht,
wertvolle Hinweise und fu(cid:127)r die U(cid:127)bernahme des Koreferats.
Herrn Prof. Dr.-Ing. S. Savidis danke ich fu(cid:127)r die U(cid:127)bernahme des Vor-
sitzes im Promotionsverfahren.
Weiterhin m(cid:127)ochte ich meinen Kollegen am Fachgebiet Statik der Baukon-
struktionen fu(cid:127)r die freundliche Zusammenarbeit danken. Herrn Dr.-Ing.
R. Alex und Herrn Dr.-Ing. D. Aryee-Boi danke ich fu(cid:127)r die Anregungen
in der Anfangsphase der Arbeit. Die zahlreichen Diskussionen mit Frau
Dipl.-Ing. M. Doig-Ruiz waren von besonderer Bedeutung. Frau Dipl.-
Ing. K. Pieplow, Herrn Dipl.-Ing. B. Reyher, Herrn Dipl.-Ing. I. Hylla
und Herrn Dr.-Ing. S. Kraus danke ich fu(cid:127)r das Korrekturlesen und fu(cid:127)r
die programmtechnische Unterstu(cid:127)tzung. Mein herzlicher Dank gilt Frau
R. K(cid:127)asch fu(cid:127)r die Unterstu(cid:127)tzung der Anfertigung dieser Arbeit.
Schlie(cid:25)lich m(cid:127)ochte ich mich bei meiner Familie und meiner Frau Katja
fu(cid:127)r die volle Unterstu(cid:127)tzung bedanken.
Berlin, im April 2001 Andrej Golowin
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung und Stand der Forschung . . . . . . . . . 1
1.2 Zielsetzung und Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Grundgleichungen der zeitabh(cid:127)angigen Inelastizit(cid:127)at 9
2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Zeitableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Modelle mit Zwischenkon(cid:12)guration . . . . . . . . . 13
2.2 Spannungen, Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Gleichgewicht in der Momentankon(cid:12)guration . . . . 16
2.2.2 Gleichgewicht in der Ausgangskon(cid:12)guration . . . . 17
2.2.3 Objektivit(cid:127)at. Mitrotierende Zeitableitungen . . . . 19
2.3 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Thermodynamische Grundlagen . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Das Hooke’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Inelastische Ph(cid:127)anomene. Wahl der inneren Variablen 26
2.4 Zeitabh(cid:127)angige Inelastizit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Flie(cid:25)(cid:13)(cid:127)ache und Flie(cid:25)potential . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Stabilit(cid:127)at der Materialgleichungen . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Entwicklung der inneren Variablen . . . . . . . . . 37
2.4.4 Verfestigung-Entfestigung des Materials . . . . . . . 38
3 Materialmodelle 39
3.1 Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Bruchkriterium und Flie(cid:25)(cid:13)(cid:127)ache . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Das inelastische Potential . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.4 Inelastische Verzerrungsgeschwindigkeiten . . . . . 52
3.1.5 Verfestigung-Entfestigungsregel . . . . . . . . . . . 53
v
3.1.6 Parameterbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Bewehrungsstahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.1 Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Stahlbeton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Numerik 89
4.1 Schwache Form der Bestimmungsgleichungen . . . . . . . . 89
4.1.1 DGL des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Schwache Form des Problems . . . . . . . . . . . . 92
4.2 R(cid:127)aumliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1 Prediktorschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2 Korrektorschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.3 L(cid:127)osung des Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . 102
5 Testbeispiele auf Strukturebene 103
5.1 Direkter Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Stahlbetonbalken unter der Impulsbelastung . . . . . . . . 112
5.3 Betonbalken mit Kerbe unter zyklischer Belastung . . . . . 115
5.4 Stahlbetonbalken mit unterschiedlichem Bewehrungsgrad . 120
6 Zusammenfassung 125
A Vollst(cid:127)andige Diskretisierung des Problems 129
Formelsymbole
Operatoren
a; A skalare Gr(cid:127)o(cid:25)e
a Vektor
A Tensor zweiter Stufe
I Einheitsoperator zweiter Stufe
A Tensor vierter Stufe
I Einheitsoperator vierter Stufe
det(A) Determinante von A
tr(A) Spur von A
Kon(cid:12)guration
B
tensorielles Produkt:A B
(cid:10) (cid:10)
: doppelt skalares Produkt:A : B = tr(A B)
(cid:10)
Ii i-te Invariante des Spannungstensors
Ji i-te Invariante des Spannungsdeviators
0
Ii i-te Invariante des Vezerrungstensors
0
Ji i-te Invariante des Vezerrungsdeviators
(cid:27)i i-te Hauptspannung
(cid:15)i i-te Hauptverzerrung
ni i-te Hauptrichtung
Æa Variation
Indizes
A0 Gr(cid:127)o(cid:25)e in der Anfangskon(cid:12)guration t = t0
Ael elastisch
Ain inelastisch
Apl plastisch
(cid:27)(cid:22); S(cid:22) Nettospannungen
(cid:27)~; S~ Spannungen im normierten Koordinatensystem
Asch Sch(cid:127)adigungsanteil
s
A symmetrisch
a
A antimetrisch
+
A ; AZ Zuganteil
(cid:0)
A ; AD Druckanteil
ab Variable im Materialgesetz fu(cid:127)r Beton
as Variable im Materialgesetz fu(cid:127)r Stahl
Av skalare Vergleichsgr(cid:127)o(cid:25)e
a^ diskretisierte Berechnungsgr(cid:127)o(cid:25)e
A^ diskretisierte Matrix
p
a Berechnungsgr(cid:127)o(cid:25)e im Prediktorschritt
k
a Berechnungsgr(cid:127)o(cid:25)e im Korrektorschritt
aeq quasistatisch
TS
a Tension-Sti(cid:11)ening
Variablen
F Deformationsgradient
u Verschiebung
v Geschwindigkeit
L;gradv Geschwindigkeitsgradient
D Streckungsgeschwindigkeitstensor
D Sch(cid:127)adigungstensor zweiter Stufe
W Drehgeschwindigkeitstensor oder Spintensor
E Green’scher Verzerrungstensor
Almansi’scher Verzerrungstensor
E
t Spannungsvektor
T Cauchy’scher Spannungstensor
T Transformationsmatrix fu(cid:127)r Spannungen
P 1. Piola-Kirchho(cid:11)’scher Spannungstensor
S 2. Piola-Kirchho(cid:11)’scher Spannungstensor
k
T Kirchho(cid:11)’scher Spannungstensor
Q orthogonaler Drehtensor
U rechter Streckungstensor
V linker Streckungstensor
n Normalenvektor
h Energiestromvektor
f Massenkraftdichte
C Elastizit(cid:127)atstensor
F Nachgiebigkeitstensor
(cid:26) Dichte des Materials
(cid:15)vol Volumen(cid:127)anderung
s spezi(cid:12)sche Entropie
U spezi(cid:12)sche innere Energie
T absolute Temperatur
(cid:11)k innere Variable
qk thermodynamische Kraft
(arbeitskonform zur inneren Variablen)
(cid:31) Energiedissipation
(cid:8) Helmholz’sche freie Energie
(cid:9) Gibb’sche Energiefunktion
Wi innere mechanische Leistung
Q thermische Leistung (Kapitel 2)
r W(cid:127)armestrahlung
Wel elastische Form(cid:127)anderungsenergie
Vel elastische Erg(cid:127)anzungsenergie
Ain inelastischer Richtungstensor
(cid:10) inelastisches Potential (Flie(cid:25)potential)
D skalare Sch(cid:127)adigungsvariable
D Sch(cid:127)adigungstensor vierter Stufe
F Flie(cid:25)(cid:13)(cid:127)ache
(cid:26)f Bruch(cid:13)(cid:127)ache
(cid:30)(F) inelastischer Multiplikator
Lagrange’sches Funktional
L
(cid:5)H(cid:0)W Hu-Washizu-Funktional
(cid:5)H(cid:0)R Hellinger-Reissner-Funktional
(cid:12) Verteilungsfunktion Plastizit(cid:127)at-Sch(cid:127)adigung
(cid:12) Betonfestigkeit
(cid:28) Normierungsfaktor fu(cid:127)r die Flie(cid:25)regel
t(cid:27) Wichtungsfaktor Zug-Druck
(cid:1)L Verl(cid:127)angerung
(cid:13) Viskosit(cid:127)atsparameter (Kapitel 2 und 3)
(cid:13)(cid:22) normierter Viskosit(cid:127)atsparameter
(cid:13)oct oktaedrische Schubverzerrung
(cid:15)oct oktaedrische normale Verzerrung
(cid:27)m Oktaedernormalspannung
(cid:27)u U(cid:127)berspannung
(F) U(cid:127)berspannungsfunktion
(cid:27)G Grenzspannung fu(cid:127)r Beton (Flie(cid:25)grenze)
wr Ri(cid:25)(cid:127)o(cid:11)nung
fm Modi(cid:12)kationsfaktor fu(cid:127)r die mehraxialen
Spannungszust(cid:127)ande
R isotrope Verfestigungsvariable fu(cid:127)r Stahl
X kinematischer Verfestigungstensor fu(cid:127)r Stahl
(cid:3)
l charakteristische L(cid:127)ange
(cid:28)V Verbundspannung
(cid:1)r Relativverschiebung zwischen Stahl und Beton
Hb Verfestigungsmodul fu(cid:127)r Beton
(inkrementelle Formulierung)
0
Hb Verfestigungsmodul fu(cid:127)r Beton
(Ratenformulierung)
0
Hsr isotroper Verfestigungsmodul fu(cid:127)r Stahl
(Ratenformulierung)
0
Hsx kinematischer Verfestigungsmodul fu(cid:127)r Stahl
(Ratenformulierung)
K Entfestigungsmodul fu(cid:127)r Betonzugzone
Kh hyperbolischer Entfestigungsmodul fu(cid:127)r Betonzugzone
Konstanten
E Elastizit(cid:127)atsmodul
(cid:22)
E gesch(cid:127)adigter Elastizit(cid:127)atsmodul
(cid:23) Querkontraktionszahl
(cid:21),(cid:22) Lam(cid:19)e’sche Konstanten
G Schubmodul (G = (cid:22))
k Flie(cid:25)spannung fu(cid:127)r Stahl
Gf Bruchenergie
(cid:13) Parameter der isotropen Verfestigung fu(cid:127)r Stahl
(Kapitel 3)
Q Parameter der isotropen Verfestigung fu(cid:127)r Stahl
(Kapitel 3)
C Parameter der kinematischen Verfestigung fu(cid:127)r Stahl
a Parameter der kinematischen Verfestigung fu(cid:127)r Stahl
A Sch(cid:127)adigungskonstante beim Nettospannungskonzept
fu(cid:127)r Stahl
in
(cid:15)u ultimative akkumulierte inelastische Verzerrung
a;b;c;d Konstanten fu(cid:127)r die Verfestigungs-
Entfestigungsfunktion fu(cid:127)r Beton
0 0 0 0
a ;b ;c ;d ;n Konstanten fu(cid:127)r (cid:27) (cid:15)-Kurve fu(cid:127)r Beton
(cid:0)