Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

396 Pages·2015·6.9 MB·German

by  Florian Modler

Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2
Florian Modler • Martin Kreh
Tutorium Analysis 2
und Lineare Algebra 2
Mathematik von Studenten für
Studenten erklärt und kommentiert
3. Auflage
FlorianModler MartinKreh
FBPhysik FBPhysik
UniversitätHannover UniversitätHannover
Hannover Hannover
Deutschland Deutschland
Homepage:www.mathestudium-tutor.de
ISBN978-3-642-54712-6 ISBN978-3-642-54713-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-54713-3
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
SpringerSpektrum
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2011,2012,2015
DasWerk einschließlich aller seinerTeile ist urheberrechtlich geschützt. JedeVerwertung, die nicht
ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.
DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungenund
dieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe-
rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann
benutztwerdendürften.
PlanungundLektorat:Dr.AndreasRüdinger,AnjaGroth
Redaktion:TatjanaStrasser
Zeichnungen:MarcoDaniel,MatthiasLinden
Einbandentwurf:deblikBerlin
Einbandabbildung:CarolynHall
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier
SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer
Science+BusinessMedia
www.springer-spektrum.de
Vorwort zur 3. Auflage
Eine neue Auflage beim Springer Spektrum Verlag bedeutet, dass auch wirklich
etwas neu sein soll und nicht, dass nur Fehler verbessert wurden. Daher haben
wirindiesernun3.Aufl. natürlichauchFehlerverbessert, aufdieunsvieleLeser
aufmerksamgemachthaben(wofürwirandieserStellenocheinmalherzlichdanken
möchten),aberaucheinigesNeueshinzugefügt.
(cid:129) SogibteseinganzneuesKap.14überinvarianteUnterräume.
(cid:129) DesWeiterenhabenwirdasKap.15überdieNormalformeneinwenigabgeändert
undergänzt, dawirjetztjadieinvariantenUnterräumealswichtigesWerkzeug
füreinigeBeweise,dieinder2.Aufl.fehlten,zurVerfügunghaben.
(cid:129) AußerdemwurdedasKap.16überdieTensorenerweitertundglattgeschliffen.
NunabergenugderlangenRede.WirwünscheneuchvielSpaßmitder3.Aufl.des
Buches!
Ach,einsnoch:Dankeanalle,dieunsunterstützthaben!
HannoverundHildesheim,April2014 FlorianModler
MartinKreh
V
Vorwort zur 2. Auflage
Einige wundern sich vielleicht, wieso kurz nach dem Erscheinen der 1.Aufl. von
„Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2“ schon die 2. Aufl. erscheint. Dies
wurdeaufgrundderKlärungvonurheberrechtlichenProblemen,aufdieHerrProf.
Forsterhingewiesenhat,erforderlich.
AndieserStellemöchtenwirunsnocheinmalausdrücklichbeiHerrnForsterund
HerrnSzymczakentschuldigenundhoffen,dassnunwiederallesinOrdnungist.
Wirwollennochdaraufhinweisen,dasswirwährendunseresStudiumsundbei
denTutorien,ÜbungenundSeminaren,diewirhaltenundgehaltenhaben,vielLi-
teraturbenutzthaben.NaturgemäßspeistsichunserWissendementsprechendauch
ausdiesenVeranstaltungen.AlldieseLiteraturkönnenwireuchausdrücklichemp-
fehlen,dennnebeneinerVorlesungsolltemannichtnurineinBuchhineinschauen,
sonderninmehrere.ZunennensindimBereichAnalysis2undderLinearenAlgebra
2 vor allem [For11], [FS11], [Bö0], [Heu08], [Kö9], [Tim97], [Wil98], [MW10],
[Fis09],[Beh07],[Beu09b]undvieleweitere,dieihrimLiteraturverzeichnisfindet.
Schauteinfachmalreinundsuchteuchein(odermehr)zusätzlicheBücheraus.
Des Weiteren haben wir diese 2.Aufl. dazu genutzt, um einige wenige Fehler
auszubessern.DadasBuchnochnichtlangeimHandelist,sindwirimmerwiederfür
Verbesserungsvorschläge,konstruktiveKritikundfürHinweisezuFehlerndankbar.
Wer also etwas gefunden hat, der möge sich bitte bei uns, am besten per E-Mail,
melden.
EingroßerDankgehtaußerdemanJeltoBorgmann,derwesentlichzurVerbes-
serungder2.Aufl.beigetragenhat!
NunabergenugdergroßenRede.WirwünscheneuchvielSpaßmitder2.Aufl.
desBuches!
HannoverundGöttingen,Juli2011 FlorianModler
MartinKreh
VII
Vorwort zur 1. Auflage
Endlich ist es soweit, unser zweites Buch ist erschienen, wenn ihr diese Zei-
len lest. Nach dem großen Erfolg mit dem ersten Teil (siehe [MK09]) war es
uns einVergnügen, eine Fortsetzung schreiben zu dürfen. Leider hat dies ein we-
niggedauert,aberdasBuchsolltejaauchgründlichverfasstundkontrolliertwerden.
DasKonzeptbleibtdasbewährte
DasKonzeptistgenauwieimerstenBand.ZunächstwerdenwirinjedemKapitel
die wichtigsten Definitionen und Sätze mit Beweisen geben. Im zweiten Teil
findet ihr die Erklärungen zu den Definitionen, Sätzen und Beweisen mit vielen
AbbildungenundBeispielen.VoraussetzungfürdasVerständnissindAnalysis1und
LineareAlgebra1.SolltetihrdaeinwenigNachholbedarfhaben,sokönnenwirein
gutesBuchempfehlen:-).
Inhalt
DerInhaltistklassischaufgebaut.Sohoffenwirjedenfalls,dennbeidenVorlesungen
Analysis2undderLinearenAlgebra2gibtesgrößereUnterschiedevonUniversi-
tätzuUniversität.DerwichtigsteundgrößteThemenkomplexinderAnalysis2ist
jedoch dieAnalysis mehrererVeränderlicher, die in den Kapiteln über stetigeAb-
bildungen, differenzierbareAbbildungen, Extremwertberechnungen und implizite
Funktionenbehandeltwird.WirstartendabeimiteinemKapitelübermetrischeund
topologischeRäume,umeinwenigdieGrundlagenzulegen.Abgerundetwirdder
Analysis-TeildurchjeweilseinKapitelübergewöhnlicheDifferentialgleichungen,
KurvenundUntermannigfaltigkeiten.WirgebendaheralsoaucheinenAusblickin
die(elementare)DifferentialgeometrieundindiehöhreAnalysis.SolcheAusblicke
sindimzweitenSemesterwichtig,dennbaldwirdesernstundihrmüssteuchent-
scheiden,inwelcheRichtungihreuerStudiumvertiefenwolltundwoeureInteressen
liegen.
Der Lineare-Algebra-Teil sollte euch von den Themen her auch nicht über-
raschen: Wir starten mit euklidischen und unitären Vektorräumen, gehen weiter
zu Bilinearformen und hermiteschen Formen, bis wir bei den Normalformen und
der Jordan-Theorie angelangt sind, was man wohl als Höhepunkt jeder Linearen-
Algebra-2-Vorlesung bezeichnen kann. Um den Weg bis dort hin ein wenig
schmackhafterzugestalten,gebenwirnochKapitelüberzyklischeGruppen,Ringe
IX
X Vorwortzur1.Auflage
undQuadrikenundeinsüberdieschönenSymmetriegruppen.Abgerundetwirdder
Lineare-Algebra-2-TeildurchdasTensorprodukt,daswirkurzanreißenwerden.
InsgesamtumfasstdiesesBuch15Kapitel, undwirhoffen, dasswirnichtsver-
gessenhabenundihrdamitnebenderVorlesung,demVorlesungsskriptundanderen
Büchern gut für diese beiden Vorlesungen gewappnet seid. Wir wünschen euch
jedenfalls ganz viel Erfolg im zweiten (oder höheren) Semester. Bei Fragen könnt
ihr gerne wieder unsere altbekannte Homepage http://www.mathestudium-tutor.de
besuchen, um eure Fragen im Forum loszuwerden, um Zusatzmaterial zu erhalten
oderumunseinfachnureureMeinungzuschreiben.
Danksagungen
ZuguterLetztseidenMenschengedankt,ohnedieesdiesesBuchgarnichtgeben
würde:denKorrekturlesern,denseelischenUnterstützern,denGrafikernundallen,
diezumEntstehenundErscheinendiesesBuchesbeigetragenhaben.
Da hätten wir zum einen die großartigen Korrekturleser, die fast alles neben
StudiumundBerufstehenundliegengelassenhaben,umFehlerauszubessernund
uns aufVerbesserungswürdiges hinzuweisen. Na ja, ganz so extrem war es nicht,
dennoch waren alle sehr bemüht und fix im Lesen, und dies waren: Dr. Florian
Leydecker,DominikBilitewski,StefanHasselmann,ChristophFuest,FabianGrünig
und Susanne Hensel.Außerdem geht ein Dank an Carolin Liebisch und Bernhard
GerlfürdieAusbesserungdeseinenoderanderenRechtschreibfehlers!
Carolyn Hall hat wieder ein wundervolles Cover von Florti in der Badewanne
erstellt.Wirdankenihrsehrdafür,dennunsgefälltesausgesprochengut!
Undwerhatdiesegenialenundtollenca.70AbbildungenindemBucherstellt?
Natürlich, es war wieder Marco Daniel, dem wir zutiefst danken wollen, denn so
reibungslosundproblemlosklapptesmitkeinem,außermitihm!
Ein weiteres sehr großes Dankeschön geht an unsere LektorenAnja Groth und
Dr. Andreas Rüdinger, ohne die ihr dieses Buch jetzt nicht in den Händen halten
könntet. Ja, wir wissen, es ist deren Job, aber zum Job gehört es nicht unbedingt,
dassdieAtmosphäreunddieZusammenarbeitsogestaltetwird,dasseseinfachnur
Spaßmacht,mitdemVerlagzusammenzuarbeiten.
EinletzterDankgiltunserenFamilien,FreundenundFreundinnen,dieunsimmer
unterstützthabenundeinpaarMalaufunsverzichtenmussten,weilderTermindes
Erscheinens und Druckens des Buches dann doch plötzlich immer näher rückte.
Danke,ihrseiddieBestenundWertvollsten!
NunabergenugderReden, genießtdasBuch, undfürFehlerhinweisesindwir,
wieimmer,sehrdankbar!
Wir hatten hierbei nämlich schon zahlreiche Unterstützer, die wir leider nicht
alle namentlich nennen können. Ein Dankeschön gilt nun aber allen, die sich
angesprochenfühlen.
HannoverundKopenhagen,November2010 FlorianModler
MartinKreh
Inhaltsverzeichnis
1 MetrischeundtopologischeRäume ............................. 1
1.1 Definitionen............................................. 1
1.2 SätzeundBeweise ....................................... 8
1.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 15
1.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 43
2 StetigeAbbildungen ........................................... 47
2.1 Definitionen............................................. 47
2.2 SätzeundBeweise ....................................... 50
2.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 54
2.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 68
3 DifferenzierbareAbbildungen .................................. 73
3.1 Definitionen............................................. 73
3.2 SätzeundBeweise ....................................... 76
3.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 80
3.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 93
4 Extremwertberechnungen...................................... 109
4.1 Definitionen............................................. 109
4.2 SätzeundBeweise ....................................... 110
4.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 112
4.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 113
5 ImpliziteFunktionen .......................................... 129
5.1 SätzeundBeweise ....................................... 129
5.2 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 133
6 GewöhnlicheDifferentialgleichungen............................ 143
6.1 Definitionen............................................. 143
6.2 SätzeundBeweise ....................................... 145
6.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 151
6.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 154
XI
XII Inhaltsverzeichnis
7 Kurven ...................................................... 165
7.1 Definitionen............................................. 165
7.2 SätzeundBeweise ....................................... 169
7.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 174
7.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 188
8 Untermannigfaltigkeiten ....................................... 191
8.1 Definitionen............................................. 192
8.2 SätzeundBeweise ....................................... 193
8.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 196
8.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 203
9 EuklidischeundunitäreVektorräume ........................... 213
9.1 Definitionen............................................. 213
9.2 SätzeundBeweise ....................................... 214
9.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 215
9.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 218
10 BilinearformenundhermitescheFormen ........................ 221
10.1 Definitionen............................................. 221
10.2 SätzeundBeweise ....................................... 227
10.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 236
10.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 251
11 GruppenundRingeII ......................................... 273
11.1 Definitionen............................................. 273
11.2 SätzeundBeweise ....................................... 275
11.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 285
11.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 289
12 Symmetriegruppen............................................ 297
12.1 Definitionen............................................. 297
12.2 SätzeundBeweise ....................................... 298
12.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 303
12.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 306
13 SymmetrischeBilinearformenundQuadriken.................... 311
13.1 Definitionen............................................. 311
13.2 SätzeundBeweise ....................................... 313
13.3 ErklärungenzudenDefinitionen............................ 321
13.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen .................... 322
14 InvarianteUnterräume ........................................ 331
14.1 Definitionen............................................. 331
14.2 SätzeundBeweise ....................................... 332