Tutorium Höhere Analysis: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert PDF
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Martin Kreh · René Goertz Florian Modler Tutorium Höhere Analysis Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert Tutorium Höhere Analysis Martin Kreh • René Goertz (cid:129) Florian Modler Tutorium Höhere Analysis Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert Dr.MartinKreh RenéGoertz InstitutfürMathematikund InstitutfürMathematikund AngewandteInformatik AngewandteInformatik UniversitätHildesheim UniversitätHildesheim Hildesheim,Deutschland Hildesheim,Deutschland FlorianModler Hannover,Deutschland ISBN978-3-8274-3003-8 ISBN978-3-8274-3004-5(eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3004-5 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagGmbHDeutschland2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,Mikroverfilmungenunddie EinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlag,noch dieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdes Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungen undGebietsbezeichnungeninveröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. VerantwortlichimVerlag:AndreasRüdinger Einbandabbildung:(c)CarolynHall Zeichnungen:MarcoDaniel,MatthiasLinden,Dr.MartinLay,Dr.MartinKreh GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteinImprintdereingetragenenGesellschaftSpringer-VerlagGmbHDeutschland undistTeilvonSpringerNature DieAnschriftderGesellschaftist:HeidelbergerPlatz3,14197Berlin,Germany Vorwort Einigevoneuchdenkensichvielleichtgerade:„Dasistjetztjanunschondervierte BandvondenbeidenverrücktenStudentenModlerundKreh!“Daraufkönnenwir nur antworten: „Ja, das ist korrekt :-)!“ Und diesmal haben wir uns Verstärkung geholt ;-) Wir freuen uns, dass wir diesen vierten Band noch schreiben durften und dass wir es auch nach all den Jahren endlich geschafft haben. Beachtet auch, dasszuvoreindritterBandmitdemNamenTutoriumAlgebraerschienenist(siehe [MK12]).Unddiesistauchgutso,dennmansollteinseinemMathematikstudium sowohl Analysis 3 als auch Algebra hören. Es gehört zur Grundausstattung jedes Mathematikers. Viele von euch werden vielleicht auch den ersten Band [MK13] bzw. den zweiten Band [MK11] kennen, in denen wir uns mit den Grundlagenvorlesungen zurAnalysisundzurLinearenAlgebrabeschäftigthaben.Füralle,diediesebeiden Bändenichtkennen:WirwerdenzwardesÖfterenaufdieseBändeverweisen,dann aber nicht, weil wir wollen, dass ihr diese Bücher kauft (klar, könnt ihr dies auch machen, wenn sie euch gefallen), sondern vielmehr, weil wir in diesem Buch den Stoff aus den Anfängervorlesungen Analysis 1 und 2 bzw. Lineare Algebra 1 und 2voraussetzenwerden.AnwelcherStelleihrdiesenStoffbraucht,istentsprechend notiert. Notfalls schlagt ihr also einfach in einem Buch über Analysis 1, 2 oder LineareAlgebra1,2nach.DennesgibtnochvieleguteandereBücherdazu. Worumgehteshier? DasBuchistindreiTeilegeteilt: 1.Teil: Maß-undIntegrationstheorie 2.Teil: Mannigfaltigkeiten 3.Teil: Vektoranalysis ImWesentlichengehtesalsoumAnalysis3unddieMannigfaltigkeiten.Wenn ihrnunimdrittenSemesterseid,sostehtihrbaldvorderEntscheidung,inwelche Richtung ihr gehen wollt. Eher in die angewandte Mathematik wie numerische Mathematik,StochastikoderFinanzmathematikodereherindiereineMathematik wie Analysis, Differentialgeometrie, Algebra, partielle Differentialgleichungen, algebraischeGeometrie,ZahlentheorieoderetwasanderesExotisches?Daheristes V VI Vorwort meistensauchso,dassdieProfessorenineinerAnalysis3-Vorlesungdasmachen, wasihnenammeistenSpaßmacht.DadiesbeiunsvorallemdieMannigfaltigkeiten sind, gehen wir in diesem Buch besonders darauf ein. Klassisch dagegen sind die Inhalte der Maß- und Integrationstheorie und die der Vektoranalysis, die wir hier daherauchbehandelnwerden. Des Weiteren versuchen wir, ab und an auch nur einen groben Überblick über bestimmteThemenzugeben,umbeieuchInteressefürdieseGebietezuweckenund euchzuanimieren,mithilfeandererLiteratureinwenigmehrdarüberzuerfahren, denn Studium ist ab sofort (eigentlich schon ab dem ersten Semester) mehr und mehr ein Selbststudium. Ihr bekommt nicht mehr alles vorgeschrieben, sondern müsstselbstsehen,waseuchinteressiert,euchindieentsprechenden Vorlesungen setzenundauchzuHauseselbstständigLiteratursuchenundeinpaarBücherlesen. DasKonzeptbleibtwiederdasbewährte Das Konzept ist genau wie bei den ersten beiden Bänden. Zunächst werden wir in jedem Kapitel die wichtigsten Definitionen und Sätze mit Beweisen geben. Im Anschluss daran findet ihr die Erklärungen zu den Definitionen, Sätzen und Beweisen mit vielen Abbildungen und Beispielen. Einige von euch kennen dieses Konzeptschon,anderelernenesjetzterstneudazu;vielleichtlernensieauch,eszu lieben:-). DerInhalt Wie schon oben angedeutet, haben wir versucht, uns an einer herkömmlichen Analysis 3-Vorlesung zu orientieren. Im ersten Teil wird es um Mengensysteme, Mengenfunktionen, messbare Abbildungen, Konvergenzssätze wie den Satz von Fubini,denTransformationssatzundvorallemumdasLebesgue-Integralgehen.Ihr lerntalsoindiesemTeilnebendemklassischenRiemann-IntegralausderAnalysis 1 ein weiteres Integral kennen. Die Vor- und Nachteile werden wir dort vor allem herausarbeiten. Im zweiten Teil geht es dann um Mannigfaltigkeiten. Wir werden dort die Analysis 2 aus dem Rm versuchen auf allgemeineren Objekten, den Mannigfaltig- keiten,durchzuführenundzuverallgemeinern.Eswirddaherumtopologischeund differenzierbareMannigfaltigkeiten,Untermannigfaltigkeiten,Tangentialräumeund dieIntegrationaufMannigfaltigkeitengehen.HöhepunktwirdderSatzvonStokes sein. Ihr kennt ihn alle aus der Schule noch (um genau zu sein: in der einfachsten Form).Glaubtihrnicht?Na,dannwartetmalab! Der dritte Teil handelt von der Vektoranalysis. Dies wird eher ein kurzer Abschnitt sein, welcher nur aus den beiden Kapiteln der Grundbegriffe der Vek- toranalysisunddenSätzenvonGreen,GaußundStokesbesteht. Danksagungen Zu guter Letzt dürfen in einem Vorwort niemals die Danksagungen fehlen. Denn (dieswarbeimerstenundzweitenBandauchschonso)einBuchentstehtniemals ohnedieHilfevonanderenMenschen.ManbrauchtzunächstKorrekturleser:Dies warenwiedereinmalDr.FlorianLeydecker,DominikBilitewski,JeltoBorgmann, Vorwort VII Henry Wegener, Benjamin Kirwa, Kim Weber, Olga Berlovych, Prof. Dr. Carsten Elsner, Marco Soriano, Daniel Pape, Felix Lubbe und Stefan Hasselmann, die unsaufFehler,BeispieleundUngenauigkeitenaufmerksamgemachthaben,sowie TatjanaStrasser,diedasganzeWerkakribischaufFehlerdurchsuchthat.Dafürsei allenherzlichstgedankt! Weiterbrauchtmanjemanden,derunsbeiallenmöglichenFragenzuLaTeXhilft oderunseinigedieserwundervollenAbbildungenerstellt.DieswareinweiteresMal MarcoDaniel,demwirwiedereinmalherzlichdanken. EinweitererundsehrherzlicherDankgehtanCarolynHall,diewiedereinmal eingrandiosesCovererstellthat.Danke!Leiderpasstdasursprünglichvorgesehene CoverinzwischennichtmehrvollständigzumInhaltdesBuchesundauchnichtzur Covergestaltung der neuen Auflagen unserer anderen Bände. Deswegen findet ihr nunaufdemUmschlagdasvonunserenanderenBändenbekannte(undnichtminder schöne)BildmitderBadewanne.DasursprünglichvorgeseheneCovermöchtenwir euch dennoch nicht vorenthalten, ihr findet es am Ende des Vorwortes. Wenn ihr außerdem auch unser Buch Tutorium Algebra in der ersten Auflage habt, könnte euchbeidenbeidenCovernetwasauffallen.Mehrwirdhierabernichtverraten;) Ein Dank gilt außerdem unseren Familien, Freunden und Freundinnen, die uns immer unterstützt haben und oftmals auf uns verzichten mussten, weil der Erscheinungstermin des Buches dann doch plötzlich immer näher rückte. Danke, ihrseiddieBestenundWertvollsten,diewirhaben!Bleibtso,wieihrseid:-). EinDankgiltweiterhinunserenLehrernKnutSmoczyk,StefanWewers,Helmut Köditz,MarcoSorianoundallen,diewirjetztvergessenhaben. WieimmergehtaucheinbesondererDankanunsereLektorenAndreasRüdinger undAnjaGrothfürdietolleZusammenarbeitbeiallunserenWerken,fürhilfreiche AnmerkungenundinsbesonderebeidiesemBandfürihreGeduldmituns. NunabergenugderReden,genießtdasBuch,undfürFehlerhinweisesindwir, wieimmer,sehrdankbar! HannoverundHildesheim MartinKreh Oktober2017 RenéGoertz FlorianModler VIII Vorwort Inhaltsverzeichnis TeilI Maß-undIntegrationstheorie............................... 1 1 MengensystemeundMengenfunktionen ........................ 3 1.1 Definitionen ........................................... 4 1.2 SätzeundBeweise ...................................... 8 1.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 16 1.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 28 2 MessbareAbbildungen ....................................... 31 2.1 Definitionen ........................................... 31 2.2 SätzeundBeweise ...................................... 32 2.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 36 2.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 40 3 DasLebesgue-Integral ....................................... 43 3.1 Definitionen ........................................... 43 3.2 SätzeundBeweise ...................................... 45 3.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 52 3.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 59 4 IntegralsätzeunddieBerechnungvonLebesgue-Integralen ....... 63 4.1 Definitionen ........................................... 64 4.2 SätzeundBeweise ...................................... 66 4.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 84 4.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 86 TeilII Mannigfaltigkeiten ....................................... 121 5 TopologischeunddifferenzierbareMannigfaltigkeiten............ 123 5.1 Definitionen ........................................... 123 5.2 SätzeundBeweise ...................................... 130 5.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 139 5.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 157 IX X Inhaltsverzeichnis 6 Tangentialräume ............................................ 161 6.1 Definitionen ........................................... 161 6.2 SätzeundBeweise ...................................... 164 6.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 175 6.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 182 7 Untermannigfaltigkeiten...................................... 187 7.1 Definitionen ........................................... 187 7.2 SätzeundBeweise ...................................... 189 7.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 195 7.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 199 8 IntegrationaufMannigfaltigkeiten............................. 203 8.1 Definitionen ........................................... 204 8.2 SätzeundBeweise ...................................... 213 8.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 234 8.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 240 TeilIII Vektoranalysis .......................................... 245 9 GrundbegriffederVektoranalysis ............................. 247 9.1 Definitionen ........................................... 248 9.2 SätzeundBeweise ...................................... 251 9.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 255 9.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 271 10 Gauß,GreenundStokes...................................... 275 10.1 Definitionen ........................................... 275 10.2 SätzeundBeweise ...................................... 276 10.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 279 10.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 280 Symbolverzeichnis ............................................... 287 Literaturverzeichnis ............................................. 289 Sachverzeichnis ................................................. 291
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