Über den Anziehungsbereich eines Fixpunktes bei biholomorphen Abbildungen des ℂ n

25 Pages·1971·0.96 MB·German

by  Ludwig Reich (auth.)

$mn 179-6
Reich L.
Über den Anziehungsbereich
eines Fixpunktes
bei biholomorphen Abbildungen des
(:::n
Von
Ludwig Reich
Aus den
Sit:z:ungsberichten der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften
Mathem .• naturw. Klasse. Abteilung 11. 179. Bd .• 1. bis 3. Heft. 1970
Springer-Verlag Wien GmbH 1971
ISBN 978-3-662-22947-7 ISBN 978-3-662-24889-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-24889-8
Über den Anziehungsbereich
eines Fixpunktes
bei biholomorphen Abbildungen des
~n
Von
Ludwig Reich, Würzburg
(Vorgelegt um 30. Jänner 1970 durch das w. 1\1. E. Hlawka)
§ 1. Einleitung
C. L. Siegel hat in [1] für analytische Differentialgleichungs
systeme in Nähe einer Gleichgewichtslage eine Methode skizziert, die
Menge der in hinreichend kleiner Umgebung der Gleichgewichtslage
liegenden Anfangswerte mit der Eigenschaft zu beschreiben, daß die
für t = 0 durch sie hindurchgehenden Lösungen für alle Zeiten (t ~ 0)
in einer gewissen beschränkten Umgebung der Gleichgewichtslösung
bleiben. Es zeigt sich, daß dies zugleich diejenigen Anfangswerte sind,
derart, daß die durch sie festgelegten Lösungen für t -+ 00 gegen die
Gleichgewichtslage streben.
Eine wichtige Voraussetzung zur Charakterisierung der ~lJ1e nge ist: Für
alle Eigenwerte Ai des Linearteils des Differentialsystems gilt Re Ai =1= O.
Unter dieser Annahme ergibt sich diese Menge als lokale analytische
Varietät der Dimension m, wenn für genau rn Eigenwerte Ai Re Ai < 0
gilt.
Diese Untersuchung legt es nun nahe, eine ähnliche Frage für (lokal)
biholomorphe Abbildungen F des i[{jn mit Fixpunkt (0. B. d. A. x = 0)
zu behandeln, d. h. zu fragen, welche Punkte aus einer hinreichend
kleinen Umgebung des Fixpunktes bei allen Iterierten FV, v ~ 1, in
einer festen Umgebung des Fixpunktes bleiben.
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Vorgelegt sei also eine (lokale) biholomorphe Abbildung F des Un
mit Fixpunkt x = 0:
+ c.p
x -+ x(l) = A x (x), (1 )
wobei x = '(Xl, ..., xn) eine Spalte des Un, A eine nichtsinguläre,
c.p
konstante, komplexe (n, n)-Matrix und (x) ein Vektor ist, dessen
Komponenten konvergente Potenzreihen in x sind, die mit mindestens
c.p
quadratischen Ausdrücken anfangen, d. h. ord (x) ~ 2. Wir nehmen
(in Analogie zu Re Ai # 0) an, daß für die Eigenwerte Pi von A gilt:
0< Ipil < 1, i = 1, ... ,m,
1< Iptl ,. i = m + 1, ... , n, (2)
d. h. durch geeignete Um.numerierung der Koordinaten o. B. d. A.
0< IPml ~ Ipm-ll ~ ... ~ IpII < 1. (3)
Dann gilt der
Satz 1: Gegeben 8ei die biholomorphe Abbildung F mit Fixpunkt
xO = '(0, ..., 0):
+ c.p
x -+ x(1) = Ax (x) , (1)
und für die Eigenwerte Pi von A gelte
o < IPml ~ Ipm-ll ~ ... ~ Iprl < 1, (3)
1 < Ipil, i = m + 1, ... , n. (2)
Dann gilt für eine hinreichend kleine Umgebung U de8 Fixpunkte8, d. h.
für die x mit max IXkl < e:
k=l, ... , n
E8 exi8tiert in U eine lokal analyti8che Varietät Vm der Dimen8ion m,
80 daß für alle und nur die XE Vm gilt: max I(FV x)kl < 8 (e:), für alle
1&=1, •.• , n
v = 1,2, ..., mit einem geeigneten 8 (e:).
[Dabei i8t FV die v-te Iterierte von F, F (FV-I) (x) = FV (x).]
Für die XE Vm gilt dann 80gar 8tärker: Die Folge FV x, v = 1, 2, ...
konvergiert gegen den Fixpunkt.
Der Beweis dieses Satzes ergibt sich nach einer Idee von C. L. Siegel
(vgl. [1]) aus der Lösung eines Normalformenproblems bezüglich der
Abbildungen (1). Die Einzelheiten des Konvergenzbeweises für die
Über den Anziehungsbereich eines Fixpunktes ... 125
Transformation auf Normalform unterscheiden sich allerdings stark von
den entsprechenden Punkten im analogen Problem für Differential
gleichungssysteme. Wir werden übrigens zeigen, daß das hier gelöste
Normalformenproblem dasjenige aus [1] umfaßt.
Es mögen nun noch einige Hinweise auf verwandte Fragestellungen
gegeben werden, ehe ich den Satz über das Normalformenproblem angebe.
Von E. Pes chI wurde zuerst mittels eines Iterationsverfahrens
folgendes Normalformenproblem behandelt:
Vorgelegt seien biholomorphe Abbildungen mit anziehendem Fix
punkt:
x --* x(1) = Ax + c:P (x), (1)
d. h. wobei für die Eigenwerte Pi von A gelte:
°
< IPil < 1, i = 1, ... ,n.
Wir betrachten die Gruppe der biholomorphen Koordinatentransfor-
mationen
x = By + ~(y)
= + (4)
x(l) By(l) ~ (y)
°
mit det B =1= 0, ord ~ (y) ~ 2, ~ (y) in Umgebung von y = konvergent.
Da (1) bei solchen Transformationen seine Gestalt nicht ändert, so ist
die Frage naheliegend : Wie lautet die Klasseneinteilung der Abbildungen
(1) gegenüber den Transformationen (4), wie lauten einfache Normal
formen?
Dieses Problem wurde zuerst vom Verfasser mittels der Methode
von E. Peschi in seiner Habilitationsschrift ([2], [3]) gelöst, vgl. auch [4].
Es wird sich zeigen, daß dieses Normalformenproblem nun als Spezial
fall in der vorliegenden Arbeit enthalten ist. Für das Normalformen
problem für analytische Differentialgleichungssysteme und seinen Zu
sammenhang mit dem für Abbildungen vgl. [5], [6] sowie für eine andere,
einfachere Version der Majorantenmethode im Normalformenproblem
von [1] vgl. [7]. Wir geben nun den Satz über die Normalformen an. Dazu
bemerken wir, daß es höchstens endlich viele Relationen Pk = P~' ••• p,;"
m
k = 1, ..., m, OCi E ~, ~ OCi ~ 2, OCi ~ 0, gibt, und daß jede solche'
i=l
=
Relation genauer die Gestalt Pk = pI"'! ••• p~~l, d. h. OCk = ... OCm 0,
126 L. Reich
Y';;
hat. Wir nennen wie schon z. B. in [2] ein Monom y" = YI "I ...
Zusatzmonom zum Eigenwert pk, falls (C(I, ..., C(m) Exponentenvekto
einer Relation Pk = PI "I ... P::, C(i ;;: 0, ~ C(i ;;: 2, ist. Dann gilt
Satz 2 : Es sei die biholomorphe Abbildung
x --+ x(I) = A x + cp (x) (1
vorgelegt, und es gelte für die Eigenwerte Pi von A:
°
< !Pm! ~ !pm-I! ~ ... ~ !pI! < 1, (3
1 < !pi! , i = m + 1, ... ,n. (2
J sei die .Jordansche Normalform von A. Dann existiert eine biholo
morphe Koordinatentransformation T
x = By + ~ (YI, ... , Ym)
(4
X(I) = By(I) + ~ (YI, ... ,Ym)' ord ~ ;;: 2,
(-wobei also ~ nur von Yb ... , Ym, nicht von Ym+l, ... , Yn abhängt -
von (1) auf die Gestalt
+
y--+y(I) =Jy +P(y) ~(y), (5
wobei: °
+
(i) P (y) ein Polynomvektor ist mit Pk (y) == für k = m 1
..., n, während Pk (y) für k = 1, ..., meine Linearkombination vm
Zusatzmonomen zum Eigenwert Pk ist;
(ii) ~ (y) ein Potenzreihenvektor ist mit ord ~ (y) ;;: 2 un~
~ (Yl, ..., Ym, 0, ... 0) = 0.
Es ist sogar jede formal biholomorphe Koordinatentransformatior
von (1) auf die Gestalt (5) konvergent.
Die Darstellung ist nun folgendermaßen angeordnet: In § 2 wirc
Satz 1 auf Satz 2 zurückgeführt, es werden gewisse Hilfssätze zur Trans·
formation auf Normalform angegeben, und es wird schließlich gezeigt
daß das Normalformenproblem für biholomorphe Abbildungen mi1
anziehendem Fixpunkt in unserem Problem enthalten ist. In § 3 wird
der Beweis des Satzes 2 geführt, und zwar um die Durchsichtigkei1
zu erhöhen, in 3 Schritten. In § 4 wird skizziert, wie sich das Normal.
formenproblem von [1], bzw. [7] auf unseres zurückführen läßt.
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§ 2. Der Beweis von Satz 1. Vorbereitungen zum Konvergenz
beweis
Wir nehmen an, Satz 2 sei schon bewiesen. (In seinem Beweis spielt
Satz 1 keine Rolle.) Wir betrachten die Abbildung F in ihrer Normal
form (5) und nehmen ihre Einschränkung auf den linearen Raum Cm
mit den Gleichungen Ym+1 = Ym+2 = ... = Yn = O. Dann ist F / cm
eine biholomorphe Abbildung mit anziehendem Fixpunkt (0 < /pd < 1,
i = 1, ..., m), u. zw. sogar in ihrer Normalform (vgl. [2], [3]). Also
existiert für alle Y E Cm mit max /Yk/ < e mit hinreichend kleinem
k=l, .. , m
e > 0 eine Abschätzung
max /(FvY)k/ < &V+l, =0, 1, ... ,
k=1, ... ,n 0<.& < e « 1). (6)
Gehen wir nun durch das Inverse der Koordinatentransformation T
aus Satz 2 zum Koordinatensystem der x zurück, so ergibt sich das
Urbild der Y E Cm, max /Yk/ < e, als lokale analytische Varietät m der
k=1, .. , m
Dimension m, mit den Gleichungen
+ +
~ bkl Xl Sk (Xl, ... ,Xn) = 0, k = m 1, ... , n,
I
wobei
Yk = ~ bklXI + Sk(Xl, ... ,Xn), k = 1, ... ,n,
die Umkehrung von (4) bezeichne. Vm wird auch durch die Parameter
darstellung :
X = [By + ~ (Yl, ... , Ym)] / Ym+1 = ... = Yn = 0
gegeben. Für die XE Vm gilt also wieder eine Abschätzung der Art (6),
insbesondere
lim Fvx = O.
v-+ co
Um nun den Satz vollständig zu beweisen, müssen wir noch zeigen:
Wie klein wir auch e> 0 wählen, falls X fj: Vm, max /Xk/ < e, so gilt
k=l, .. _, n
nicht
max /(FV X)k/ < e für alle hinreichend großen v [v ;:::: Vo (e)]. (7)
k = 1, •.. , n
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Wir führen den Beweis indirekt, d. h. wir nehmen an, für alle hin
reichend großen v, v ~ Vo (e) gelte
und leiten einen Widerspruch ab. Dazu bemerken wir zunächst, daß wir
diese Annahme auch so fassen dürfen:
max [(FVX)k[ < e für alle v = 0, 1 ... ,
mit XE C Vm, d. h., daß wir x (VO) durch X(O) ersetzen dürfen. Dazu
genügt es wieder, sich klarzumachen, daß x(VO) E C Vm. Im Koordinaten
system der y ist der lineare Raum Ym+1 = ... = Yn = 0 invariant bei F
(und F-l), also auch Vm bei F. Nun sind F-l x(vO), ••• , F-vo x(vO), nach
Annahme alle definiert, also folgte F-vo x(vO) = X(O) E Vm. Widerspruch.
Wir betrachten dazu wieder die Normalform (5). Mit y(V) bezeichnen
wir FVy. Es gilt dann
Yk(v +l) = e k y(kv)- l + Pk y(kv ) + ~ k (y(v») ' (8)
Durch eine geeignete lineare Transformation kann man die ek '# O.
(falls also k nicht die erste Zeile eines Kästchens der Jordanschen Nor
malform bezeichnet) beliebig '# 0 bestimmen, wobei an der Gestalt der
Normalform nichts geändert wird. Wir werden sie zunächst als positive
Zahlen, später als hinreichend klein annehmen. Weiterhin schätzen wir
nach einer Idee von C. L. Siegel den Ausdruck
n _
V (v) = ~ Y1v) Ykv) (9)
k=m+l
nach unten ab. Es gilt
n __ n __ n ___
+ Y1)Y1 + + +
v(v 1) = ~ PkPk v v) ~ e%Y1~lY1~1 ~ S)k(y(v»)~k(Y(v»)
k=m+l k=m+l k=m+l
n _ _ __
+ 1~..; {e k Pk y(kv)- l y(kv ) + ek Pk y(kv)- l y(kv )} +
k=m+l
n ___ _
+ + 1 + + 1
~ {(ekY1~1 PkYV» S)k(y(V» (ekY1~1 PkYv» S)k(yl!1)}·
k=m+l
Über den Anziehungsbereich eines Fixpunktes ... 129
Die ersten drei Summen sind nicht negativ. Wir schätzen sie nach unten
ab. Es sei min Pk Pk = A, also A> 1. Dann gilt für die Summe ~l
k=m+l •...• n
der ersten drei Summen
n _
~l ;:: A 1: Y1v) Y1v) = AV(V).
k=m+l
Es ist außerdem IYk(V11 ~ Vv (v), k = m + 1, ..., n, also
lyjV) Y1V)I ~v(v), für alle j,k=m+1, ... ,n.
Für den Betrag ~2 der vierten Summe folgt
Ich bestimme nun durch eine geeignete lineare Koordinatentransforma
n
tion die ek so klein, daß für Al = 2 ~ ek IPkl gilt: A - Al> 1.
k=m+l
An der Abschätzung für ~l wird dadurch nichts geändert. Nun zum
Betrag ~3 der fünften Summe.
+
Aus ~k (Yl. ... , Ym, 0, ..., 0) = für k = m 1, ..., n folgt, daß
jeder homogene Bestandteil eines ~k durch ein Yi, i > m, teilbar ist.
Da ord 'Vk ;:: 2, so gilt, wenn wir uns nur auf hinreichend kleines ein (7)
beschränken, für alle:
l~k(y(V»)1 ~ A2'(e)Vv(v),
wobei A2' (e) beliebig klein gemacht werden kann. Also folgt für ~3
~3 ~ A2 (e) v (v),
wobei 1.2 so klein gemacht werden kann, daß auch noch [I. = A - Al -
- A2 > 1. Wir erhalten dann aber nach einer einfachen Anwendung
der Dreiecksungleichung.
v(v + 1) ;:: [I.v(v), mit [I. > 1, für alle v = 1, 2... (10)
Ist nun y(O) E C Vm, so folgt v (0) > 0, also wegen
v(v+ 1);:: [I.vv(O):
lim v(v) = 00, (11)
v -+ 00
Sitzungsberichte der muthem.-nuturw. KI.. Abt. H. 170. Bd .• 1.-3. Heft. 9