Über eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung die bei einem gewissen Abschätzungsverfahren eine besondere Rolle spielt

61 Pages·1964·1.377 MB·German

by  Prof. Dr. Ernst Peschl, Dr. Karl Wilhelm Bauer (auth.)

FORSCHUNGS BERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1306
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 517.93
Prof Dr. Ernst Peschl -
Dr. Karl Wilhelm Bauer
Institut für Angewandte Mathematik der Universität Bonn
Rheinisch-Westfälisches Institut für Instrumentelle Mathematik Bonn (IIM)
Über eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung
die bei einem gewissen Abschätzungsverfahren
eine besondere Rolle spielt
WESTDEUTSCHER VERLAG· KÖLN UND OPLADEN 1964
ISBN 978-3-322-97938-4 ISBN 978-3-322-98500-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-98500-2
Verlags-Nr. 011306
© 1964 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag·
Inhalt
Seite
Vorwort.......................................................... 7
I. Über die Bedeutung der vorliegenden Differentialgleichung ......... 9
II. Übergang zu einem Differentialgleichungssystem und zu neuen Diffe-
rentialgleichungen 2. Ordnung .................................. 12
III. Behandlung des Falles f > 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. E>O ...................................................... 19
2. E < 0...................................................... 21
IV. Behandlung des Falles f < 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1. E > O. . .. ... . . ... . . .. . ... .. . ... . .. . . ... ... . .. . .. . . .... . .... 30
2. E < 0...................................................... 32
V. Zusammenstellung der Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
1. E > 0.. .. . . .. . . ... . .... .. . .. . ... . ... . .. . .. . ... ... . . . ... . ... 34
2. E = O. .. . .. . . . . . . . ... . .. . .. . . .. . . .. . ... ... ... .... . .... . . ... 35
3. E < 0...................................................... 36
4. Zwischenintegrale und Einhüllende. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
VI. Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf die behandelten Diffe
rentialgleichungen zurückführen lassen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
VII. Graphische Darstellung der Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
1. Erläuterung der dargestellten Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
2. Instrumentelle Lösung des allgemeinen Zwischenintegrals mit der
Integrieranlage des Rheinisch-Westfälischen Institutes für Instrumen
telle Mathematik, Bonn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
3. Kurvenbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5
Vorwort
Obwohl in dem vorliegenden Fall die Lösung der Differentialgleichung noch in
geschlossener Form gelingt, ist es für den Verlauf der Einzelkurven und die
Übersicht über alle Lösungen von besonderem Interesse und großem Wert, eine
möglichst genaue graphische Darstellung anzufertigen. Für diese Aufgabe ist die
Integrieranlage des Institutes für Instrumentelle Mathematik, Bonn, herangezogen
worden. Herr Dr. PAUL FRIEDRICH MÜLLER, Bonn, hat zu diesem Zweck die
Zubereitung des Problems, Programmierung und instrumentelle Ausführung,
übernommen, wofür wir ihm an dieser Stelle ganz besonders danken möchten.
Das eingeschlagene Verfahren wird in einer von Herrn Dr. P. F. MÜLLER ver
faßten Vorbemerkung (siehe Kap. VII, 2) kurz dargestellt.
Bonn, den 15. März 1963
Prof. Dr. ERNST PESCHL
Dr. KARL WILHELM BAUER
7
1. Über die Bedeutung der vorliegenden Differentialgleichung
Die nichtlinearen Differentialgleichungen 2. Ordnung sind im Hinblick auf eine
explizite Darstellung ihrer Lösungen im allgemeinen nur schwer zugänglich. Wenn
jedoch solche Differentialgleichungen im Rahmen gewisser mathematischer Unter
suchungen auftreten, wird man immer zunächst versuchen, sie elementaren Lösungs
prozessen zugänglich zu machen. Im folgenden wird die Lösung der nichtlinearen
Differentialgleichung 2. Ordnung (abgekürzt Do = 0)
-1f"+f'2_3 Li' -21+2 L'1 +2 D=O (1)
für
L= -1-ee2a
1=1
mit (Cl) und E =f. 0 behandelt. Diese Differentialgleichung ist von beson
derer Bedeutung für eine gewisse Abschätzungsmethode, die zunächst mit
L (Cl) = -1 - Ee 2a in der Funktionentheorie entwickelt wurde [4], inzwischen
aber auch mit beliebig vorgegebenem L (Cl) auf partielle Differentialgleichungen
vom elliptischen Typus übertragen werden konnte [5]. Diese Methode, die die
Verwendung der nichtholomorphen Differentialinvarianten in der Funktionen
theorie behandelt, soll im folgenden zunächst kurz umrissen werden.
Bildet man den Einheitskreis der z-Ebene (Z=x+iy) durch eine holomorphe
Funktion W=W (Z) in die w-Ebene ab und legt dabei in der z-Ebene die hyper
bolische und in der w-Ebene die euklidische Metrik zugrunde, so· werden die
Differentialinvarianten 1. und 2. Ordnung:
Cl = log { I w' I (1 - Z z) }
und
eingeführt. Hierbei, wie auch im folgenden, bedienen wir uns der ersten und
zweiten Beltrami-Operatoren:
mit
Uz=~U =~(~-i~) uz=~u =~(~ +i~).
oZ 2 ox oy' oZ 2 ox oy
Die Grundlage der Methode ist der in [4] aufgestellte Hauptsatz, in dem eine
Beziehung zwischen den Invarianten a. und y hergestellt wird. Dabei wird mit
Hilfe eines modifizierten Maximumprinzips eine Ungleichung für die Funktion
U=y-1(a.)
9
entwickelt, wobei] (IX) eine zunächst willkürliche zweimal stetig differenzierbare
Funktion von IX darstellt. Für die genannte Funktion U gilt dabei die folgende
Identität
mit
do = -] (2 + f") + (f' + 1) (f' + 2) , dl = - (2 + f") .
Die Anwendung des Hauptsatzes setzt nun unter anderem voraus, daß der Sum
mand do verschwindet. Die Lösung der Differentialgleichung (do = 0)
-](2+]") + (f' + 1) (f' +2) =0 (3)
liefert so dann Integralkurven, denen man unter Berücksichtigung der im Haupt
satz geforderten Rand- und Feldbedingungen eine Familie von Funktionen
W = W (z) zuordnen kann, für die sich scharfe Abschätzungen für I w' I und I w I
herleiten lassen. Hieraus erhält man u. a. auch die bereits bekannten und bisher
besten Abschätzungen (von AHLFoRs) der Blochschen bzw. Landauschen Kon
stanten.
Die Funktion
{I I
lX=log w' (l-ZZ)}
genügt der partiellen Differentialgleichung
4
02 IX = - 1 oder LI IX = - (1 _ Z Z)2 (4)
(wo LI den Laplaceschen Operator bedeutet), und es zeigt sich, daß sich die obige
Methode ohne weiteres auch in die reelle Analysis übertragen läßt und dabei
Abschätzungen für die reellen Lösungen IX (Z, Z) dieser Differentialgleichung
liefert [7].
Legt man in der z-Ebene wiederum die hyperbolische, in der w-Ebene jedoch die
sphärische bzw. hyperbolische Metrik zugrunde, so erhält man als Differential
invarianten
lX=log{lw'l(l-ZZ)} und y=011X=(1-ZZ)2IXzlXz,
1 +EWW
+
wobei E = 1 die sphärische Metrik in der abgeschlossenen Riemannschen Zahlen
kugel und E = -1 die hyperbolische Metrik im Innern des Einheitskreises der
w-Ebene liefert, während der vorherige euklidische Fall mit E = 0 ebenfalls ent
halten ist. Die Identität (2) für 02 U lautet nun:
02U = ]~U{OlU + (1 +1' +E e2o:) [01 (IX, U) +Ol(U, IX)]} +Do+Dl U
10
mit
Do = -1(2+1") + (/' + 1) (/' +2) -41 e e2cx+4 e e2cx+2 e2e4cx +31'e e2cx,
D1 = - (2 +1"+ 4 e e2cx).
Die Anwendung des Hauptsatzes macht hier die Lösung der Differentialglei
chung (1)
Do=O mit L= -1-ee2cx
erforderlich und liefert entsprechende Resultate für Familien von meromorphen
bzw. beschränkten Funktionen w = w (z) wie im Falle e = O. So ergeben sich
unter anderem bemerkenswerte Verallgemeinerungen des Blochsehen Satzes [4]
wie auch eine neue Herleitung des Picardschen Satzes [4].
Die Invariante
{I I z z)}
rt. = log w' (1 -
1 +eww
genügt, wie man weiß, der partiellen Differentialgleichung
02rt. = - (1 +e e2cx) oder L1 rt. = _ 4 (1 +e e2cx) (5)
(l-zz)2 ,
so daß man durch eine entsprechende Übertragung der für e = ± 1 gewonnenen
Ergebnisse in die reelle Analysis scharfe Abschätzungen für die reellen Lösungen
IX. (Z, z) der Differentialgleichung (5) erhalten kann [1].
Eine genaue Überprüfung des Beweisganges zeigt, daß die Methode nicht bloß
auf die obige Differentialgleichung (5) beschränkt bleibt, sondern sich auf be
liebige Differentialgleichungen der Form
o2rt.=L(rt. , y) oder rt.z-.; = (1L (_r tZ., yz))2 mit y=OlNv.. (6)
übertragen läßt. Zur Gewinnung von Abschätzungen für die Lösungen dieser
Differentialgleichung ist die Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung 2. Ord
nung
-1" -2 +2 +1' + (/' -2
j( (L~ L~)) -Lo) (/' LO) =0 (7)
erforderlich, wobei der obere Index 0 bedeutet:
[ ..... ] j'
y=
Für
hat man die vorliegende Differentialgleichung (1), die 1m folgenden für den
wichtigen Sonderfall (siehe (5)):
L (rt.) = -1 - e e2cx (8)
vollständig behandelt wird.
11
Ir.
Übergang zu einem Differentialgleichungssystem und zu neuen
Differentialgleichungen 2. Ordnung
Wir betrachten zunächst den Fall f > 0 und unterwerfen die Differentialglei
chung (1) der Transformation
f(rx)=g2(x), x=ea• (9)
Man erhält mit vorerst noch beliebigem L (rx) =A (x) die Differentialgleichung
Da die Relation
x gg'=A (x) ± g (11)
für jedes A =A (x) ein partikuläres Zwischenintegral der Differentialgleichung (10)
darstellt, empfiehlt es sich, durch Einführung des Parameters
w = xgg' -A (x)
(12)
g
zu einem Differentialgleichungssystem überzugehen. Im Falle w = const liegen
nur für w = ± 1 partikuläre Zwischenintegrale von (10) vor. Die daraus resul
tierenden Lösungen sind in den weiter unten ermittelten Lösungsscharen ent
halten. Für jedes nicht in w2= 1 enthaltene Integral von (10) kann man wals
Parameter einführen. Man erhält dann das mit (10) äquivalente System:
dx
(w2 - 1) d w = x g
(13)
(w2_1)d g =wg+A (x)
dw
und kann nun zu einer Differentialgleichung 2. Ordnung für x = x (w) übergehen:
Diese Differentialgleichung ist in ihrem Aufbau zwar einfacher als die Differential
gleichung (10), bringt jedoch bezüglich der Lösung des zur Diskussion stehenden
Falles
A (x) = -1-Ex2 (14)
noch keine Vorteile.
12
Hier liegt jedoch der Gedanke nahe, das System (13) durch eine Transformation
des Parameters wallgemein so umzuformen, daß die resultierende Differential
gleichung 2. Ordnung für gewisse A= A (x) elementar läsbar wird. Dabei zeigt
es sich, daß bereits ein relativ einfacher Ansatz auf den hier vorgelegten Fall (14)
führt.
Die allgemeinste Transformation für w lautet
w =F (x,g, t) (15)
und liefert an Stelle von (13) das System:
{(F2-1) - (g F +A) Fy-x gFx} ~; =x g Ft
1 (16)
{(F2-1) - (g F +A) Fg-x g Fx} ~ ~ = (gF +A)Ft
Beschränkt man sich vorerst auf eine in x und g lineare Transformation
+
w = X f(!l (t) g f(!2 (t), (17)
:t
so erhält man das System ( = .) :
Man wird nun versuchen, durch eine geeignete Auswahl der Funktionen f(!l (t)
und f(!2 (t) zu einem für ein geeignetes A= A (x) integrierbaren System zu kommen.
Zu diesem Zweck stellen wir die Forderung, daß die erste Differentialgleichung (18)
den Läsungsansatz
x· =g f(! (t) (19)
1 Hierin sind zunächst x und g als Funktionen von w aufzufassen. Die Auflösbarkeit
von (15) nach w, die man zum Zwecke der Einführung des neuen Parameters t fordern
muß, wird durch die Bedingung
d x dg
-1 +Fx- +Fg- #- 0 (lSa)
dw dw
gewährleistet. Mit Hilfe von (13) und (15) schreibt sich diese in die folgende um:
o.
1-F2+xgFx+(Fg+Ä (x)Fd (1Sb)
D arü b er hm· aus 1. st -dw #-0 mi.t
dt
(lSc)
äquivalent.
13