Über Realisierbarkeitskriterien für die Synthese zweipoliger elektrischer Netzwerke mit vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit PDF
Preview Über Realisierbarkeitskriterien für die Synthese zweipoliger elektrischer Netzwerke mit vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit
FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN Nr.1263 Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt Prof. Dr. Hubert Cremer Dr. Friedrich-HcinZ Effertz Wilhelm Meuffels Institut für Mathematik und Großrechenanlagen der Rhein.-WestJ. Techn. HochschuleAachen Über Realisierbarkeitskriterien für die Synthese zweipoliger elektrischer Netzwerke mit vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH ISBN 978-3-663-06442-8 ISBN 978-3-663-07355-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-07355-0 Verlags-Ne. 011263 © 1963 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Westdeu tscher Verlag. Köln und Opladen 1963 Inhalt Einleitung und Inhaltsübersicht ..................................... 7 I. Die Brunesche Charakterisierung der Impedanzfunktionen ......... 9 H. Das Verfahren von E. A. GUILLEMIN zur Prüfung der Brunebedingungen 10 III. Die Pilotybedingungen für Impedanzfunktionen .................. 11 IV. Ein neues Verfahren zur Prüfung der Pilotybedingungen für Impedanz- funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 V. Determinantenbedingungen für Verlustfunktionen ................ 14 1. Der Satz von NAI-TA MING .•....................•......... 14 2. Kennzeichnende Determinantenbedingungen für positiv definite gerade Polynome .......................................... 15 3. Koeffizientenbedingungen für Verlustfunktionen . . . . . . . . . . . . . .. 21 4. Anwendung des Rechenverfahrens ........................... 22 VI. Koeffizientenbedingungen für verallgemeinerte Verlustfunktionen ... 24 VII. Ein neues Determinantenverfahren zur Prüfung der Pilotybedingungen für Impedanzfunktionen ....................................... 26 Literaturverzeichnis ................................................ 29 5 Einleitung und Inhaltsübersicht Die von R. M. FOSTER begründete und insbesondere von W. CAUER, S. DAR LINGTON, E. A. GUILLEMIN und H. PILOTY entwickelte Netzwerksynthese be schäftigt sich mit der Auffindung von linearen Wechselstromschaltungen vor geschriebener Frequenzabhängigkeit. Innerhalb dieser Theorie besitzt natur gemäß die Frage nach Koeffizientenbedingungen für rationale Funktionen F (z) des komplexen Frequenzparameters z = i w, die nach einem der bekannten Syntheseverfahren realisiert werden können, grundlegende Bedeutung. W. CAUER [1] hat bereits in seiner klassischen Dissertation einen Ansatz zur Lösung dieser Frage gegeben, und bis in die jüngste Zeit sind ihr zahlreiche Untersuchungen gewidmet worden. Im Gegensatz zu allen vorhergehenden Untersuchungen wird bei der folgenden Behandlung der Fragestellung die Verwendung verlustfreier Schaltelemente beim Syntheseverfahren nicht gefordert. Diese Forderung entspricht nicht der physikalischen Wirklichkeit und ist daher im strengen Sinne nicht erfüllbar. Die bei Schaltelementen stets auftretenden Verluste werden daher berücksichtigt, und es wird eine vollständige und praktisch brauchbare Lösung des Problems erreicht. Einige Ergebnisse wurden in den Arbeiten »Über Realisierbarkeitsbedingungen für die Impedanzfunktionen zweipoliger elektrischer Netzwerke unter Berück sichtigung der Verluste von Spulen und Kondensatoren«, (Archiv für Elektro technik, Bd. 45, 1960, S. 418-428), und »Über das Koeffizientenproblem der rationalen Funktionen mit positivem Realteil«, (Archiv der Mathematik, Bd. 12, 1961, S. 51-60), bereits mitgeteilt. In dem vorliegenden Bericht werden die erreichten Resultate in ihrem Zusammenhang und mit Beweisführung dargestellt. Rekursive Verfahren, mit deren Hilfe stets geprüft werden kann, ob sich eine vorgegebene rationale Funktion F(z) als Frequenzcharakteristik eines Zweipols realisieren läßt, sind bekannt: E. A. GUILLEMIN [2] hat z. B. im Anschluß an eine von O. BRuNE [3] stammende Charakterisierung der realisierbaren rationalen Funktionen F(z) ein solches Verfahren angegeben; es hat jedoch den Nachteil, daß unter Umständen die Nullstellen eines bestimmten Polynoms (zumindest näherungsweise) berechnet werden müssen (vgl. Abschnitt I und II). Diese Schwierigkeit läßt sich aber, wie WEINBERG und SLEPIAN [4] bemerkt haben, ganz vermeiden, wenn man an Stelle der Brunebedingungen ein Kriterium von H. PILüTY [5] zum Ausgangspunkt des Verfahrens macht; letzteres ist also für unseren Zweck mehr geeignet als die von GUILLEMIN und anderen Autoren [6], [7] benutzten Brunebedingungen (vgl. Abschnitte III und IV). Eine andere, offenbar wesentlich tiefer gehende Frage aber ist, ob die realisier baren rationalen Funktionen vielleicht durch endlich viele explizite Determi- 7 nantenbedingungen charakterisiert werden können, wie das z. B. bei gewissen speziellen Unterklassen von realisierbaren Funktionen der Fall ist [8], [9], [10], [11], [12], [13]. H. KÖNIG [14] hat die explizite Charakterisierung der ganzen Klasse der realisier baren rationalen Funktionen durch algebraische Gleichungen bzw. Ungleichun gen zwischen den Koeffizienten von F(z) untersucht und ist dabei zu dem Er gebnis gelangt, daß eine Charakterisierung durch das gleichzeitige Bestehen von endlich vielen Bedingungen dieser Art nicht möglich ist. Aus diesem Ergebnis von H. KÖNIG folgt z. B., daß die von J. SCHUR [15] angegebenen Kriterien für die Koeffizienten uni modular beschränkter Potenz reihen bei einer Übertragung auf Impedanzfunktionen im allgemeinen Fall zu unendlich vielen Bedingungen führen müssen und daher praktisch nicht an wendbar sind. In einer bedeutenden Arbeit hat NAI-TA MING [16] die in den Spulen und Kon densatoren von Zweipolen stets auftretenden Verluste dadurch berücksichtigt, daß er in Reihe mit jeder Spule und parallel zu jedem Kondensator einen Ohm sehen Widerstand annimmt. Solche der physikalischen Wirklichkeit entsprechende Zweipole hat NAI-TA MING im Unterschied zu den idealisierten Zweipolen »Verlustzweipole« genannt. Ihre Impedanzfunktionen, die auch als »Verlust funktionen« bezeichnet werden, besitzen die Eigenschaft, daß für ein e: > 0 mit F (z) auch F (z - e:) noch eine realisierbare rationale Funktion ist. Diese Verlust funktionen können in einfacher Weise durch Determinantenbedingungen für ihre Koeffizienten charakterisiert werden. Das Problem wird also lösbar, wenn die Annahme verlustfreier Elemente aufgegeben und der in der physikalischen Wirklichkeit allein auftretende Fall verlustbehafteter Glieder zugrunde gelegt wird (vgl. Abschnitt V). Wir werden außerdem zeigen, daß unsere Determinantenbedingungen für Verlustfunktionen sich auch noch auf alle Impedanzfunktionen von Zweipolen anwenden lassen, die gleich der Summe aus einer Verlust- und einer Reaktanz funktionen sind. Hierbei stützen wir uns auf einen bereits mitgeteilten Satz [17] zur Stabilitätstheorie der Regelungssyteme (vgl. Abschnitt VI). Dieser Satz führt schließlich noch zu einer Determinantendarstellung des größten gemeinsamen Teilers eines Polynoms und seiner Ableitung, mit deren Hilfe ein allgemein anwendbares Verfahren für Impedanzfunktionen von Zweipolen an gegeben wird, welches allein die Berechnung von (für jeden Einzelschritt explizit gegebenen) Determinanten erfordert (vgl. Abschnitt VII). A. H. ZEMANIAN hat bereits in einer Arbeit [18] darauf hingewiesen, daß die Prüfung der Realisierbarkeit von Impedanzfunktionen vereinfacht werden kann, indem man die Sturms ehe Kette durch eine bestimmte Determinanten folge ersetzt. Prof. Dr. HUBERT CREMER Dr. FRIEDRICH-HEINZ EFFERTz WILHELM MEUFFELS 8 1. Die Brunesche Charakterisierung der Impedanzfunktionen Wie O. BRUNE [3] zuerst gezeigt hat, lassen sich als Scheinwiderstände bzw. Scheinleitwerte von Zweipolen (mit endlich vielen Schaltelementen) solche und nur solche rationale Funktionen F (z) realisieren, die a) für reelle z reell, b) für Re z > 0 regulär (im Komplexen differenzierbar) sind und c) für Re z > 0 positiven Realteil besitzen. Solche Funktionen bezeichnet man kurz als »positiv reelle« rationale Funktionen (abgekürzt »p. r. Funktionen«). Diese Funktionen können nun weiterhin nach BRUNE [3] allein durch die Forderung der Regularität für Re z > 0 und durch ihr Verhalten auf der imaginären i Achse in der folgenden Weise charakterisiert (U- werden: Satz 1: Eine nichtkonstante rationale Funktion F (z) der Form F(z) = C(z) A(z) + + ... + mit C(z) = cozm CIZm-1 Cm, Co =F 0, (1 ) + + ... + und A(z) = aozn alZn-1 an, ao =F 0, Max (m, n) ;;;;; 1, Ci, ai reell, ist dann und nur dann eine p. r. Funktion, wenn sie A. in der offenen rechten Halbebene analytisch ist und auf der imaginären Achse einschließlich des unendlich fernen Punktes höchstens einfache Pole hat; wenn B. die Residuen in diesen Polen positiv reell sind; und wenn C. der Realteil von F(z) auf der imaginären Achse [in allen Punkten, in denen F(z) regulär ist] nicht negativ wird. Verschwindet der Realteil von F (z) auf der imaginären Achse identisch, so nennt man F (z) eine Reaktanzfunktion. 9 11. Das Verfahren von E. A. GUILLEMIN [2] zur Prüfung der Brunebedingungen Berücksichtigt man, daß das Polynom A(z) dann und nur dann lauter Nullstellen mit negativem Realteil oder einfache Nullstellen auf der imaginären Achse besitzt, wenn der Quotient aus dem geraden Teil G(z) und dem ungeraden Teil U (z) von A(z) eine Reaktanzfunktion ist und der größte gemeinsame Teiler von U (z) und G(z) nur einfache rein imaginäre Nullstellen hat, so kann die Gültigkeit der Brunebedingung A. zum Beispiel mit Hilfe einer bekannten Kettenbruchentwicklung für Reaktanzfunktionen [19] sowie des Sturmschen Satzes [20] stets nachgeprüft werden. Ob weiterhin die Brunebedingung C. erfüllt ist, läßt sich ebenfalls immer mit Hilfe des Sturmschen Satzes und des Euklidschen Algorithmus [21] entscheiden. Wir werden hierauf im übernächsten Abschnitt noch genauer eingehen, da GUILLEMIN den allgemeinsten Fall [d. h. den Fall, daß F(z) auf der imaginären Achse Nullstellen des Realteils oder Pole besitzt] nur andeutungsweise behandelt bzw. an einem Beispiel erläutert. Einen besonders großen Rechenaufwand kann aber die Prüfung der Brune bedingung B. erfordern, da zwar wegen A. und C. die Residuen der Pole auf der imaginären Achse nur reell sein können, eine Aussage über ihre Vorzeichen jedoch offenbar nur gemacht werden kann, wenn die rein imaginären Nullstellen des Polynoms A(z) zumindest näherungsweise bekannt sind. 10 IH. Die Pilotybedingungen für Impedanzfunktionen [5] Satz 2: Eine rationale Funktion F(z) der Form (1) mit teilerfremdem Zähler und Nenner ist dann und nur dann eine p. r. Funktion, wenn + A. C(z) A(z) = H(z) ein Hurwitzpolynom ist, und wenn B. C(it) A(-it) + C(-it) A(it) ~ Oistfür alle reellen tmit-00 < t < + 00. Als Hurwitzpolynom bezeichnet man ein Polynom, dessen sämtliche Nullstellen negative Realteile besitzen. 11 IV. Ein neues Verfahren zur Prüfung der Pilotybedingungen für Impedanzfunktionen Die Gültigkeit der Pilotybedingungen kann nachgeprüft werden, ohne daß algebraische Gleichungen aufgelöst werden müssen; denn ein eventuell vor handener gemeinsamer Teiler des Zählers und des Nenners von F(z) kann bekanntlich mit Hilfe des Euklidschen Algorithmus [21] bestimmt und sodann herausgekürzt werden. Für Hurwitzpolynome gibt es weiterhin sowohl explizite Determinantenbedingungen [22] als auch verschiedene rekursive Verfahren [23], [24], und die Frage, ob es sich bei + C(it) A(-it) C(-it) A(it) = P(t2) um ein nichtnegatives Polynom handelt, kann z. B. unter Benutzung des folgen den einfachen Kriteriums beantwortet werden: Hilfssatz 1,' Ein nichtkonstantes gerades Polynom P(t2) der Form + + ... + P(t2) = kot2n k1t2n- 2 kn (n > 0) mit ko =1= 0 und kn =1= 0 2 nimmt dann und nur dann für kein reelles t einen negativen Wert an, wenn die Koeffizienten ko und kn positiv sind und in der Polynomkette a in welcher Di+1(t2) jeweils den größten gemeinsamen Teiler von Di(t2) und dDi(t2)fdt bedeutet und in der Dr(t2) das erste Polynom ist, das keine reellen Nullstellen mehr besitzt, a) der Index I gerade ist und b) die Paare Do(t2), D1(t2); D2(t2), Da(t2); ... , gleich viele voneinander verschiedene reelle Nullstellen besitzen. Da der Euklidsche Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler zweier Poly nome liefert und mit Hilfe des Sturmschen Satzes stets die Anzahl der in einem vorgegebenen Intervall liegenden voneinander verschiedenen Nullstellen eines 1 Es handelt sich hier um ein gerades Polynom in t, da der Ausdruck sich nicht ändert, wenn man t durch - t ersetzt. 2 Diese Voraussetzung bedeutet keine wesentliche Einschränkung, da es auf Faktoren der Form t2r nicht ankommt. a Daß die Polynome Di(t2) sämtlich gerade sind, folgt unmittelbar aus der Voraus setzung kn =1= O. Wegen dieser Voraussetzung ist außerdem auch für jedes Di(t2) das konstante Glied von Null verschieden. 12
The list of books you might like
