Über die Berechnung von Automorphismen und Teilkörpern algebraischer Zahlkörper

97 Pages·2009·0.57 MB·German

(cid:127)
Uber die Berechnung von
Automorphismen und Teilk(cid:127)orpern
algebraischer Zahlk(cid:127)orper
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker
Ju(cid:127)rgen Klu(cid:127)ners
aus Meerbusch
Vom Fachbereich 3 Mathematik
der Technischen Universit(cid:127)at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
genehmigte Dissertation.
Berlin 1997
D83
ii
Promotionsausschu(cid:25)
Vorsitzender: Professor Dr. R. Wu(cid:127)st
Berichter: Professor Dr. M. E. Pohst
Berichter: Dr. habil. F. Lepr(cid:19)evost
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 21. Mai 1997
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Einleitung 1
Kapitel II. Grundlagen 5
1. Algebraische Zahlk(cid:127)orper und Vervollst(cid:127)andigungen:::::::::::::::::: 5
2. Identi(cid:12)kation der Nullstellen::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 6
3. Galoistheorie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 7
4. Das van der Waerden-Kriterium ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 8
5. Rekonstruktion von rationalen Zahlen:::::::::::::::::::::::::::::: 10
6. Obere Absch(cid:127)atzungen fu(cid:127)r Koe(cid:14)zienten von algebraischen Zahlen::: 12
Kapitel III. Unverzweigte p-adische Erweiterungen 15
1. Grundlagen ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 15
2. Arithmetik in unverzweigten p-adischen Erweiterungen::::::::::::: 16
3. Hensel{Lifting::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 18
4. Das verallgemeinerte Newton{Lifting::::::::::::::::::::::::::::::: 21
Kapitel IV. Zur Berechnung von Teilk(cid:127)orpern 25
1. Grundlagen ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 25
2. Imprimitivit(cid:127)atsgebiete und Bl(cid:127)ocke:::::::::::::::::::::::::::::::::: 27
3. Zum Schneiden von Blocksystemen :::::::::::::::::::::::::::::::: 33
4. Zur Berechnung von erzeugenden Polynomen::::::::::::::::::::::: 37
5. Zur Einbettung von berechneten Teilk(cid:127)orpern::::::::::::::::::::::: 41
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
6. Zusammenh(cid:127)ange zwischen Bl(cid:127)ocken und Primidealen:::::::::::::::: 43
Kapitel V. Dekompositionen 45
1. Grundlagen ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 45
2. Zusammenh(cid:127)ange zwischen Teilk(cid:127)orpern und Dekompositionen ::::::: 48
3. Tu(cid:127)rme von Zahlk(cid:127)orpern ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 49
Kapitel VI. Automorphismen 51
1. Grundlagen ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 51
2. Abelsche Erweiterungen ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 55
3. Absolut-abelsche Erweiterungen ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 56
4. Hilbertsche Verzweigungstheorie und Zerlegungsk(cid:127)orper ::::::::::::: 56
5. Absolut-normale Erweiterungen:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 61
6. Relativ-abelsche Erweiterungen:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 66
Kapitel VII. Beispiele 75
1. Teilk(cid:127)orper::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 75
2. Dekompositionen:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 79
3. Absolut-abelsche Automorphismen::::::::::::::::::::::::::::::::: 81
4. Absolut-normale Automorphismen::::::::::::::::::::::::::::::::: 83
5. Relativ-abelsche Automorphismen ::::::::::::::::::::::::::::::::: 84
Literaturverzeichnis 87
Bezeichnungen 89
Zusammenfassung 91
KAPITEL I
Einleitung
Rund 1700 Jahre vor Christi Geburt war in Mesopotamien eine algebraische Me-
2
thodebekannt, um Gleichungen der Form x +px+q = 0 zu l(cid:127)osen [12, 28]. Danach
dauerte es mehr als 3000 Jahre, ehe Gleichungen vom Grad 3 und 4 geschlossen,
d.h. durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Wurzelziehen,
gel(cid:127)ost werden konnten. Lange Zeit war o(cid:11)en, ob Gleichungen vom Grad gr(cid:127)o(cid:25)er als
4 mit (cid:127)ahnlichen Methoden behandelt werden k(cid:127)onnen. Zu Beginn des 19. Jahrhun-
derts zeigten zuerst Abel und wenig sp(cid:127)ater auch Galois, da(cid:25) dies bereits fu(cid:127)r Grad
5 unm(cid:127)oglich ist. Galois gab zus(cid:127)atzlich eine vollst(cid:127)andige Charakterisierung dieses
Problems, indem er zeigte, da(cid:25) eine Gleichung genau dann au(cid:13)(cid:127)osbar ist, wenn die
zugeh(cid:127)orige Galoisgruppe au(cid:13)(cid:127)osbar ist.
Die Galoistheorie bildet auch heute noch eine Grundlageder algebraischen Zahlen-
theorie. Mit ihrer Hilfe lassen sich z.B. die Automorphismen oder Teilk(cid:127)orper eines
algebraischen Zahlk(cid:127)orpers charakterisieren. Die Berechnung der Galoisgruppe er-
weist sich allerdings als ein sehr schwieriges Problem. Die zur Zeit e(cid:14)zientesten
AlgorithmenzurGaloisgruppenberechnunggreifenaufberechneteTabellenzuru(cid:127)ck,
die unter anderem alle transitiven Untergruppen der symmetrischen Gruppe Sn
enthalten. Damit sind diese Methoden auf Polynome kleinen Grades beschr(cid:127)ankt.
Eine andere Methode, die Galoisgruppe zu berechnen, besteht darin, zuerst den
Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orper des gegebenen algebraischen Zahlk(cid:127)orpers zu bestimmen, um
hiernach in diesem K(cid:127)orper die Automorphismen zu berechnen. Diese Methode
erweist sich aber bei gradm(cid:127)a(cid:25)ig gro(cid:25)en Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orpern als unpraktikabel.
Wir werden bei unserer Algorithmenentwicklung auf Ergebnisse der Galoistheorie
zuru(cid:127)ckgreifen, vermeiden aber die explizite Berechnung der Galoisgruppe. Viele
unserer Probleme k(cid:127)onnen durch Faktorisierung von Polynomen u(cid:127)ber Zahlk(cid:127)orpern
gel(cid:127)ost werden. So k(cid:127)onnen die Automorphismen eines normalen Zahlk(cid:127)orpers Q((cid:11))
1
2 I. EINLEITUNG
z.B. dadurch berechnet werden, da(cid:25) das Minimalpolynom von (cid:11) u(cid:127)ber dem Zahl-
k(cid:127)orper Q((cid:11)) faktorisiert wird. Es zeigt sich, da(cid:25) diese Methoden bereits bei sehr
kleinen Graden (10-15) wenig e(cid:14)zient sind.
In unserer Arbeit werden wir Verfahren fu(cid:127)r die Berechnung von Teilk(cid:127)orpern und
Automorphismen algebraischer Zahlk(cid:127)orper entwickeln. Als Anwendung hiervon
fu(cid:127)hrenwireineneueDekompositionvonPolynomenein,dieeinenwichtigenSchritt
in Richtung Au(cid:13)(cid:127)osbarkeit durch Radikalerweiterungen bedeutet.
ZurBerechnung von Teilk(cid:127)orpern gibt es eine Reihe bekannter Algorithmen [15, 21,
24], die auf der Faktorisierung von Polynomen u(cid:127)ber Zahlk(cid:127)orpern oder Polynomen
u(cid:127)ber Z von sehr gro(cid:25)em Grad basieren. Dabei ben(cid:127)otigt die erste Faktorisierung
jeweils schon mehr Rechenzeit als die komplette Ausfu(cid:127)hrung unseres Algorith-
mus. Die in [3] vorgestellte Methode arbeitet mit komplexen Approximationen
und Gitterreduktionstechniken. Sie ist bei gr(cid:127)o(cid:25)eren Beispielen ebenfalls zu auf-
wendig. Unser Algorithmus ist eine Weiterentwicklung der in [16, 18] vorgestellten
Methoden, die ihrerseits auf [11] basieren.
Bei der Berechnung eines Teilk(cid:127)orpers L = Q((cid:12)) eines gegebenen Zahlk(cid:127)orpers E =
Q((cid:11)) werden sowohl das Minimalpolynom g von (cid:12) als auch eine Einbettung ! 2
Q[t] mit!((cid:11)) = (cid:12) berechnet. DieIdeedesTeilk(cid:127)orperalgorithmusin[16,18]besteht
darin, da(cid:25)eseineBijektion zwischen denBlocksystemen derGaloisgruppeundden
Teilk(cid:127)orpern gibt. Wir berechnen mit dem van der Waerden-Kriterium zyklische
Untergruppen der Galoisgruppe und leiten Eigenschaften fu(cid:127)r die Blocksysteme
her, die wir zu deren Bestimmung einsetzen. Daraufhin k(cid:127)onnen wir mit dem
Hensel-Lifting in unverzweigten p-adischen Erweiterungen aus einem Blocksystem
das Minimalpolynom g berechnen. Die Einbettung ! wird dann mit Hilfe des
Newton-Liftings bestimmt.
Die Hauptidee wird in dieser Arbeit beibehalten, wobei wir die zeitkritischen
Teile wesentlich e(cid:14)zienter gestalten werden. So haben wir neue Methoden zum
Hensel-Lifting in unverzweigten p-adischen Erweiterungen sowie zur Berechnung
des Newton-Liftings entwickelt. Weiterhin ist es uns gelungen, die Anzahl der zu
betrachtenden Kandidaten fu(cid:127)r Blocksysteme deutlich zu senken. Als Ergebnis er-
halten wir einen Algorithmus, der dem in [16, 18] um Gr(cid:127)o(cid:25)enordnungen u(cid:127)berlegen
ist.
Als Anwendung fu(cid:127)r die Teilk(cid:127)orper haben wir ein neues Konzept fu(cid:127)r die Dekompo-
sition von Polynomen f und einen e(cid:14)zienten Algorithmus zur Berechnung dieser
entwickelt, welches die bisher bekannten verallgemeinert. Ziel dieser Dekomposi-
tionen ist es, die Nullstellen von Polynomen dadurch zu erhalten, da(cid:25) wir sukzes-
I. EINLEITUNG 3
sive die Nullstellen von Polynomen kleineren Grades bestimmen. Wir beweisen
eine Korrespondenz zwischen den Teilk(cid:127)orpern des von einer Nullstelle von f er-
zeugten Zahlk(cid:127)orpers und den Dekompositionen. Diese Dekompositionen bilden
einen wichtigen Schritt in Richtung eines e(cid:14)zienten Algorithmus zur Au(cid:13)(cid:127)osbar-
keit durch Radikalerweiterungen. Nach Berechnung der Dekompositionen mu(cid:25)
nur noch\ ein e(cid:14)zienter Algorithmus fu(cid:127)r primitive Erweiterungen gefunden wer-
"
den.
Die Dekompositionen (cid:12)nden fu(cid:127)r die Konstruktion qualitativ neuer Robotertypen
sowie bei der zeitkritischen Steuerung allgemeiner Mechanismen (z.B. Fahrwerks-
abstimmung von Autos) praktische Anwendung [33]. So ist es von entscheidender
Bedeutung, da(cid:25) die kinematischen Gleichungssysteme in Echtzeit gel(cid:127)ost werden
k(cid:127)onnen. Fallseine Dekomposition existiert, k(cid:127)onnen die entstehenden Polynomglei-
chungen erheblich vereinfacht bzw. symbolisch gel(cid:127)ost werden. Dadurch entfallen
die sonst erforderlichen fu(cid:127)r die Praxis viel zu langsamen numerischen Rechnungen.
Wir stellen in dieser Arbeit erstmalig Algorithmen zur Bestimmung von Auto-
morphismen algebraischer Zahlk(cid:127)orper vor, die nicht auf der Faktorisierung von
Polynomen u(cid:127)ber Zahlk(cid:127)orpern beruhen. Dabei entwickeln wir spezielle Verfahren
fu(cid:127)r u(cid:127)ber Q abelsche und normale sowie wie fu(cid:127)r relativ-abelsche Erweiterungen.
Allen Methoden ist gemeinsam, da(cid:25) sie solange Frobeniusautomorphismen be-
rechnen, bis die gesamte Automorphismengruppe von diesen erzeugt werden kann.
Die Frobeniusautomorphismen werden zuerst modulo p und dann mit Hilfe des
Newton-Liftings ausgerechnet.
Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt:
In Kapitel II werden Grundlagen, wie das van der Waerden-Kriterium, die Rekon-
struktion von Zahlen aus einer Approximation sowie wichtige Absch(cid:127)atzungen be-
handelt. Die grundlegenden p-adischen Algorithmen wie das Hensel- und Newton-
Lifting werden in Kapitel III vorgestellt. In Kapitel IV, V und VI besch(cid:127)aftigen
wir uns mit Teilk(cid:127)orpern, Dekompositionen und Automorphismen.
Wir geben in Kapitel VII eine gro(cid:25)e Anzahl von Beispielen an, die die Lei-
stungsf(cid:127)ahigkeit unserer Algorithmen unterstreichen.
Abschlie(cid:25)end weisen wir auf unsere Bezeichnungen und das Literaturverzeichnis
am Ende unserer Arbeit hin.
4 I. EINLEITUNG
Ich danke Herrn Prof. Dr. M. Pohst herzlich fu(cid:127)r seine
Unterstu(cid:127)tzung w(cid:127)ahrend der Anfertigung der Arbeit und
die gute Zusammenarbeit.
Ferner danke ich Herrn Dr. habil. F. Lepr(cid:19)evost fu(cid:127)r
die U(cid:127)bernahme des Koreferats sowie allen Mitgliedern
der Kant-Gruppe, durch deren Hilfe die Implementie-
rung der Algorithmen erst erm(cid:127)oglicht wurde.
Mein besonderer Dank gilt jedoch meinen Eltern, die
mich w(cid:127)ahrend meines ganzen Studiums unterstu(cid:127)tzt ha-
ben. Ihnen ist diese Arbeit gewidmet.
KAPITEL II
Grundlagen
1. Algebraische Zahlk(cid:127)orper und Vervollst(cid:127)andigungen
Es seien F ein algebraischer Zahlk(cid:127)orper und oF die Maximalordnung von F. Wei-
terhin seien f 2 oF[t] ein normiertes und irreduzibles Polynom vom Grad n und
(cid:11) eine Nullstelle von f. (cid:11) erzeugt dann einen algebraischen Zahlk(cid:127)orper E = F((cid:11))
vom Grad n. Sei nun p 2 P (Menge der Primzahlen), p ein Primideal in oF und P
ein Primideal in oE, wobei zus(cid:127)atzlich p 2 p (cid:18) P gelten soll. In diesem Fall sagen
wir P liegt u(cid:127)ber p bzw. p liegt unter P. Dann sind sowohl oF=p als auch oE=P
endliche K(cid:127)orper, wobei oF=p ein Teilk(cid:127)orper von oE=P ist.
Definition 2.1. DerGraddesendlichenK(cid:127)orpersoF=pu(cid:127)berFp wirdalsTr(cid:127)agheits-
grad fp (u(cid:127)ber Q) des Primideals p bezeichnet. Analog ist der Grad der K(cid:127)orperer-
weiterung (oE=P)=(oF=p) der (relative) Tr(cid:127)agheitsgrad fP=p des Primideals P.
Alle in dieser Arbeit auftretenden Primideale sind u(cid:127)ber Q unverzweigt, d.h., da(cid:25)
2
p 62 P gilt. Somit ist p stets ein Primelement von p bzw. P.
Seien nun E = EP und F = Fp die Vervollst(cid:127)andigungen von E und F an den
Primidealen P und p. E und F sind unverzweigte p-adische Erweiterungen von
Qp, wobei F in E enthalten ist. Wir bezeichnen mit E(cid:22) bzw. F(cid:22) ein minimales
Restsystem von oE=P bzw. oF=p. Da p Primelement von P und p ist, k(cid:127)onnen E
und F auf folgende Weise dargestellt werden:
X1
E = f aipi j ai 2 E(cid:22); m 2 Z; am 6= 0g;
i=m
X1
i (cid:22)
F = f aip j ai 2 F; m 2 Z; am 6= 0g:
i=m
5
6 II. GRUNDLAGEN
Bezeichnung 2.2. Wir bezeichnen mit disc(f) 2 oF die Polynomdiskriminante
von f und mit d(f) das von disc(f) erzeugte Hauptideal in oF.
In unseren Verfahren wollen wir an vielen Stellen vermeiden, die Maximalordnung
oE explizit auszurechnen. Stattdessen werden wir in der Gleichungsordnung oF[(cid:11)]
arbeiten. Der Beweis des folgenden Satzes kann in [31, section 6.2] nachgelesen
werden.
Satz 2.3. Sei p ein Primideal von oF mit p - d(f) und P ein Primideal von oE,
~
welches u(cid:127)ber p liegt. Weiterhin seien P = P \ oF[(cid:11)] und f (cid:17) f1(cid:1)(cid:1)(cid:1)fr mod p.
Dann folgt:
~
(i) P ist maximales Ideal von oF[(cid:11)].
(cid:24) ~
(ii) oE=P = oF[(cid:11)]=P.
(iii) poE = P1(cid:1)(cid:1)(cid:1)Pr mit Pi = (p;fi((cid:11))) := poE +fi((cid:11))oE (1 (cid:20) i (cid:20) r).
~ ~ ~
(iv) poF[(cid:11)] = P1(cid:1)(cid:1)(cid:1)Pr mit Pi = (p;fi((cid:11))) := poF[(cid:11)]+fi((cid:11))oF[(cid:11)] (1 (cid:20) i (cid:20) r).
2. Identi(cid:12)kation der Nullstellen
Ein wesentliches Problem dieser Arbeit ist eine gu(cid:127)nstige Identi(cid:12)zierung der Null-
stellen von f, d.h. die Bestimmung der Nullstellen in einem geeigneten Er-
weiterungsk(cid:127)orper von E. Wir k(cid:127)onnen ohne gr(cid:127)o(cid:25)ere Probleme die Nullstellen
(cid:11)i 2 C (1 (cid:20) i (cid:20) n) ausrechnen. Meistens sind wir aber an einer Darstellung
der Nullstellen in einer geeigneten unverzweigten p-adischen Erweiterung interes-
siert. Seien hierzu N die normale Hu(cid:127)lle von E=F, P ein Primideal von oE und
^
P ein Primideal von oN, welches u(cid:127)ber P liegt. Dann sei N = NP^ die p-adische
^
Vervollst(cid:127)andigungvonN anP. Wennwirnunf aufkanonische WeiseinN einbet-
ten, so zerf(cid:127)allt f in Linearfaktoren, und wir k(cid:127)onnen auf diese Weise die Nullstellen
(cid:11)~1;::: ;(cid:11)~n von f in N bestimmen. Wir merken an, da(cid:25) die Reihenfolge der (cid:11)i
im allgemeinen nichts mit der Reihenfolge der (cid:11)~i zu tun hat. Wir mu(cid:127)ssen uns da-
her entscheiden, bezu(cid:127)glich welcher Vervollst(cid:127)andigung wir die Nullstellen sortieren
wollen.
Definition 2.4. Unter der Identi(cid:12)zierung der Nullstellen von f bzgl. P bzw.
in C verstehen wir die Reihenfolge der Nullstellen, wie wir sie explizit in einer
p-adischen Vervollst(cid:127)andigung bzw. in C ausgerechnet (bzw. (cid:12)xiert) haben.
Bei der Berechnung der Nullstellen von f in einer p-adischen Vervollst(cid:127)andigung
gehen wir folgenderma(cid:25)en vor: