Über die analytische Fortsetzung von Poincaréreihen

63 Pages·1973·6.1 MB·German

by  H. Neunhöffer (auth.)

Sitzungsberichte
der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
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UI Berlin, die Jal/rgal/ge 1934-1944 bei der WeijJscl/el/ Universilatsbllchhandlul/g in Heidel
berg. 1945, 1946 IlIId 1947 sind keille Silzul/gsbericJue erscl/iel/en.
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I.ohaIt des Jabrgangs 1952:
1. W. Rauh. Vegetationsstudien im Hohen Atlas und desscn Vorland. OM 17.80.
2. E. Rodenwaldt. Pest in Venedig 1575 -1 577. Ein Beitrag zur Frage der Infektkette bei
den Pestepidemien West-Europas. OM 28.-.
3. E. Nickel. Oie petrogenetische Stellung der Tromm zwischen BergslriiBer und Bollsteiner
Odenwald. OM 20.40.
Inhalt des Jahrgangs 1953/55:
1. Y. Reenpaa. Ober die Struktur der Sinnesmannigfaltigkeit und der Reizbegrilfe. OM 3.50.
2. A. Seybold. Untersuchungen iiber den Farbwechsel von Blumenbllittem, Friichten und
Sarnenschalen. OM 13.90.
3. K. Freudenberg und G. Schuhmacher. Oie Ultraviolett-Absorptionsspektren von kiinst
lichem und natiirlichem Lignin sowie von ModeUverbindungen. OM 7.20.
4. W. Roelcke. Dber die Wellengleichung bei Grenzkreisgruppen erster Art. OM 24.30.
InhaJt des Jabrgangs 1956/57:
I. E. Rodenwaldt. Oie Gesundheitsgesetzgebung der Magistrato della sanitit Venedigs
1486-1550. OM 13.-.
2. H. Reznik. Untersuchungen iiber die physiologische Bedeutung der chymochromen Parh
stoUe. OM 16.80.
3. G. Hieronymi. Uber den altersbedingten Formwandel elastischer und muskularer Arterien.
OM23.-.
4. Symposium iiber Probleme der Spektralphotometrie. Herausgegeben von H. KienJe.
OM 14.60.
Inhalt des Jahrgangs 1958:
1. W. Rauh. Beitrag zur Kenntnis der peruanischen Kakteenvegetation. OM 113.40.
2. W. Kuhn. Erzeugung mechanischer aus chemischer Energie durch homogene sowie durch
quergestreifte synthetische Faden. OM 2.90.
Inhalt des Jabrgangs 1959:
1. W. Rauh und H. Palk. Stylites E. Amstutz, eine neue Isoetacee aus den Hochanden
Perus. 1. Teil. DM 23.40.
2. W. Rauh und H. Palk. Stylites E. Amstutz, eine neue Isoetacee aus den Hochanden
Perus. 2. Teil. OM 33. -.
3. H. A. WeideumillJer. Eine allgemeine Formulierung der Theorie der Oberflachenreak
tionen mit Anwendung aur die Winkelverteilung bci Strippingreaktionen. OM 6.30.
4. M. Eblicb und M. Muller. Door die Oifferentialgleichungen der bimolekularen Reaktiou
2. Ordnung. OM 11.40.
5. Vortrage und Oiskussionen beim KoUoquium uber Bildwandler und Bildspeicherrohren.
Herausgegeben von H. Siedeutopf. OM 16.20.
6. H. J. Mang. Zur Theorie des rx-Zerfall . OM 10. -.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Jahrgang 1973, 2. Abhandlung
H. Neunh6ffer
Vber die analytische Fortsetzung
von Poincarereihen
(Vorgelegt in der Sitzung vom 2. Juni 1973 durch F. K. Schmidt)
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Uber die analytische Fortsetzung von Poincarereihen
Helmut Neunhoffer
Mathematisches Institut der Universitat Heidelberg
Inhaltsverzeichnis
Einleitung. . . . . . . . . 5
§ 1. Definition der automorphen Funktionen. . . . 7
§ 2. Die Entwicklungen von Eigenfunktionen des Laplace-Operators zu Punkten
der oberen Halbebene und parabolischen Spitzen . . . . . . . 9
§ 3. Definition und absolute Konvergenz der Poincarereihen . . . . 14
§ 4. Das Verhalten der Poincarereihen in den parabolischen Spitzen . 21
§ 5. Die analytische Fortsetzung der Eisensteinreihen . . . . . . . 32
§ 6. Die analytische Fortsetzung der anderen Poincarereihen und die Vollstandig-
keitssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Einleitung
Fur die von H. MaaB in [4] eingefUhrten nicht-analytischen auto
morphen Formen hat W. Roe1cke in seinen Arbeiten [8, 10] und [11]
eine Spektraltheorie entwickelt. Die Hauptergebnisse sind eine Voll
standigkeitsrelation und ein Entwicklungssatz fUr das vorliegende Eigen
wertproblem. Bei Grenzkreisgruppen erster Art mit Spitzen sind die Aus
sagen wesentlich verscharft, wobei vor aHem das kontinuierliche Spektrum
durch analytisch fortgesetzte Eisensteinreihen genauer beschrieben wird.
Der groBe EinfluB, den A. Selberg auf diese Untersuchungen hatte, ist
in der Einleitung zu [10] gewurdigt.
Nun wollen wir kurz die wichtigsten Methoden und Ergebnisse der
vorliegenden Arbeit beschreiben.
Es bezeichne f> die obere Halbebene, bestehend aus den Punkten
z = x + i Y mit positivem Imaginarteil, r eine Grenzkreisgruppe erster Art
mit Spitzen und A den Laplace-Operator y2 (00:2 + 0~ 2 ). Wir interes
sieren uns fUr r-invariante Losungen der Eigenwertgleichung -Af=Af
=t)·
G
Flir CEf> setzen wir T= Die Substitution
z-C
Zf-+ T(z)=--_-
z-(
bewirkt in bekannter Weise den Ubergang von der oberen Halbebene
in den Einheitskreis. Losungen der Eigenwertgleichung werden nun nach
- 33 -
6 H. NeunhOffer
dem Prinzip der Quersummation durch Poincarereihen angesetzt. Wir
setzen s(l-s)=A und definieren die Poincarereihe zum Punkt (, zum
Parameter S und zum Index n durch
L Inl +n In~-n
P(z, (, s, n)= (TM(z))-2-(TM(z)) (1-ITM(z)12)"
Mer
.F(s+lnl,s;2s; l-ITM(zW),
wobei F(rt, {3; 1'; z) die hypergeometrische Funktion bedeutet. 1st ~ eine
r r,
parabolische Spitze von und r~ der Stabilisator von ~ in femer
A(~) = 00 und A -1 (~ ~) A die parabolische Grundmatrix von r~, so de
finieren wir die Poincarereihe zur Spitze ~, zum Parameter S und zum
Index n +0 durch
L
P(z,~, s, n)= (1m (AM (z)))t
Mer~\.r
. Is- t(2n I n I Im(AM(z))) e21tin Re(AM(z)),
wobei Is-t die Besselfunktion zu rein imaginiirem Argument bedeutet.
Fur n = 0 definieren wir
L
P(z,~, s, O)=E~(z, s)= (1m (AM (z)))",
Mer~\.r
die Eisensteinreihe zur Spitze ~.
Fur aIle diese Reihen ist die absolute Konvergenz nur fUr Re (s) > I
garantiert, wiihrend das Spektrum des elliptischen Operators - LI in
{A E JR, A;?; O} enthalten ist, und dies entspricht der Menge
{SE<C IRe (s)=1 oder SEJR, O~s~ I}.
Auch besitzen aIle diese Reihen am Entwicklungspunkt eine Sin
gularitiit. 1m Fall einer parabolischen Spitze ~ bedeutet dies unbeschriink
tes Anwachsen fUr z ~~. Es zeigt sich aber, daB sich beide Schwierig
keiten durch analytische Fortsetzung beheben lassen.
Die analytische Fortsetzung der Eisensteinreihen erfolgt in § 5. Wir
zeigen, daB die Eisensteinreihen im Bereich ihrer absoluten Konvergenz
einer Integralgleichung genugen, die mit einer Fredholmschen iiquivalent
ist.
In der Idee lehnt dieser Beweis sich an jenen an, den A. Selberg
in seiner Gottinger Vorlesung [12] 1954/55 fUr den Fall einer Spitze
ausfUhrte und fUr den Fall mehrerer Spitzen skizzierte. AIle anderen
veroffentlichten Beweise verwenden eine andere Beweisidee. Auch sind
sie entweder nur skizziert, wie der von A. Selberg auf dem Intemationalen
Mathematiker-KongreB in Stockholm 1962 vorgetragene (s. [13]), oder sie
- 34 -
Uber die analytische Fortsetzung von Poincarereihen 7
verwenden tiefliegende Hilfsmittel aus der Lie-Gruppen-Theorie, wie
etwa der sehr allgemeine und schwer lesbare von R. P. Langlands [3].
Die ins Spektrum fortgesetzten Eisensteinreihen wachsen zwar in
den parabolischen Spitzen noch so an, daB sie nicht quadratisch inte
grierbar sind, aber so schwach, daB sie integrierbar sind. Dieses Verhalten
entspricht der Tatsache, daB sie das kontinuierliche Spektrum aufspan
nen, wie Roelcke in [11] gezeigt hat.
Die Poincarereihen werden nach einer ganz anderen Methode analy
tisch fortgesetzt. Wir fiihren modifizierte Poincarereihen ein durch
_ Inl+n __ Inl-n
L
P(z,,, s, n)= (TM(z»)-r-(TM(z»)-r-(1-ITM(z)12)S
MeT
und
L
P(z,~, s, n)= (1m (AM (z»))' e-27t InlIm(AM(z» e27tinRe(AM(z».
MeT~'T
Dann lassen sich die Differenzen P - P durch die gliedweise gebildeten
Differenzen der Reihen in den Bereich Re (s»O analytisch fortsetzen.
Die Funktionen P(z, " s, n) und P(z, ~, s, n) werden in diesen Bereich
analytisch fortgesetzt, indem man sie als Funktionen von z nach Eigen
funktionen von - ,,1 entwickelt und die Entwicklungskoeffizienten ana
lytisch fortsetzt. An dieser Stelle werden die Spektralsatze von Roelcke
[11] verwendet. Nach dieser Methode haben auch Huber [2] und Sel
berg [14] Fragen analytischer Fortsetzung behandelt.
Die Fortsetzung von P(z, (, s, n) und P(z,~, s, n) in den Bereich
Re (s)~O erfolgt mit Hilfe einer Funktionalgleichung, die P(z,., s, n)
mit P(z, ., l-s, n) in Beziehung setzt. Es zeigt sich, daB diese Funktionen
sich nur um eine Linearkombination von Eisensteinreihen unterscheiden.
Die Residuen der Poincarereihen sind quadratisch integrierbare Ei
genfunktionen von - ,,1, weil die beztiglich z singularen Bestandteile der
Reihen als Funktionen von s in der ganzen Ebene holomorph sind und
deshalb bei der Residuenbildung wegfallen. Zum SchluB wird gezeigt,
daB die Residuen der Poincarereihen zu einem festen Entwicklungspunkt
aIle quadratisch integrierbaren Eigenfunktionen von - ,,1 linear erzeugen.
Meinem Lehrer, Prof. Dr. H. MaaB, danke ich ftir die Anregung zu
dieser Arbeit und ftir die ausfiihrliche Diskussion alIer Ergebnisse.
§ 1. Definition der automorphen Funktionen
Es bezeichne ~ die obere Halbebene, also
~={z; z=x+iy, y>O},
35 -
8 H. Neunhoffer
sei das Quadrat des Linienelements. Dieses ist unter den Substitutionen
az+b
z~M(z)
cz+d
mit
M = (: :) eSL(2, JR)
invariant. Das zugehorige FHichenelement ist
dro=~.
y
Der hyperbolische Abstand zweier Punkte z und , werde mit Iz , 'I be
zeichnet.
r
bedeutet in dieser Arbeit eine Grenzkreisgruppe erster Art mit
r
Spitzen. Demnach hat einen von endlich vielen hyperbolischen Geraden
berandeten Fundamentalbereich ij mit endlich vielen parabolischen
r
Spitzen, der von endlichem Volumen ist. Wir fassen als Untergruppe
von SL(2, JR) auf und setzen -Eer voraus.
Mit .£1 bezeichnen wir den Laplace-Operator
Dies ist im wesentlichen der einzige invariante Differentialoperator auf f>.
Das bedeutet genauer: Jeder mit allen Substitutionen aus SL(2, JR) ver
tauschbare Differentialoperator auf f> ist ein Polynom in .£1 mit kom
plexen Koeffizienten.
Wie W. Roelcke in [8, 10] und [11] werden wir gew6hnlich den
Operator - .£1 betrachten, wei! dann die Eigenwerte positiv ausfallen.
Nun sind die Bezeichnungen soweit geklart, daB wir zur Definition
der automorphen Funktionen fibergehen k6nnen.
Definition 1.1. Die Funktion f: f> --+ <C heiftt automorphe Funktion zur
Gruppe r und zum Eigenwert A., wenn gilt:
a) f(M(z»)=f(z)filr Mer.
b) fist reell-analytisch in x und y und erfilllt die Differentialgleichung
-.£1f=..1.f oder (.£1 + ..1.)f=o. (1.1)
c) 1st AeSL(2, JR) und A-l(oo) eine parabolische Spitze von r, so
gibt es ein Ke JR, so daj3 gilt
f(A-l(z»)=O(y")filr y--+ 00 gleichmiij3ig in x. (1.2)
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'Ober die analytische Fortsetzung von Poincarereihen 9
Die 0- und die 0-Bezeichnung verwenden wir in der bekannten Landau
schen Bedeutung.
Der geeignete Hilbertraum ftir die Spektraltheorie von ..1 ist
der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen auf ~, wobei wie
tiblich Funktionen als gleich betrachtet werden, die sich nur auf einer
Nu1lmenge unterscheiden. Hliufig werden wir Funktionen auf ~ als
r
-invariante Funktionen auf i) auffassen.
§ 2. Die Entwicldungen von Eigenfnnktionen des Laplace-Operators
zu Pnnkten der oberen Halbebene und zu parabolischen Spitzen
Wenden wir uns zunlichst der Entwicklung zu einem inneren Punkt
zu.
Sei C ein fester innerer Punkt der oberen Halbebene. Die Funktion
z~ J(z) sei in einer punktierten Umgebung von Cr eell-analytisch. Dber
das Verhalten in Cs etzen wir zunlichst nichts voraus. Weiter seiJEigen
funktion von -..1 zum Eigenwert AEC, A=!=O, es gelte also
..1J+AJ=O. (2.1)
Wie man sieht, erftillt jede automorphe Funktion zum Eigenwert A diese
Bedingungen.
Nun fiihren wir durch
w=pe1f(J= z-~ mit O~p<l und O~<p<21t (2.2)
z-C
neue Koordinaten ein, gehen also zum Einheitskreis als Modell der hyper
bolischen Ebene tiber. Dann ist
e1z•CI_l
p (2.3)
e1z•cl+l
e
und
l+P)
Iz,C/=log ( I-p . (2.4)
Wir bezeichnen die Funktion
mitJ(P, <p).
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10 H. Neunhoffer
Der Laplace-Operator lautet in den Koordinaten p, cp
(1-p2)2 (a2 1 a 1 a2 )
-+----,.- (2.5)
4 ~a p'+" -pap p'" ~a cp .
FUr p>O istj(p, cp) reell-analytisch in p und cp. Deshalb konvergiert die
Fourier-Entwicklung
L00
f(p, cp)= an(p)ein<P (2.6)
11=-00
absolut und auf Kompakta gleichmiiBig und darf gliedweise differenziert
werden. Somit folgt aus (2.1) und (2.5) durch Koeffizientenvergleich,
daB an (P) der gewohnlichen Differentialgleichung
n2) ()
a "(p) +p1 a' (p) + ((4l_Ap2 )2 IT a p = 0 (2.7)
genUgt.
Setzt man hier p2=r und a(p)= a (r), so erhiilt man fUr a(r) die Dif
ferentialgleichung
a- "(r) +r1- a_ , (r) + (rA(l-r )2 4nr22 ) a- (r) = 0 . (2.8)
Hier bedeutet ' natiirlich Ableitung nach r.
(2.8) ist eine verallgemeinerte hypergeometrische Differentialglei
chung, deren Losungstheorie vollstiindig bekannt ist. Ihre singuliiren
Punkte sind 0, 1 und Die Wurzeln der Indexgleichungen zum Punkt
<X).
r=O sind ± I~I, und zu r=1 sind es t±V!-A. Wir setzen
S=t+V!-A, (2.9)
wobei +V - die Wurzel mit positivem Realteil bedeutet; ist A reell und
>!, so ist die Wurzel mit positivem Imaginiirteil gemeint.
Eine bequeme Darstellung der Losungen von (2.8) ergibt sich nun,
wenn man diese Differentialgleichung durch die Substitution
Inl
a(r)=r -2" (1-r)-' a(r)
in die hypergeometrische Differentialgleichung
r(l-r)a" (r)+(1 n 1+ 1-(1 n 1+ 1+ 2s) r) a' (r)-(s+ 1n Dsa(r)=O (2.10)
UberfUhrt. Aus Bateman [1], S.75, 2.3.1 entnimmt man, daB man die
allgemeine Losung von (2.10) in der Form
a(r)=(Xl F(s+ 1n I, s; 1n 1+ 1; r)+(X2F(S+ 1n I, s; 2s; l-r) (2.11)
mit konstanten (Xl' (X2 darstellen kann.
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