Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

320 Pages·1964·5.141 MB·German

by  Richard Dedekind (auth.)

RICHARD DEDEKIND
Ober die Theorie der
ganzen algebraischen Zahlen
RICHARD OE OE KIND
Ober die Theorie der
ganzen algebraischen Zahlen
Mit einem Geleitwort von
B. VAN DER WAERDEN
FRIEDR. VIEWEG Be SOHN . BRAUNSCHWEIG 1964
Die vorliegende Ausgabe ist ein Nachdruok des Elften Supplements von
DIlÜCHLETs Vorlesungen fiber Zahlentheorie,4. Auflage, in den Fa88ungen
XLVI bis XLIX nebst den Erläuterungen von E. Noether, entnommen aus
Riohard. Dedekind, Gesammelte ma.thema.tiBohe Werke, Dritter Band,
Bra.unschweig 1932
ISBN 978-3-322-97993-3 ISBN 978-3-322-98606-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-98606-1
Alle Rechte vorbehalten von Friedr. Vieweg & Sohn, Verlag, Braunschweig
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1964
Geleitwort
Zur Rechtfertigung dieser Edition von Dedekinds berühmtem elften
Supplement zu Dirichlets "Vorlesungen über Zahlentheorie" kann ich
keine besseren Worte finden als die von Dedekind selbst am Schluß seines
Vorworts zur zweiten Auflage dieser "Vo rlesungen" (1871):
"Endlich habe ich mich bemüht, überall, wo es mir möglich war, auf die
Quellen zu verweisen, um den Leser zum Studium der Original werke zu
veranlassen und in ihm ein Bild von den Fortschritten der Wissenschaft
zu erwecken, deren ebenso tiefe wie erhabene Wahrheiten einen Schatz
bilden, welcher die unvergängliche Frucht eines wahrhaft edelen Wett
kampfes der europäischen Völker ist."
Das elfte Supplement, das zuerst in der dritten Auflage erschien, war eine
Neufassung eines bedeutenden Abschnittes (§§ 159-170) des zehnten
Supplementes der zweiten Auflage. Über diesen Abschnitt schreibt
Dedekind im Vorwort zur zweiten Auflage:
"Endlich habe ich in dieses Supplement eine allgemeine Theorie der
Ideale aufgenommen, um auf den Hauptgegenstand des ganzen Buches
von einem höheren Standpunkte aus ein neues Licht zu werfen; hierbei
habe ich mich freilich auf die Darstellung der Grundlagen beschränken
müssen, doch hoffe ich, daß das Streben nach charakteristischen Grund
begriffen, welches in anderen Teilen der Mathematik mit so schönen
Erfolgen gekrönt ist, mir nicht ganz mißglückt sein möge."
Schon vor Dedekind hatte Kronecker eine Idealtheorie der algebraischen
Zahlkörper entwickelt, aber die Dedekindsche Theorie ist unabhängig von
der Kroneckerschen entstanden. Dedekind fährt nämlich fort:
"Die Untersuchungen in diesem von Kummer geschaffenen Gebiete,
welche Kronecker vor vierzehn Jahren angestellt hat, sind bis jetzt nicht
veröffentlicht, und ich vermag nach den damaligen brieflichen Mit
teilungen dieses ausgezeichneten Mathematikers nicht zu beurteilen,
in welchen Beziehungen seine Prinzipien zu den meinigen stehen."
Die Dedekindsche Idealtheorie in ihrer ursprünglichen Form ist in §§ 159-
163 des zehnten Supplementes der zweiten Auflage von Dirichlets
Zahlentheorie zum ersten Male dargestellt. Dieser Abschnitt ist als
Abhandlung XLVII in die vorliegende Publikation aufgenommen.
In der französisch geschriebenen Abhandlung XLVIII vom .Jahre 1877
hat Dedekind die Theorie nach seinen eigenen Worten "ausführlicher und
in etwas veränderter Form dargestellt". Die französische Abhandlung
enthält viele Beispiele und hat dadurch mehr den Charakter einer
elementaren Einführung. Der Aufbau des elften Supplementes der
dritten Auflage ist aus der französischen Abhandlung übernommen.
Ferner enthält die dritte Auflage ein Stück allgemeine Idealtheorie,
nämlich die eindeutige Zerlegung der Ideale einer Ordnung in "einartige
Ideale". Dieses Stück ist als Abhandlung XLIX in die vorliegende
Publikation aufgenommen. Ein Beweis, den Deilekind für die dritte
Auflage kassiert hatte, wurde von Emmy Noether im Nachlaß gefunden
und an der betreffenden Stelle wieder eingefügt.
Im elften Supplement der vierten Auflage (1894) hat Dedekind die Theo
rie ganz neu aufgebaut. Bei der Edition des dritten Eandes der gesam
melten mathematischen Werke von Dedekind hat Emmy Noether die
Fassung der vierten Auflage vollständig aufgenommen, während von
den früheren Fassungen nur jeweils das dort nicht übernommene ge
bracht wurde. Diese vorzügliche Anordnung wurde in dieser Publikation
beibehalten. Die Erläuterungen von Emmy Noether findet man am
Schluß der Abhandlung XLIX.
Über die Entstehungsgeschichte des Supplementes zur 2. Auflage ist mir
nicht mehr bekannt als das wenige, was Dedekind in seiner Abhandlung
XV "Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der
Theorie der höheren Kongruenzen" (Abh. Ges. Wiss. Göttingen 23, 1878)
mitteilt, nämlich:
"Die neuen Prinzipien, durch welche ich zu einer ausnahmelosen und
strengen Theorie der Ideale gelangt bin, habe ich zuerst vor sieben Jahren
in der zweiten Auflage der Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet
(§§ 159-170) entwickelt und neuerdings in dem Bulletin des sciences
mathematiques et astronomiques (t. XI, p. 278; t. I (2e serie), p.17,
69, 144, 207) ausführlicher und in etwas veränderter Form dargestellt.
Mit demselben Gegenstand hatte ich mich schon vorher, durch die
große Entdeckung Kummers angeregt, eine lange Reihe von Jahren hin
durch beschäftigt, wobei ich von einer ganz anderen Grundlage, nämlich
von der Theorie der höheren Kongruenzen ausging; allein obgleich diese
Untersuchungen mich dem erstrebten Ziele sehr nahe brachten, so
konnte ich mich zu ihrer Veröffentlichung doch nicht entschließen, weil
die so entstandene Theorie hauptsächlich an zwei Unvollkommenheiten
leidet. Die eine besteht darin, daß die Untersuchung eines Gebietes von
ganzen algebraischen Zahlen sich zunächst auf die Betrachtung einer
bestimmten Zahl und der ihr entsprechenden Gleichung gründet, welche
als Kongruenz aufgefaßt wird, und daß die so erhaltenen Definitionen
der idealen Zahlen (oder vielmehr der Teilbarkeit durch die idealen
Zahlen) zufolge dieser bestimmt gewählten Darstellungsform nicht von
vornherein den Charakter der Invarianz erkennen lassen, welcher in
Wahrheit diesen Begriff zukommt; die zweite Unvollkommenheit dieser
Begründungsart besteht darin, daß bisweilen eigentümliche Ausnahme
fälle auftreten, welche eine besondere Behandlung verlangen. Meine
neuere Theorie dagegen gründet sich ausschließlich auf solche Begriffe,
wie die des Körpers, der ganzen Zahl, des Ideals, zu deren Definition es
gar keiner bestimmten Darstellungsform der Zahlen bedarf, und wie
hierdurch der erstgenannte Mangel von selbst wegfällt, so bewährt sich
die Kraft dieser äußerst einfachen Begriffe auch darin, daß bei dem Be
weise der allgemeinen Gesetze der Teilbarkeit eine Unterscheidung
mehrerer Fälle gar niemals mehr auftritt".
Über die Entstehung der definitiven Fassung des elften Supplementes in
der vierten Auflage von 1894 und über die Beziehung der Dedekindschen
Begründungen zur Kroneckerschen. die im Frühjahr 1888 endlich publi
ziert wurde, weiß man viel mehr. Dedekind selbst hat nämlich in einer
Abhandlung "Über die Begründung der Idealtheorie" (Nachr. Ges.
Wiss. Göttingen 1895, S. 106-113 = Werke 11. S.50-58) zu diesen
Fragen Stellung genommen.
Das elfte Supplement von Dfdekind hat in seinen drei Fassungen eine
nachhaltige Wirkung ausgeübt. Es markiert einen Wendepunkt in der
Geschichte der Zahlentheorie und der Algebra. Der 1897 in Bel. 4 des
Jahresberichtes der D.M.V. erschienene "Zahlbericht" von Hilbert
zeigt, wie sich die Theorie der algebraischen Zahlkörper auf dem von
Dedekind geschaffenen Fundament in kurzer Zeit zu einer erstaunlichen
Höhe entwickelt hat. Für Emmy Noether war das elfte Supplement eine
unerschöpfliche Quelle von Anregungen und Methoden. Bei jeder Ge
legenheit pflegte sie zu s-:tgen "Es steht schon bei Dedekind".
Evarl~ste Galois und Richard Derlekind sind es, die der modernen Algebra
ihre Struktur gegeben haben. Das tragende Skelett dieser Struktur
stammt von ihnen.
Zürich. 1. November 1963 B. L. vun der Waerden
Inhaltsverzeichnis
XLVI. noor die Theorie der ganzen algebralsehen Zahlen
(Supplement XI von Diriehleta! Vorlesungen über Zahlentheorie, •. Aun., S ••3 f-667 (1894).)
Seite
§ 159. Theorie der komplexen ganzen Zahlen von Gauß .•.•.•••••.•..•. 2
§ 160. Zahlenkörper . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • . . . . . . . • . . 20
§ 161. Permutation eines Körpers ..... : .. . .... . . . .. . . .. .. .. . . .. • .. .. 24
§ 162. Resultanten von Permutationen ..................•.•....•.... 29
§ 163. Multipla und Divisoren von Permutationen .................... 30
§ 164. Irreduzible Systeme. Endliche Körper...... .................•. 33
§ 165. Permutationen endlicher Körper.... .. . ... .•..... .•..•...... .. 41
§ 166. Gruppen von Permutationen ................................. 50
§ 167. Spuren, Normen, Diskriminanten ............................. 53
§ 168. Moduln.................................................... 60
§ 169. Teilbarkeit der Moduln ...................................... 62
§ 170. Produkte und Quotienten von Moduln. Ordnungen .... . . . . . . . . . . 67
§ 171. Kongruenzen und Zahlklassen ................................ 74
§ 172. Endliche Moduln ........................................... 80
§ 173. Ganze algebraische Zahlen ................................... 90
§ 174. Teilbarkeit der ganzen Zahlen. . .... .... .. . ..... ... . .. .... . ... 98
§ 175. System der ganzen Zahlen eines endlichen Körpers ... : .......... 101
§ 176. Zerlegung in unzerlegbare Faktoren. Ideale Zahlen .............. 107
§ 177. Ideale. Teilbarkeit und Multiplikation ......................... 116
§ 178. Relative Primideale ......................................... 121
§ 179. Primideale .....................................•........... 126
§ 180. Normen der Ideale. Kongruenzen .......................... , .. 130.
§ 181. Idealklassen und deren Komposition .......................... 139
§ 182. Zerlegbare Formen und deren Komposition .................... 146
§ 183. Einheiten eines endlichen Körpers ............................ 156
§ 184. Anzahl der Idealklassen ..................................... 169
§ 185. Beispiel aus der Kreist.eilung ................................. 178
§ 186. Quadratische Körper ........................................ 200
§ 187. Moduln in quadratischen Körpern ............................ 206
XI, VII. Über die Komposition der binären quadratischen }'ormeß
(SuJlplement X von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie, 2. Aufl., S.423-462 (1871).)
§ 159. Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223
§ 160. Ganze algebraische Zahlen ................................... 236
§ 161. Theorie der Moduln ......................................... 242
§ 162. Ganze Zahlen eines endlichen Körpers ......................... 245
§ 163. Theorie der Ideale eines endlichen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251
XLVßI. Sur Ja Theorie des Nombres entlers aJgebrlques
(Parlfl, Gauthier-Ylllars, 1877, S. 1-121. Bulletin des 8elenecs matht\matlqucs et utro
nomlques, Ire serie, t. XI, 2e sPrle, t. I., 1876, 1877.)
Seite
Introduction ...............................•....•...•.....•....... 263
Section I. Theoremes auxiliaires de 1110 theorie des modules ............• 273
Section H. Le germe de 111. theorie des idea.ux .....•....•.........•..•. 274
§ 5. Les nombres rat.ionneJs entiers .......................... 274
§ 6. Les nombres complexes entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .. 276
§ 7. Le domaine 0 des nombres x + y v' - 5 '. . .. .. . .. .. .. . ... 278
§ 8. Röle du nombre 2 dans le domaine 0 .................... 281
§ 9. Röle des nombres 3 et 7 dans le domainc 0 •••••....•••..• 284
§ 10. Lois de 111. divisibilite dan!< le domaine 0 ....•.......•.... 286
§ 11. Ideaux dans le domaine 0 •••...••••••••••••.••••••••••• 288
§ 12. Divisibilite et multiplication deR ideaux danR le domaine 0 • 291
XLIX. 'Ober die Theorie der ganzen algebrai8ehen Zahlen
(Supplement XI VOll Dirichl"tsVorlc.ungcn über Zahlentheorie, 3. AuO., S.515-530 (187\1).)
§ 170. Multiplikation der Ideale .................................... 297
§ 171. Relative und absolute Primi deale .................... ' ......•. 298
§ 172. Hilfssätze ................................................. _ 303
§ 173. Gesetze der Teilbarkeit ..................... '.' ...\ . ........•.. 308
Erläuterungen zu den vorstehenden Abhandlungen XLVI-XLIX ....... 313
Dedeklnd 1
XLVI
Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
9159
Der Begriff der ganzen Zahl hat in diesem Jahrhundert eine
Erweiterung erfahren, durch welche der Zahlentheorie wesentlich
neue Bahnen eröffnet sind; den ersten und wichtigsten Schritt auf
diesem Gebiete hat Gauß*) getan, und wir wollen zunächst die
Theorie der Ton ihm eingeführten ganzen komplexen Zahlen wenig
stens in ihren wichtigsten Grundzügen darstellen. weil hierdurch das
Verständnis der später folgenden Untersnchungen über die allgemeinsten
ganzen algebraischen Zahlen gewiß erleichtert wird.
Bisher haben wir unter ganzen Zahlen ausschließlich die Zahlen
0, +1, +2, +3, +4 ...
verstanden, nämlich alle diejenigen Zahlen, welche durch wiederholte
Addition und Subtraktion aus der Zahl 1 entstehen; diese Zahlen
reproduzieren sich durch Addition, Subtraktion und Multiplikation,
oder mit anderen Worten, die Summen. Differenzen und Produkte
von je zwei ganzen Zahlen sind wieder ganze Zahlen. Dagegen führt
die vierte Grundoperation. die Division, auf den umfassenderen Be
griff der rationalen Zahlen, unter welchem Namen die Quotien
ten**) von irgend zwei ganzen Zahlen verstanden werden; offenbar
reproduzieren sich diese rationalen Zahlen durch alle vier Grund
operationen. Jedes System von reellen oder komplexen Zahlen, welches
diese fundamentale Eigenschaft der Reproduktion besitzt, wollen wir
künftig einen Zahlkörper oder kurz einen Körper nennen; der In
begriff R aller rationalen Zahlen ist daher ein Körper, und zwar
bildet er das einfachste Beispiel eines solchen. Dieser Körper R
der rationalen Zahlen besteht nun aus ganzen und gebrochenen, d. h.
nicht ganzen Zahlen; die ersteren wollen wir in Zukunft rationale
ganze Zahlen nennen, um sie von den neu einzuführenden ganzen
Zahlen zu uuterscheiden.
*) "I'heoria residuorum biquadraticorum. 11. 1832. - Vgl. die Ab
a
handlungen von Dirichlet: Recher'ches Bur les formes quadratiques
a
coefficients et indeterminees complexes (Crelles Journal, Bd. 24) und
Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen (Abh. d. Ber
liner Akad. 1841).
**) Dem Begriffe eines Quotienten gemäß wird es hier und im folgenden als
selbstverständlich angesehen, daß der Divisor oder Nenner eine von Null verschie
dene Zahl ist.
3
V- =
Wir wenden uns nun, indem wir zur Abkürzung 1 i
setzen, zu der Betrachtung desjenigen Körpers J, welcher aus allen
komplexen Zahlen ro von der Form
x+
yi
besteht, wo x und Y willkürliche rationale Zahlen bedeuten, die
wir die Koordinaten der Zahl ro nennen wollen. Diese Zahlen ro
bilden in der Tat einen Körper; denn wenn
+ +
(X = Xl yli und ß = Xs ysi
irgend zwei solche Zahlen sind, so gehören auch ihre Summe, Diffe
renz, ihr Produkt und Quotient, d. h. die Zahlen
a + ß = (Xl + x2) + (Yt + Y2) i
= + +
aß (XlX2 - YIY2) (xtYs y1xs)i
+ +
!:.. = Xl Xi Yl Y2 '!L!~ XI Y2 i
ß xi + y~ x~ + y~
demselben System J an. Dieser Körper J, welcher offenbar auch
alle rationalen Zahlen enthält, soll ein Körper zweiten Grades
oder ein qnadratischer Körper heißen, weil alle seine Zahlen ro
durch wiederholte Anwendung der vier Grundoperationen aus der
einen Zahl i entstehen, welche eine Wurzel der mit rationalen Koeffi
zienten behafteten quadratischen Gleichung
i2+1=O
ist. Diese Gleichung hat die Zahl - i zur zweiten Wurzel; ist nun
+
ro = X yi auf die angegebene Weise aus i entstanden, also eine
Zahl des Körpers J, so wird aus der Zahl - i durch dieselben
Operationen die mit ro konjugierte Zahl X - yi entstehen, die
ebenfalls dem Körper J angehört, und welche wir immer mit ro' be
zeichnen wollen. Dann ist umgekehrt die mit ro' konjugierte Zahl
=
(ro')' ro, und man überzeugt sich leicht, daß für je zwei Zahlen a,
ß des Körpers J die folgenden Gesetze gelten:
(a + ß)' = a' + ß'
=
(aß)' a' ß'
(~)' ~:.
=
Unter der Norm einer Zahl ro verstehen wir das Produkt roro'
aus den beiden konjugierten Zahlen ro und ro', und wir bezeichnen
diese Norm durch das Symbol N(ro); es wird daher
N(x + yi) = (x + yi)(x - yi) = XS + y,
1*