Trigonometrische Form einer komplexen Zahl PDF
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Trigonometrische Form einer komplexen Zahl 1-E Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Trigonometrische Form einer komplexen Zahl Abb. 1-1: Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Zeiger in der Gaußschen Ebene Wie man an der graphischen Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Zeiger sieht, kann man eine komplexe Zahl eindeutig durch die x- und y-Werte, sowohl durch die Länge r = | z | ihres Zeigers und ihren Winkel φ zur x-Achse 1-1 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Trigonometrische Form einer komplexen Zahl Die Länge des Zeigers r, die dem Betrag einer komplexen Zahl entspricht, ist nach Pythagoros √ 2 2 r =∣ z ∣= x + y x- und y-Werte kann man als Katheten eines rechtwinkligen Dreieck durch durch r und φ beschreiben: x = r cosφ , y = r sin φ Diese Gleichungen nennt man Transformationsgleichungen. Die Darstellung einer komplexen Zahl durch r und φ : z = x + i y = r cos φ + i r sin φ = r (cos φ + i sin φ) nennt man trigonometrische Form einer komplexen Zahl. Die Länge r und den Winkel φ nennt man Polarkoordinaten. Kartesische (algebraische) Form: z = x i y Trigonometrische Form: z = r (cos φ + i sin φ) 1-2 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Trigonometrische Form einer komplexen Zahl Abb. 1-2: Trigonometrische Form einer komplexen Zahl 1-3 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Trigonometrische Form einer komplexen Zahl: Zusammenfassung z = r (cos φ + i sin φ) , r , φ – Polarkoordinaten √ 2 2 r – Betrag von z: r = ∣ z ∣ = x + y , r ⩾ 0 φ – Argument von z: φ = arg z , 0 ⩽ φ ⩽ 2 π – Hauptwert Das Argument einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig bestimmt: φ = φ + 2 k π k Die Winkelrichtung entspricht dem mathematisch positiven Drehsinn, d.h. von der Re (z)-Achse zur Im (z)-Achse gegen den Uhrzeigersinn. z = r (cos φ + i sin φ) = r (cos(φ + 2 π) + i sin (φ + 2 π)) Die Addition von 2π oder einem ganzzahligen Vielfachen, 2kπ, zum Winkel φ entspricht einer vollständigen Drehung oder k Drehungen des komplexen Zeigers. Das Ergebnis ist wieder die gleiche komple- xe Zahl. cos (φ + 2 π) = cos φ , sin (φ + 2 π) = sin φ 1-4 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Punkte mit Kosinus- und Sinuswerten auf dem Einheitskreis (Wikipedia) 1-5 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya TTrriiggoonnoommeettrriisscchhee FFoorrmm:: AAuuffggaabbee 11 Stellen Sie die in der trigonometrischen Form vorliegenden genden komplexen Zahlen durch den Zeiger in der Gauß- schen Zahlenebene dar. Geben Sie die kartesische Form die- ser Zahlen an: a ) z = 3 cos i sin 1 6 6 z = 2 cos i sin 2 3 3 b ) z = cos i sin , 3 z = 2 cos − i sin − 4 2 2 c ) z = 2 3 cos − i sin − 5 6 6 6 z = cos − i sin − 6 2 4 4 2-A1 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya TTrriiggoonnoommeettrriisscchhee FFoorrmm:: AAuuffggaabbee 11 3 2 d ) z : r = 2, = , z : r = 3, = 7 4 8 3 3 13 e ) z : r = , = − , z : r = 3 , = − 9 2 6 10 3 ° ° f ) z : r = 3, = 60 , z : r = 2, = 210 11 12 ° ° g ) z : r = 2, = 18 , z : r = 2, = −36 13 14 h ) z : r = 2, = 162° , z : r = 3 , = 200° 15 16 2-A2 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya TTrriiggoonnoommeettrriisscchhee FFoorrmm:: LLöössuunngg 11aa Abb. L1a: Komplexe Zahlen in der Gaußschen Ebene ( √3 i ) 3 √3 3 3 π π z = 3 (cos + i sin ) = 3 + = + i = (√3 + i) 1 6 6 2 2 2 2 2 1 3 z = 2 cos i sin = 2 i = 1 3 i 2 3 3 2 2 2-2 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya TTrriiggoonnoommeettrriisscchhee FFoorrmm:: LLöössuunngg 11bb Abb. L1b: Komplexe Zahlen in der Gaußschen Ebene z = cos i sin = −1, z = 2 cos − i sin − = −2 i 3 4 2 2 2-3 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
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