Two contributions to geometric data analysis: filamentary structures approximations, and stability

121 Pages·2017·18.63 MB·English

by  Ruqi Huang

Two contributions to geometric data analysis:
filamentary structures approximations, and stability
properties of functional approaches for shape
comparison.
Ruqi Huang
To cite this version:
Ruqi Huang. Two contributions to geometric data analysis: filamentary structures approximations,
and stability properties of functional approaches for shape comparison.. Computational Geometry
[cs.CG]. University Paris-Saclay, 2016. English. <tel-01419321v2>
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NNT : 2016SACLS559
Thèse de Doctorat
de
L’Université Paris-Saclay
préparée à
L’Université Paris-Sud
au sein de
Inria Saclay Ile-de-France
ÉCOLE DOCTORALE N°580
Sciences et technologies de l’information et de la communication
Spécialité de doctorat : Informatique
par
M. Ruqi HUANG
Two contributions to geometric data analysis:
filamentary structures approximations,
and stability properties of functional approaches for shape comparison.
Thèse présentée et soutenue à Palaiseau, le 14 décembre 2016
Composition du jury :
M. Tamy BOUBEKEUR Président Télécom ParisTech
M. Pierre ALLIEZ Rapporteur Inria Sophia-Antipolis
Mme Yusu WANG Rapporteur The Ohio State University
M. Xavier GOAOC Examinateur Université Paris-Est Marne-la-Vallée
Mme Pooran MEMARI Examinatrice CNRS
M. Maks OVSJANIKOV Examinateur École Polytechnique
M. Boris THIBERT Examinateur Laboratoire J. Kuntzmann, Grenoble
M. Frédéric CHAZAL Directeur de thèse Inria Saclay Île-de-France

Abstract
Massive amounts of data are being generated, collected and processed all the time. A considerable portion
of them are sampled from objects with geometric structures. Such objects can be tangible and ubiquitous
inourdailylife. Inferringthegeometricinformationfromthedata,however,isnotalwaysanobvioustask.
Moreover,it’snotararecasethattheunderlyingobjectsareabstractandofhighdimension,wherethedata
inferenceismorechallenging.
Thisthesisstudiestwoproblemsongeometricdataanalysis. Thefirstoneconcernsmetricreconstruction
for filamentary structures. We in general consider a filamentary structure as a metric space being close to
an underlying metric graph, which is not necessarily embedded in some Euclidean spaces. Particularly, by
combining the Reeb graph and the mapper algorithm, we propose a variant of the Reeb graph, which not
only faithfully recovers the metric of the filamentary structure but also allows for efficient implementation
andconvenientvisualizationoftheresult.
Thenwefocusontheproblemofshapecomparison. Inthispart,westudythestabilitypropertiesofsome
recent and promising approaches for shape comparison, which are based on the notion of functional maps.
Our results show that these approaches are stable in theory and potential for being used in more general
settingsuchascomparinghigh-dimensionalRiemannianmanifolds.
Lastly,weproposeapipelineforimplementingthefunctional-maps-basedframeworksunderourstability
analysisdirectlyonpointclouddata. Thoughourpipelineisexperimental,itundoubtedlyextendstherange
ofapplicationsoftheseframeworks.

iii
Acknowledgment
First of all, I would like to thank my adviser Frédéric Chazal for offering the opportunity to conduct the
researchpresentedinthisthesis. Withouthispatientguidanceandinsightfulsuggestionsalongtheseyears,
thisthesiswouldnothavebeenpossible. IwouldalsoliketoextendmyappreciationtoJianSunandMaks
Ovsjanikovforthefruitfulcollaborations,whichrespectivelyturnintothetwomajorpartsofthethesis.
IwouldliketothankPierreAlliezandYusuWang,whotookthetimetocarefullyreviewmythesis. And
I would also like to thank Tamy Boubekeur, Xavier Goaoc, Pooran Memari, Maks Ovsjanikov and Boris
Thibert,whoacceptedtobethejuryofthisthesis.
I would like to express my gratitude to my colleagues in the Datashape team for the delightful working
atmosphere. Especially I’d thank our team assistant Christine Biard. Her kind help makes my life as a
non-Frenchspeakermuchmoreeasierthanitcouldhavebeen.
Last but not least, I owe my deepest gratitude to my parents for their consistent encouragement and
supportoverthepast3years.

Contents
1 Résumé 1
2 Introduction 3
2.1 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 ApproximationforFilamentaryStructuresUsingReeb-TypeGraphs 9
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 RelatedWorks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 MetricSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Reeb-typeGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.1 MetricsonReebandα-ReebGraphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 RecoveryofGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 BoundingtheDiameterM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 RecoveryofTopology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.1 ConstructionofOpenCoverforX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6.2 ConstructionofOpenCoverforG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
′
3.7 MetricReconstructionfromDiscreteSampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.1 RegularityConditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7.2 Upper-boundof d d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
G H
| − |
3.7.3 Upper-boundof d d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
| H − X˜,σ|
3.8 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 ExperimentalResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9.1 EarthquakeData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9.2 GPSData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9.3 GPSDatawithCrossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 OnStabilityofShapeDifferenceOperators 49
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 RelatedWork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1 DifferentialGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 TheLaplace-BeltramiOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.3 FunctionalMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.4 MapAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
vi Contents
4.3.5 ShapeDifferenceOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 PerturbationModelandBounded-distortionCondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.1 PerturbationModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.2 Bounded-distortionCondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 StabilityoftheShapeDifferenceOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 StabilityoftheShapeDifferenceOperatorsinaMulti-ScaleFramework . . . . . . . . . . . 66
4.6.1 AnAlternativeCollectionofMulti-scaleSubdomains . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.2 StabilitywithrespecttotheChangesinScale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6.3 StabilityWithRespectToPerturbedInputManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6.4 Approximating V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
C
∥ ∥
4.6.5 AnalysisfortheConformalShapeDifferenceOperator . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 ExperimentalResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7.1 Approximating V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C
∥ ∥
4.7.2 CapturingConformalDifferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7.3 StabilityoftheArea-basedShapeDifferenceOperators . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8 ProofsforTheoremsinSection4.6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 functional-maps-basedFrameworksonPointCloudData 85
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 PipelineforPCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.1 RationaleofOurPipeline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 ExperimentalResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1 FunctionalMapsonPCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2 Selectionofk fork-NN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.3 ReliabilityofPCDSettinginMulti-scaleFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.4 AnalyzingShapeCollections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.5 Non-uniformlySampledData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 LimitationandPerspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.1 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.2 BeyondShapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 ConclusionandPerspectives 101
Bibliography 103
CHAPTER 1
Résumé
Des quantités importantes de données sont générées, collectées et analysées en permanence. Dans de
nombreux cas, ces données sont échantillonnées sur des objets possédant une structure géométrique spé-
cifique. Certains de ces objets sont omniprésents dans notre vie quotidienne. L’inférence de leur structure
géométrique à partir de ces données est une tâche souvent ardue. Cette tâche est d’ailleurs rendue plus
difficilesilesobjetssous-jacentssontabstraitsoudegrandedimension.
Danscettethèse,nousnousintéressonsàdeuxproblèmesliésàl’analysegéométriquededonnées. Dans
un premier temps, nous nous penchons sur l’inférence de métriques pour des structures filamentaires. Les
structures filamentaires apparaissent naturellement dans les données du quotidien telles que les collections
detracesGPScollectéespardesvéhiculessillonnantleréseauroutier,lesdistributionsd’épicentresdetrem-
blementsdeterreseconcentrantlelongdefaillesgéologiquesouencorelesréseauxdevaisseauxsanguins.
Cettelisten’étantpasexhaustive. Dansdenombreusesapplicationspratiques,lesdonnéesapparaissentsous
la forme d’une matrice de distances entre points, ce qui permet de mettre sur les données une métrique
discrète. Parconséquent,ilestintéressantdeconstruireuneinférencedesdonnéesàpartirdedistances.
Engénéral,nousreprésentonsdesstructuresfilamentairespardesespacesmétriquesquenoussupposons
êtreprochesd’ungraphemétrique. LaméthodequenousproposonsestunevariantedesgraphesdeReeb,elle
combine les graphes de Reeb et l’algorithme Mapper. Cette variante permet non seulement d’approcher de
façonjudicieuselamétriqueassociéeauxstructuresfilamentaires,maisellepermetégalementd’implémenter
etdevisualiserlerésultataisément. Enparticulier,nousfournissonsdesgarantiesthéoriquesfortespourcet
algorithme.
Nousnousconcentronsensuitesurleproblèmedelacomparaisondeformes. Nousétudionsunensemble
de méthodes récentes et prometteuses pour la comparaison de formes qui utilisent la notion d’applications
fonctionnelles. Depuis les travaux précurseurs sur les applications fonctionnelles, de nombreux travaux ont
suivi traitant de l’exploration de formes, de la segmentation d’images, de traitement de champs de vecteurs
etc. Cependant, malgré le succès de telles méthodes, beaucoup moins d’attention a été portée à l’étude des
propriétésthéoriquesfondamentalesdecesapprochesfonctionnelles. Nosrésultatsthéoriquesmontrentque
ces approches sont stables et peuvent être utilisées dans un contexte plus général que la comparaison de
formescommeparexemplelacomparaisondevariétésRiemanniennesdegrandedimension.
Enfin,ennousreposantsurnotreanalysethéorique,nousproposonsunegénéralisationdesapplications
fonctionnelles aux données de type nuages de points. Dans le domaine de l’analyse de forme, la représen-
tation des formes 3D par des nuages de points est sans doute la plus fréquente et primitive. Cependant, la
plupart des approches fonctionnelles en traitement de données géométriques utilisent comme données des
formesdiscrétiséespardesmaillagestriangulaires. Nostravauxproduisentdesrésultatsraisonnablesparrap-
port à ceux obtenus avec les maillages, malgré le fait que les nuages de points contiennent une information
géométriqueintrinsèquebeaucouppluspauvrequecellefourniepardesmaillages.