Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

325 Pages·2011·2.73 MB·German

by  Florian Modler

Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2
Florian Modler • Martin Kreh
Tutorium Analysis 2 und
Lineare Algebra 2
Mathematik von Studenten für Studenten
erklärt und kommentiert
Autoren
Florian Modler Martin Kreh
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Anja Groth
Redaktion: Bernhard Gerl
Satz: Florian Modler, Martin Kreh, Marco Daniel
Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm
Titelbildmotiv: © Carolyn Hall
Fotos/Zeichnungen: Marco Daniel
ISBN 978-3-8274-2630-7

Vorwort
Endlich ist es soweit, unser zweites Buch ist erschienen, wenn ihr diese Zeilen
lest. Nach dem großen Erfolg mit dem ersten Teil (siehe [MK09]) war es uns
ein Vergnügen, eine Fortsetzung schreiben zu dürfen. Leider hat dies ein we-
nig gedauert, aber das Buch sollte ja auch gründlich verfasst und kontrolliert
werden.
Das Konzept bleibt das bewährte
DasKonzeptistgenauwieimerstenBand.ZunächstwerdenwirinjedemKapi-
tel die wichtigsten Definitionen und Sätze mit Beweisen geben. Im zweiten Teil
findet ihr die Erklärungen zu den Definitionen, Sätzen und Beweisen mit vielen
AbbildungenundBeispielen.VoraussetzungfürdasVerständnissindAnalysis1
undLineareAlgebra1.SolltetihrdaeinwenigNachholbedarfhaben,sokönnen
wir ein gutes Buch empfehlen :-).
Inhalt
Der Inhalt ist klassisch aufgebaut. So hoffen wir jedenfalls, denn bei den Vorle-
sungen Analysis 2 und der Linearen Algebra 2 gibt es größere Unterschiede von
Universität zu Universität. Der wichtigste und größte Themenkomplex in der
Analysis 2 ist jedoch die Analysis mehrerer Veränderlicher, die in den Kapiteln
überstetigeAbbildungen,differenzierbareAbbildungen,Extremwertberechnun-
genundimpliziteFunktionenbehandeltwird.WirstartendabeimiteinemKa-
pitel über metrische und topologische Räume, um ein wenig die Grundlagen zu
legen.AbgerundetwirdderAnalysis-TeildurchjeweilseinKapitelübergewöhn-
liche Differentialgleichungen, Kurven und Untermannigfaltigkeiten. Wir geben
daher also auch einen Ausblick in die (elementare) Differentialgeometrie und in
die höhre Analysis. Solche Ausblicke sind im zweiten Semester wichtig, denn
bald wird es ernst und ihr müsst euch entscheiden, in welche Richtung ihr euer
Studium vertiefen wollt und wo eure Interessen liegen.
Der Lineare-Algebra-Teil sollte euch von den Themen her auch nicht überra-
schen: Wir starten mit euklidischen und unitären Vektorräumen, gehen weiter
zu Bilinearformen und hermiteschen Formen, bis wir bei den Normalformen
und der Jordan-Theorie angelangt sind, was man wohl als Höhepunkt jeder
Linearen-Algebra-2-Vorlesung bezeichnen kann. Um den Weg bis dort hin ein
wenigschmackhafterzugestalten,gebenwirnochKapitelüberzyklischeGrup-
pen,RingeundQuadrikenundeinsüberdieschönenSymmetriegruppen.Abge-
vi
rundet wird der Lineare-Algebra-2-Teil durch das Tensorprodukt, das wir kurz
anreißen werden.
Insgesamt umfasst dieses Buch 15 Kapitel, und wir hoffen, dass wir nichts ver-
gessen haben und ihr damit neben der Vorlesung, dem Vorlesungsskript und
anderen Büchern gut für diese beiden Vorlesungen gewappnet seid. Wir wün-
schen euch jedenfalls ganz viel Erfolg im zweiten (oder höheren) Semester. Bei
Fragen könnt ihr gerne wieder unsere altbekannte Homepage
http://www.mathestudium-tutor.de
besuchen, um eure Fragen im Forum loszuwerden, um Zusatzmaterial zu erhal-
ten oder um uns einfach nur eure Meinung zu schreiben.
Danksagungen
Zu guter Letzt sei den Menschen gedankt, ohne die es dieses Buch gar nicht
geben würde: den Korrekturlesern, den seelischen Unterstützern, den Grafikern
und allen, die zum Entstehen und Erscheinen dieses Buches beigetragen haben.
DahättenwirzumeinendiegroßartigenKorrekturleser,diefastallesnebenStu-
dium und Beruf stehen und liegen gelassen haben, um Fehler auszubessern und
unsaufVerbesserungswürdigeshinzuweisen.Naja,ganzsoextremwaresnicht,
dennoch waren alle sehr bemüht und fix im Lesen, und dies waren: Dr. Flori-
an Leydecker, Dominik Bilitewsk, Stefan Hasselmann, Christoph Fuest, Fabian
Grünig und Susanne Hensel. Außerdem geht ein Dank an Carolin Liebisch und
BernhardGerlfürdieAusbesserungdeseinenoderanderenRechtschreibfehlers!
Carolyn Hall hat wieder ein wundervolles Cover von Florti in der Badewanne
erstellt. Wir danken ihr sehr dafür, denn uns gefällt es ausgesprochen gut!
Undwerhatdiesegenialenundtollenca.70AbbildungenindemBucherstellt?
Natürlich, es war wieder Marco Daniel, dem wir zutiefst danken wollen, denn
so reibungslos und problemlos klappt es mit keinem, außer mit ihm!
Ein weiteres sehr großes Dankeschön geht an unsere Lektoren Anja Groth und
Dr.AndreasRüdinger,ohnedieihrdiesesBuchjetztnichtindenHändenhalten
könntet.Ja,wirwissen,esistderenJob,aberzumJobgehörtesnichtunbedingt,
dassdieAtmosphäreunddieZusammenarbeitsogestaltetwird,dasseseinfach
nur Spaß macht, mit dem Verlag zusammenzuarbeiten.
Ein letzter Dank gilt unseren Familien, Freunden und Freundinnen, die uns
immerunterstützthabenundeinpaarMalaufunsverzichtenmussten,weilder
vii
Termin des Erscheinens und Druckens des Buches dann doch plötzlich immer
näher rückte. Danke, ihr seid die Besten und Wertvollsten!
Nun aber genug der Reden, genießt das Buch, und für Fehlerhinweise sind wir,
wie immer, sehr dankbar!
Hannover und Kopenhagen, November 2010
Florian Modler und Martin Kreh

Inhaltsverzeichnis
1 Metrische und topologische Räume ........................ 1
1.1 Definitionen ................................................. 1
1.2 Sätze und Beweise............................................ 6
1.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 14
1.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 38
2 Stetige Abbildungen ....................................... 43
2.1 Definitionen ................................................. 43
2.2 Sätze und Beweise............................................ 45
2.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 50
2.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 61
3 Differenzierbare Abbildungen .............................. 65
3.1 Definitionen ................................................. 65
3.2 Sätze und Beweise............................................ 67
3.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 70
3.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 82
4 Extremwertberechnungen .................................. 93
4.1 Definitionen ................................................. 93
4.2 Sätze und Beweise............................................ 94
4.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 95
4.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 96
5 Implizite Funktionen....................................... 107
5.1 Sätze und Beweise............................................ 107
5.2 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 111
6 Gewöhnliche Differentialgleichungen ....................... 117
6.1 Definitionen ................................................. 117
6.2 Sätze und Beweise............................................ 119
6.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 124
6.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 127
7 Kurven .................................................... 133
7.1 Definitionen ................................................. 133
7.2 Sätze und Beweise............................................ 136
7.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 141
7.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 152
8 Untermannigfaltigkeiten ................................... 153
8.1 Definitionen ................................................. 154
8.2 Sätze und Beweise............................................ 155
8.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 156
8.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 161