Türev Alma Kuralları

76 Pages·2016·9.82 MB·Turkish

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • • • • • • •
Türev Alma Kurallar•
• • • • • • • • • • • • •
Türevlerin, eğim ve değişim hızı olarak nasıl yorumlanaca bölümde tanımı doğrudan kullanmadan türev bulma yön
ğını gördük. Değer tablolarıyla verilen fonksiyonların tü temleri geliştireceğiz. Bu türev alma kuralları, polinomla-
revlerinin yaklaşık olarak nasıl hesaplanacağını da gör rın, rasyonel fonksiyonların, üstel fonksiyonların, logarit- A.
dük. Grafikleri verilmiş fonksiyonların türevlerinin ma fonksiyonlarının, trigonometrik ve ters trigonometrik
grafiklerinin nasıl çizileceğini öğrendik. Formüllerle veril fonksiyonların türevlerini kolaylıkla hesaplamamıza olanak A.
miş fonksiyonların türevlerini hesaplamak için türevin tanı­ verir. Daha sonra bu kuralları, değişim hızlarını, paramet-
mını kullandık. Fakat her zaman tanımı kullanmak zorun rik eğrilerin teğetlerini ve fonksiyonların yaklaşımlarını içe-
A.
da kalmak hesap yapmayı yavaşlatacağından, bu ren problemleri çözmek için kullanacağız.
Polinomların ve Üstel Fonksiyonların Türevleri • • • •
Bu bölümde, sabit fonksiyonlann, kuvvet fonksiyonlarının, polinomlann ve üste!
y
fonksiyonlarının türevlerini nasıl alacağırnızı öğreneceğiz.
c y=c Tüm fonksiyonların en basiti olan f (x) = c sabit fonksiyonu ile başlayalım. Bu
eğim =O fonksiyonun grafiği, eğimi O olan y = c yatay doğrusudur, bu nedenle f'(x) = O ol
malıdır. (Bkz. Şekil 1.) Türevin tanırnım kullanan kanıt da kolaydır:
o X f'(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim c - c
•-o •-o
h h
ŞEKiL 1
=Jim O= O
f(x) = c nin grafiği y =c Jı~o
doğrusudur. Bu nedenle
f'(x) = O dır. Leibniz gösterimiyle bu kuralı şöyle yazarız:
d
Sabit Fonksiyan Türevi -(c) = O
dx
~ Kuvvet Fonksiyonları
Şimdi de, n pozitif tamsayı olmak üzere f(x) = x" fonksiyanlarına bakalım. n = 1 ise,
)' f (x) = x fonksiyonunun grafiği, eğimi l olan y = x doğrusudur (Bkz. Şekil 2). Bu nedenle
y=x
d
eğim = 1 dx (x) = 1
o
X olur. (Denklem 1 i türevin tammını kullanarak da doğrulayabilirsiniz.) n = 2 ve n= 3
durumlarını zaten inceledik. Gerçekten de, Bölüm 2.8 de (Alıştırma 17 ve 18),
ŞEKIL 2
f(x) = x in grafiği y = x doğrusudur,
bu nedenlef'(x) = 1 dir.
• • • • • • • • • • • • • • • •
189
190 • ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI
olduğunu bulmuştuk. n= 4 içinf(x) = x4 ün türevini
. f(x + h) - f(x) . (x + h)4 - x4
j'(x) = lım = lım h
lı->0 h lı->0
= Jim (4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3) = 4x3
lı----+0
olarak buluruz. Bu nedenle,
olur. (1), (2) ve (3) deki eşitlikleri karşılaştırdığımızda, bir düzenliliğin ortaya
çıktığını görürüz. Burada, n pozitif bir tamsayı iken (d/ dx)(x") = nx"-ı olduğunu tah
min etmek akla yatkın görünmektedir. Bu, gerçekten de doğrudur.
Kuvvet Kuralı n pozitif bir tam sayı olmak üzere,
-d (x") = nx"-ı d'ı r.
dx
Kanıt f(x) = x" ise,
f( + h) f( ) . (x + h)" - x"
f'(x) = Jim x - x = lım-'---'---
,_o
h h->O h
A. Binom teoremi, Boşvuru Sayfası 1 de olur. x4 ün türevini bulurken (x + h)4 ifadesini açmak zorundaydık. Burada (x + h)"
verilmektedir. ifadesini açmarnız gerekmektedir ve bunun için Binom Teoremini kullanırız. Birinci
terim dışında her terimin h çarpanı olduğundan, bu terimler O a gider ve
[ x" + nx"-ıh + n(n; 1) x"-2h2 + · · · + nxh"-1 +h"] - x"
f'(x) = Jim -=----------h--------=---
~ı~o
n(n - 1)
nx"-1h + x"-2h2 + · · · + nxh"-1 + h"
2
= Jim-------------------------------------
h->0 h
= 1im [nx"-1 + n(n- 1) x"-2h + · · · + nxh"-2 + h"-1]
2
h->0
•
elde ederiz.
Örnek l de, Kuvvet Kuralı'nı değişik gösterimlerle açıklamaktayız.
BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI + 191
ÖRNEK 1
(a) f(x) = x6 ise, f'(x) = 6x5• (b) y = x1000 ise, y' = 1000x999.
d
(c) y = t4 ise , ddyt = 4t3 (d) - (r3) = 3r2 •
o dr
Üsleri negatif olan kuvvet fonksiyonlan için ne denebilir? Alıştırma 53 de türevin
tanımını kullanarak
olduğunu göstermenizi istiyoruz. Bu denklemi,
biçiminde de yazabiliriz, dolayısıyla Kuvvet Kuralı n= -1 için de doğrudur. Bir son
raki bölümde (Alıştırma 43) bu kuralın her negatif tamsayı için doğru olduğunu
göstereceğiz.
Üs bir kesirse ne olur? Bölüm 2.8 deki Örnek 4 de
d
-JX=ı
2vfx
dx
olduğunu bulduk. Bu ifade,
biçiminde yazılabilir. Bu da kuvvet Kuralının n = k için de doğru olduğunu gösterir.
Aslında bu kuralın her n gerçel sayısı için doğru olduğunu Bölüm 3.7 de göstereceğiz.
.i. Şekil 3, Örnek 2(b) deki y fonksiyonu Kuvvet Kuralı (Genel Biçim) Her n gerçel sayısı için,
ve onun türevi olan y'nü gösterir. y nin O
da türevlenebilir olmadığına dikkat ediniz !!:__ (x") = nx"-1 dir.
(y' bu noktada tanımlı değildir). y arttığı dx
zaman y'nün pozitif ve yazaldığı zaman
y' nün negatif olduğunu gözlemleyin iz.
ÖRNEK 2 Aşağıdaki türevleri alınız:
2 (a) f(x) = 2ı (b) y = ~
X
ÇÖZÜM İki durumda da, fonksiyonu x in bir üssü olarak yeniden yazanz.
(a)f(x) = x·2 olduğundan, n= -2 için Kuvvet Kuralı'nı uygularız:
d 2
f'(x) =- (x-2) = -2x-z-ı = -2x-3 = --
dx x3
-2
ŞEKiL 3 •
y=if0 (b)
192 • ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI
3 ÖRNEK 3 y = xJX eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini
bulunuz. Eğrinin ve teğetinin grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM f(x) = xJX = xxı12 = x312 fonksiyonunun türevi
f'(x) = ~x(3/2)-ı = ~xı12 = ~JX
y= ı3 x-2ı
olur. Dolayısıyla, (1, 1) deki teğet doğrusunun eğimi f'(l) = ~ dir. Bu nedenle,
teğet doğrusu
y - 1 = ~(x - 1) ya da Y = ı3 x- 2ı
ŞEKiL 4 dir. Şekil 4 de eğri ve teğet doğrusunun grafikleri çizilmiştir.
~ Bilinen Türevierden Yeni Türevler Elde Etmek
Eldeki fonksiyonlardan toplama, çıkarma veya bir sabitle çarpma yoluyla elde edilen
yeni fonksiyonların türevleri, eldeki fonksiyonların türevleri cinsinden hesaplanabilir.
Aşağıdaki formül, bir fonksiyonun sabitl e çarpılmasıyla elde edilen yeni fonksiyonun
türevinin, ilk fonksiyonun türevinin bu sabitle çarpılması ile elde edildiğini söyle
mektedir.
Sabit le Çarptm Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa,
d d
dx [cf(x)] = c dx f(x) dir.
.6. Sabitle Çarpım Kuralı'nın
Geometrik Yorumu
y
Kanıt Kanıt g(x) = cf(x) olsun. O zaman,
~ y=2f(x)
g'(x) = lim g(x + h) - g(x) = lim cf(x + h) - cf(x)
•-o •-o
~ y=f(x) h h
J
= Jim c[ f(x + h) - f(x)
0 X •-o h
c = 2 ile çarpmak grafiği dikey olarak = c lim f(x + h) - f(x)
•-o (Limitlerin Kural 3'ü nedeniyle)
2 kat gerer. Tüm yükseklikler 2 katına h
çıkar, ancak genişlikler değişmez. Dola
yısı ile eğimler de iki katına çıkar. = cf'(x)
ÖRNEK 4
d d
(a) - (3x4) = 3-(x4) = 3(4x3) = 12x3
dx dx
d d d
(b) dx (-x) = dx [(-l)x] = (-1) dx (x) = -1(1) = -1 •
Bir sonraki kural, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin
toplamına eşit olduğunu söylemektedir.
.6. Üs gösterimi kullanarak toplam kuralını Toplam Kuralı f ve g türevlenebilir ise,
(J + g)' = f' + g' biçiminde yazabii i riz.
d d d
dx [!(x) + g(x)] = dx f(x) + dx g(x) dir.
BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEl FONKSIYONlARlN TÜREVLERI • 193
Kanıt F(x) = f(x) + g(x) olsun. Bu durumda
F'(x) = lim F(x + h) - F(x)
lı--->0 h
= lim [f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]
h
lı--->0
J
= lim [ f(x + h) - f(x) + .:::.g_:_(x_+_h):......-----"g-'-(x.:_)
lı--->0 h h
= lim f(x + h) - f(x) + lim .:::.g_:_(x_+_h.:..._) _-__,g'--'-(x--'-)
(Kural 1 den)
h--->0 h h--->0 h
= f'(x) + g'(x)
•
olur.
.. Toplam Kuralı, herhangi bir sayıdaki fonksiyonun toplamına genelleştirilebilir.
Omeğin, bu teorerni iki kez kullanarak,
(f + g + h)' = [{f + g) + h]' = (f + g)' + h' = f' + g' + h'
elde ederiz.
f- g fonksiyonunu f + (- l)g biçiminde yazarak ve Toplam ve Sabitle Çarpım
Kurallarını uygulayarak, aşağıdaki formülü elde ederiz.
Fark Kuralı fve g türevlenebilir ise,
d d d
dx [f(x) - g(x)] = dx f(x) - dx g(x) dir.
Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, herhangi bir polinomu n türevini almak için, bu
üç kural Kuvvet Kuralı ile birleştirilebilir.
ÖRNEK S
d
Bunun gibi daha çok problem - (x8 + 12x5 - 4x4 + 10x3 - 6x + 5)
dx
çözmeyi deneyiniz.
Resources 1M odule 4
1P olynomial Models = !!__ (x8) + 12 !!__ (x5) - 4 !!__ (x4) + 10 !!__ (x3) - 6 !!__ (x) + !!__ (5)
1B asic Diflerentiation Rules dx dx dx dx dx dx
and Ouiz
= 8x7 + 12(5x4)- 4(4x3) + 10(3x2) - 6(1) +O
•
ÖRNEK 6 y = x4 - 6x2 + 4 eğrisi üzerindeki, teğet doğrusunun yatay olduğu nokta
ları bulunuz.
ÇÖZÜM Yatay teğetler, türevin sıfır olduğu noktalardaki teğetlerdir. Öncelikle,
dy = !!__ (x4) - 6 !!__ (x2) + !!__ (4)
dx dx dx dx
= 4x3 - 12x + O = 4x(x2 - 3)
194 • ÜNiTE 3 TÜREVALMA KURALLARI
elde edeiz. Dolayısıyla, x =O ve x2 - 3 = O denkleminin kökleri olan x = ±..[3
için dy/dx =O olur. Bu nedenle, verilen eğri x =O, .j3 ve -.j3 için yatay teğetlere
sahiptir. Bu değerlere karşılık gelen noktalar (0, 4), (.j3, -5) ve ( - ..[3, -5) dir.
(Bkz. Şekil 5)
$EKIL S
y=x'-6x2+4
eğrisi ve yatay teğetleri
ÖRNEK 7 Bir parçacığın hareketinin denklemi, s santimetre vet saniye cinsinden
olmak üzere, s = 2t3 - 5t2 + 3t + 4 olarak verilmiştir. İvıneyi zamana bağlı bir
fonksiyon olarak bulunuz. 2 saniye sonraki ivme nedir?
ÇÖZÜM Hız ve ivme
ds
v(t) = - = 6t2 - lOt + 3
dt
dv
a(t) = - = 12t - ıo
dt
dur. 2 saniye sonraki ivme a(2) = 14 cm/snı dir.
~ Üstel Fonksiyonlar
Türevin tanımını kullanarak, f(x) = ax üstel fonksiyonunun türevini
hesaplamaya çalışalım:
, . f(x + h) - f(x) . ax+Jı - ax
f (x) = lım = lım----
~ı-o h 1ı-o h
ax çarpanı h ye bağlı değildir, dolayısıyla limitin dışına alınabilir:
a"- ı
f'(x) = ax !im---
Jı-o h
Bu limitf nin türevinin O daki değeridir, bir başka deyişle,
a"- ı
Jim = f'(O)
1ı-o h
Dolayısıyla, şunu göstermiş olduk; eğer f(x) = ax üste! fonksiyonu O da
türevlenebilirse, her yerde türevlenebilirdir ve
f'(x) = f'(O)ax
BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI + 195
olur. Bu eşitlik, her üste/fonksiyonun değişim hızının,fonksiyonun kendisiyle doğru
orantılı olduğunu söyler. (Eğim yükseldikle doğru orantılıdır. Soldaki tabloda, a = 2
ve a = 3 durumlarında, f'(O) türevinin varlığına ilişkin sayısal bulgular verilmekte
h -2"---ı -3"-- -ı dir. (Değerler, virgülden sonraki dördüncü hasarnağa kadar doğru olacak biçimde
h h verilmiştir. a = 2 için, Bölüm 2.7 deki Örnek 3 e bakınız.) Limit var gibi görünmek
tedir ve
0,1 0,7177 1,1612
0,01 0,6956 1,1047
0,001 0,6934 1,0992 2"- ı
0,0001 0,6932 1,0987 a = 2 için f'(O) = lim -- = 0,69
1ı~o h
3/ı - ı
a = 2 için, f'(O) = lim - - = 1,.10
lı->0 h
elde ederiz.Aslında, bu limitlerin varlığı gösterilebilir ve değerleri virgülden sonra altı
basamak doğrulukla,
~ ~ ı,0986ı2
lx-O= lx-O=
(2x) 0,693147 (3")
dir. Bu nedenle, Denklem 4 den
~ (2x) = (0,69)2' ~ (3") = (l,lü)Y
.6. Alışiırma 1 de, e nin 2,7 ile 2,8
arasında oldu(lunu görece(Jiz daha
sonra, virgülden sonra beşinci basama(Ja Denklem 4 deki olası a seçimleri içinde, en basit türev alma formülü f'(O) = 1
kadar do(Jru olacak şekilde e= 2,71828 durumunda elde edilir. a = 2 ve a = 3 için f'(O) yaklaşık değerlerini düşünürsek, 2 ile
oldu(lunu görece(Jiz.
3 arasında f'(O) = 1 olmasını sağlayan bir a sayısı olması akla yatkın görünmektedir.
Geleneksel olarak, bu sayıyı e ile gösteri riz. (Aslında, Bölüm ı .5 de, e sayısını böyle
tanımlamıştık.) Dolayısıyla, aşağıdaki tanımı verebiliriz.
e Sayısının Tanımı
elı-
e, Jim = ı koşulunu sağlayan sayıdır.
lı->0 h
Geometrik olarak bu, y = ax üste! fonksiyonları içinde, sadece f(x) = e" fonksiyo
nunun (0, 1) noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin ı olduğu anlamına gelir.
(Bkz. Şekil 6 ve 7 .)
y
/eğim =
e'
(x,e')
eğim= 1
X X
ŞEKiL 6 ŞEKiL 7
196 • ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI
Denklem 4 de, a =e ve dolayısıyla f'(O) = 1 koyarsak, aşağıdaki önemli türevalma
formülünü elde ederiz.
Doğal Üste! Fonksiyonun Türevi
1
d
-(e-')= ex
d.x
Bu nedenle, J(x) = ex fonksiyonu, kendisinin türevi olma özelliğini taşır. Bunun
geometrik anlamı, y = ex eğrisinin bir noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin, o
noktanın y koordinatına eşit olmasıdır.
ÖRNEK 8 f(x) = ex - x, ise f' ve f" fonksiyonlarını bulunuz.
ÇÖZÜM Fark Kuralını kullanarak,
d d d
f'(x) = -(e-' - x) = -k') - - (x) = e-' - 1
3
d.x d.x d.x
elde ederiz. Bölüm 2.8 de ikinci türevi, f' nün türevi olarak tanımladık. Bu nedenle,
d d d
f"(x) =-(ex - 1) = - (ex) - - (1) = e-'
dx dx d.x
-2 2
'---~----''o- ---~-___./
elde ederiz. e' fonksiyonunun her x için pozitif olduğunu biliyoruz, bu nedenle her x
$EKiL 8 için f"(x) > O olur. Bu nedenle,fnin grafiği ( -oo, oo) aralığında dışbükeydir. Örnek
8 bunu doğrulamaktadır.
ÖRNEK 9 y = ex eğrisinin hangi noktasındaki teğet doğrusu y = 2x doğrusuna para
leldir?
ÇÖZÜM y = ex olduğundan, y' = ex dir. Sorudaki noktanm X koordinatı a olsun. Bu
noktadaki teğet doğrusunun eğimi ea olur. Teğet doğrusu, eğimi, y = 2x doğrusunun
eğimiyle aynı, bir başka deyişle 2 olduğunda, bu doğruya paralel olacaktır. Eğimleri
eşitlersek,
X a =In 2
$EKIL 9 elde ederiz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, e•) = (In 2, 2) dir. (Bkz. Şekil 9)
~~ Alıştırmalar
·
1. ( a) e sayısı nasıl tanımlanır? 2. (a) f(x) = e·' fonksiyonunun grafiğini, grafiğin y eksenini
(b) 2 7" - ı 2 8"- ı nasıl kestiğine özellikle dikkat ederek elle çiziniz. Hangi
~lıi~mo --'-h '-- ve "l~imo '--h - bilgileri kullandınız?
(b) f(x) = e.x ve g(x) = x' ne tip fonksiyonlardu? fve g(x)
limitlerinin değerlerini, hesap makinesi kullanarak, için kullandığırnız türev alma formüllerini karşılaştınnız.
virgülden sonra ikinci hasarnağa kadar doğru olacak şe­
kilde yaklaşık olarak hesaplayınız. e nin değeri hakkında (c) x büyüdüğünde, (b) deki iki fonksiyondan hangisi daha
ne gibi bir sonuca varabilirsiniz? hızlı büyür?
BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 197
3-22 • Fonksiyonun türevini alıruz. (b) (a) şıkkındaki grafikten eğimi yaklaşık olarak bularak, f' nün
grafiğini kabaca elle çiziniz. (Bkz. örnek 1, Bölüm 2.8.)
3. f(x) = 5x - ı 4. F(x) = -4x 10
(c) f'(x) i hesaplayınız ve bu ifadeyi kullanarak bir grafik
S. f(x) = 9x4 - 3x2 + 8 çizim aygıtıyla f' nün grafiğini çiziniz. (b) şıkkındaki
6. g(x) = 5x8 - 2x5 + 6 çiziminizle karşılaştınnız.
7. y = x-2/5 8. y =sex+ 3 ~ 36. (a) Grafık çizebilen bir hesap makinesi veya bilgisayar kul
9. G(x) = .jX - 2ex ı o. R(ı) = sJı-W315 l[a-1na, r4a] kx, g[-(8x,) 8=] geöxrü -nti3llxem2 efo dnikksdiöyrotgneunninudne gçriazfdiiğriinniiz .
11 . V(r) = ~ ?Tr3 12. R(x) = - x 7- (b) (a ) şıkkındaki grafikten eğinıi yaklaşık olarak bularak, f'
nün grafiğini kabaca elle çiziniz. (Bkz. Örnek 1, Bölüm 2.8.)
13. F(x) = (16x)3 14. y = ..[X(x- 1) (c) g'(x) i hesaplayınız ve bu ifadeyi kullanarak bir grafık
ıs. y = 47T2 16. H(s) = (s/2)5 çizim aygıtıyla g' nün grafiğini çiziniz. (b) şıkkındaki
x2 + 4x + 3 x2 - 2..[X çiziminizle karşılaştırınız.
17. y = .jX 18. y = ----'--
X
37-38 • Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulunuz.
19 •V = ı2 - -wı- 20. y = ae' + -bV + -Vc 2 37. f(x) = x4 - 3x3 + 16x
21. z =wyA + Be1 22. u = 02 + 2 Jı3 38. G(r) = jr + .if;
~ 39-40 • Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulunuz.f, f'
~ 23-28 • f'(x) fonksiyonunu bulunuz.fve f' fonksiyonlannın
grafiklerini karşılaştırınız ve yanıtınızın akla yatkınlığını kontrol ve f" nün grafiklerini karşılaştırarak, yanıtlannızın doğruluğunu
kontrol ediniz.
etmek için bu grafıkleri kullanınız.
23. f(x) = 2x2 - x4 39. f(x) = 2x - 5x314
24. f(x) = 3x5 - 20x3 + 50x 40. f(x) = ex - x3
25. f(x) = 3x15 - 5x3 + 3 26. f(x) = x + -ı
X
27. f(x) = x - 3x 113 28. f(x) = x2 + 2ex 41. Bir parçacığın hareket denklemi, s metre ve ı saniye cinsin
den olmak üzere, s = ı3 - 3ı olarak verilmektedir.
(a) Hız ve ivmeyi ı ye bağlı fonksiyonlar olarak,
~ 29. (a) f(x) = x215 fonksiyonunun grafiğine odaklanarak f'(2) (b) 2 sn sonraki ivmeyi ve
değerini yaklaşık olarak bulunuz. (c) hız O iken İvıneyi bulunuz.
(b) !'(2) nin gerçek değerini bulınak için Kuvvet Kuralını kul
42. Bir parçacığın hareket denklemi, s metre ve t saniye cinsin
lanıruz ve (a) şıkkında bulduğunuz değerle karşılaştırıruz.
den olmak üzere, s = 2ı3 - 7t2 + 4t + 1 olarak verilmek
~ 30. (a) f(x) = x2 - 2ex fonksiyonunun grafiğine odaklanarak tedir.
f'(l) değerini yaklaşık olarak bulunuz. (a) Hız ve ivmeyi ı ye bağlı fonksiyonlar olarak bulunuz.
(b) f'(l) nin gerçek değerini bulunuz ve (a) şıkkında buldu (b) 1 sn sonraki ivmeyi bulunuz.
ğunuz değerle karşılaştırınız. ~ (c) Konum, hız ve ivme fonksiyonJannı aynı ekranda
çizdiriniz.
~ 31-34 • Eğrinin verilen noktadaki teğet doğrusunun denklerni
ni bulunuz. Eğri yi ve teğet doğrusunu aynı ekranda çizdirerek 43. f(x) = 1 + 2ex - 3x fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
açıklayınız.
4 44. f(x) = x3 - 4x2 + 5x fonksiyonu hangi aralıkta dışbükey­
31. y = x + -, (2, 4) 32. y = x512, (4, 32) dir?
X
33. y =X + ..[X, (1, 2) 34. y = x2 + 2eX, (O, 2) 45. y = x3 - x2 - x + 1 eğrisi üzerinde teğetin yatay olduğu
noktalan bulunuz.
~ 35. (a) Grafık çizebilen bir hesap makinesi veya bilgisayar kul 46. Hangi x değerleri için f(x) = 2x3 - 3x2 - 6x + 87 fonk
lanarak f(x) = x4 - 3x3 - 6x2 + ?x + 30 fonksiyo siyonunun grafiğinin yatay teğeti vardır?
nunun grafiğini [-3, 5] x [-10, 50] lik görüntüleme 47. y = 6x3 + Sx - 3 eğrisinin, eğimi 4 olan bir teğet doğrusu
diktörtgeninde çizdiriniz. olmadığım gösteriniz.