Treillis distributifs, algèbres de Heyting, algèbres de Boole 1 / J.

14 Pages·2006·1.97 MB·French

by  Félix Williamson

Déf n :
Un ordre est dit total s’il est un ordre partiel satisfaisant une relation d’ordre R telle que
pour(cid:1)x et(cid:1)yon a xRy ou yRx.

Théorème :
(cid:1)est un ordre total.

Ayant déjà montré que (cid:2) est un ordre partiel, il faut démontrer la propriété suivante :
Pour (cid:1)x et (cid:1)y, x (cid:2)y ou y (cid:2)x.
On veut montrer que x (cid:3) y = x ou y (cid:3) x = y pour (cid:1)x et (cid:1)y.
En 4 cas,

1) Soit x = 0 et y = 0 , x (cid:1) y = 0 (cid:1) 0 = 0 = x =y.

2) Soit x = 0 et y =1 , x (cid:1) y = 0 (cid:1) 1= 0 = x.

3) Soit x =1 et y = 0 , y (cid:1) x = 0 (cid:1) 1= 0 =y.

4) Soit x =1 et y =1 , x (cid:1) y =1 (cid:1) 1=1= x =y.
(cid:1)

Ex : Un ensemble P(X) et la relation d’inclusion (cid:1) forment un ordre partiel, mais non
total.
SoitA, B et C (cid:1)P(X), on a :

1) A(cid:1)A

2) Si A(cid:1)B et B (cid:1)C, alors A(cid:1)C.

3) Si A(cid:1)B et B (cid:1)A, alors A = B.

Par contre, il est contingent que soit A(cid:1)B ou B (cid:1)A . Par exemple, ces deux

sous-ensembles peuvent être disjoints.

Ex : *et l’opérateur | (divise) forment un ordre partiel.
N
Soit x, y et z (cid:1) N*, on a
1) x | x
2) Si x | y et y | z, alors x | z.
3) Si x | y et y | x, alors x = y.
Par contre, il est contingent que soit x | y ou y | x. Par exemple, x et y peuvent
être deux nombre premiers.

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Déf ns :
Soit A un ensemble partiellement ordonné et un ensemble S (cid:1) A.

Un majorant de S est un a (cid:1)A tel que s (cid:1)a pour (cid:1)s (cid:2)S .
Un minorant de S est un b (cid:1)A tel que s (cid:1)bpour (cid:1)s (cid:2) S .
Un suprémum est le plus petit majorant.
Un infimum est le plus grand minorant.

Formellement :
Soit A,(cid:1) un ensemble partiellement ordonné et un sous-ensemble arbitraire S. Nous
(cid:1)
dirons qu’un élémenta(cid:1)Aest un suprémum de S , i.e. a= S si :

i) s (cid:2)a, (cid:1)s(cid:3) S.
ii) Si s (cid:2)b pour (cid:1)s(cid:3) S, alors a(cid:2)b.

(cid:1)
Si S ={s, t}, {s,t}= s(cid:1)t.
(cid:3)
Si S =(cid:1), (cid:2) est le plus petit élément de A, i.e. 0 ((cid:1)).

Soit A =P(X) où X est un ensemble arbitraire et P(X), (cid:1) un ensemble partiellement
ordonné. Si une famille de sous-ensembles S est telle que S(cid:1)P(X), alors :
(cid:3)
S = {x(cid:2)X :(cid:1)Y (cid:2) S, x (cid:2) Y}
défn

De façon duale :
Soit A un ensemble partiellement ordonné et S(cid:1)A. Nous dirons qu’un élément a(cid:1)A est
(cid:1)
un infimum de S, a = S, si :

i) a (cid:2) s pour (cid:1)s(cid:3)S.
ii) Si b(cid:2) s pour (cid:1)s(cid:3)S, b(cid:2)a.

(cid:1)
Si S ={s, t}, {s, t}= s(cid:1)t.
(cid:2)
Si S =(cid:1), (cid:1) est le plus grand élément de A,i.e. 1 ((cid:1)).

(cid:3)
SiA= P(X), (cid:1) et S(cid:1) P(X), alors S = {x(cid:2)X :(cid:1)Y (cid:2) S , x (cid:2) Y}
défn

(cid:1) (cid:1)
NB : Si Sexiste, il est unique; de même si S existe, il est unique. (anti-symétrie)

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Ex :
Soit un ensemble A :{0, 1, 2, 3, 4} et un
sous-ensemble S:{1, 3} ordonnés comme à
la figure ci-contre.
{3, 4} constituent les majorants de S.
{3} est le suprémum de S.
{0,1} constituent les minorants de S.
{1} est l’infimum de S.

Cet ensemble A est partiellement ordonné :

-Chaque élément est (cid:1)à lui-même. (réflexivité)
-On a également la transitivité (si 0(cid:1)1 et 1(cid:1)2, alors 0(cid:1)2 par exemple).
-Anti-symétrie : si 0(cid:1)1 et 1(cid:1)0, alors 0 = 1.
-Mais par contre, on ne peut satisfaire la propriété d’ordre total, par exemple il est faux
que soit 2(cid:1)3 ou 3(cid:1)2, car ces deux éléments sont incomparables.

Déf n :
Un demi-treillis est un ensemble partiellement ordonné A dont chaque sous-ensemble
possède un suprémum ou un infimum dans A.

Algébriquement,
Un demi-treillis est un ensemble A muni d’un certain opérateur (cid:1) et d’un certain élément
neutre N tels que :
Soit a,b et c (cid:1)A

1) a (cid:1)(b(cid:1)c)=(a (cid:1)b)(cid:1)c (Associativité)

2) a (cid:1)(cid:1) = a (Élément neutre)

3) a (cid:1)b =b(cid:1)a (Commutativité)
4) a (cid:1)a =a (Idempotence)

Défn :
(cid:1)
Soit A,(cid:1) un ensemble partiellement ordonné tel que (cid:1)S(cid:2) A et S existe. On appelle
un tel ensemble un treillis complet.

(cid:1) (cid:1)
Dans un treillis complet, si Sexiste, alors S existe aussi. Définissons :

B={a(cid:3)A:a(cid:2) s, (cid:1)s(cid:3)S}

(cid:4) (cid:5)
S = B

NB : Si on prend A,(cid:1) un ensemble partiellement ordonné tel que pour (cid:1)S(cid:2) A fini et
(cid:1) (cid:1)
que S existe, il ne s’ensuit pas nécessairement que S existe.

Exercice : Montrer que dans ce cas, on a un problème de définition de l’inf par le sup.
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Défn :
Un treillis est un ensemble partiellement ordonné A,(cid:1) dans lequel tout sous-ensemble
fini S (cid:1) A a un sup et un inf dans A. Donc 0,1,(cid:2) et (cid:1)existent.

Du point de vue algébrique nous avons A,(cid:1),(cid:2),0,1 qui satisfait un certain nombre
d’équations :
1. a(cid:1)b =b(cid:1)a et a(cid:2)b =b(cid:2)a. (commutativité)

2. ( a(cid:1)b)(cid:1)c= a(cid:1)(b(cid:1)c) et (a(cid:2)b)(cid:2)c= a(cid:2)(b(cid:2)c). (associativité)

3. a(cid:1)a= a et a(cid:2)a= a. (idempotence)

4. a(cid:1)1= a , a(cid:2)1=1 et a(cid:1)0= 0 , a(cid:2)0= a .

5. a(cid:1)(a(cid:2)b)= a et a(cid:2)(a(cid:1)b)= a. (absorption)

Ex :
Soit une structure A,(cid:1),(cid:2),0,1 telle que (cid:4): (cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:2) (cid:1) et (cid:5): (cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:2) (cid:1) qui vérifie les
équations 1 à 5. Montrer qu’il y a un unique ordre partiel définissable sur A tel
que A,(cid:1) est un treillis et que les opérations (cid:1),(cid:2),0,1 données algébriquement sont les
opérations du treillis.

Soit a,b et c (cid:3) A.
a(cid:2)b ssi a(cid:4)b= a ou encore a(cid:2)b ssi a(cid:5)b=b.
Nous sommes en présence d'un ordre partiel :
Pour (cid:1)a,on a a(cid:2)a, i.e. a(cid:4)a= a. (Réflexivité)
Pour (cid:1)a , (cid:1)b et (cid:1)c,si on a a(cid:2)b et b(cid:2)c, alors a(cid:2)c.
i.e. si a(cid:4)b= a et b(cid:4)c=b ,alors a(cid:4)c= a. (Transitivité)
Pour (cid:1)a et (cid:1)b, si a(cid:2)b et b(cid:2)a, alors a=b.
i.e. si a(cid:4)b= a et b(cid:4)a=b ,alors a=b. (Anti-symétrie)
(les mêmes propriétés se démontrent en définissant l'ordre par a(cid:2)b ssi a(cid:5)b= b)

Redéfinissons l'infimum et le suprémum:
Soit a,b et c(cid:3)A.
(cid:5)
a= A si :
i) b(cid:2)a, (cid:1)b(cid:3) A, i.e. b(cid:5)a= a pour (cid:1)b(cid:3) A.
ii) Si b(cid:2)c pour (cid:1)b(cid:3) A, alors a= c, i.e. si b(cid:4)c=b pour (cid:1)b(cid:3) A,alors a= c.
(cid:4)
a= A si :
i) a(cid:2)b, (cid:1)b(cid:3) A, i.e. a(cid:4)b= a pour (cid:1)b(cid:3) A.
ii) Si c(cid:2)b pour (cid:1)b(cid:3) A, alors c= a, i.e. si c(cid:4)b= c pour (cid:1)b(cid:3) A,alors a= c.

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Ex :
Soit la structure définie ci-contre. Le sous-ensemble
S :{3, 4} n’a pas d’infimum dans A car 3 et 4 sont
1
incomparables entre eux et leurs plus grands minorants,
soit le sous-ensembleS :{1, 2}, sont également
2
incomparables entre eux.
On ne peut satisfaire la propriété d’unicité de l’infimum.

De même, le sous-ensemble S :{1, 2} n’a pas de
2
suprémum dans A car 1 et 2 sont incomparables entre eux
et leurs plus petits majorant, soit le sous-ensemble
S :{3,4}, sont incomparables entre eux.
1
On ne peut satisfaire la propriété d’unicité du suprémum.

Ainsi, cet exemple ne constitue pas un treillis.

Ex :
Soit la structure ci-contre. Les deux sous-ensembles
pouvant être problématiques de l’exemple ci-contre
sontS et S car leurs éléments sont incomparables entre
1 2
eux. Les autres cas en dérive ou sont triviaux.

Le sous-ensembleS :{3, 4} possède un suprémum et un
1
(cid:1) (cid:1)
infimum dans A. S = {5} et S = {6}
1 1

Le sous-ensemble S :{1, 2} possède un suprémum et un
2
(cid:1) (cid:1)
infimum dans A. S = {6} et S = {0}
2 2

Il s’agit donc d’un treillis.

Ex :
Soit ((cid:1), (cid:1)), si on ajoute (cid:1)tel que n < (cid:1)pour (cid:1)n (cid:2) (cid:1), nous sommes alors en présence

d’un treillis.

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Ex :
(P(X),(cid:1)) est un treillis complet.
Soit un ensemble arbitraire S ={S ,S ,...,S,...} tel que S(cid:3) P(X) et S (cid:4)X.
1 2 i i
(cid:2)
{ }
(cid:1)S = x(cid:4)X :(cid:1)S (x(cid:4)S ) (cid:4) P(X)
i j j
i=1
Dans (P(X),(cid:1)), il y a une opération additionnelle ¬ :P(X)(cid:1) P(X) définie par :
¬ S = X (cid:1)S (complément)
¬ S = {x(cid:1)X :¬ (x(cid:1)S)}
Dans ce cas, le complément de S, ¬ S, satisfait S(cid:1)¬ S = 0 et S(cid:2)¬ S =1.

Défn :
Soit A,(cid:1),(cid:2),0,1 un treillis, b est un complément de a si a(cid:1)b= 0 et a(cid:2)b=1.

Remarque : En général, le complément d’un élément donné n’existe pas, et lorsqu’il
existe, il n’est pas toujours unique.

Défn :
Un treillis A,(cid:1),(cid:2),0,1 est distributif s’il satisfait :

(a(cid:2)b)(cid:1)c=(a(cid:1)c)(cid:2)(b(cid:1)c)

Lemme :
On peut montrer (a(cid:1)b)(cid:2)c=(a(cid:2)c)(cid:1)(b(cid:2)c) :

(a(cid:2)c)(cid:1)(b(cid:2)c)=(a(cid:1)(b(cid:2)c))(cid:2)(c(cid:1)(b(cid:2)c)) (distrbutivité)
=(a(cid:1)(b(cid:2)c))(cid:2)c (absortion)
=((a(cid:1)b)(cid:2)(a(cid:1)c))(cid:2)c (distributivité et associativité)
=(a(cid:1)b)(cid:2)((a(cid:1)c)(cid:2)c) (associativité)
=(a(cid:1)b)(cid:2)c (absorption)

Ex :
Soit a, b et c (cid:2)A (cid:1)ù A,(cid:3),(cid:4),0,1 est un treillis distrbutif.
Définissons a (cid:1)b = max(a, b) et a (cid:1)b = min(a, b). Alors:

max(a, min(b, c)) = min(max(a, b), max(a, c))

et inversement,
min(a, max(b, c)) = max(min(a, b), min(a, c))
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Ex:
Cet ensemble est un treillis, mais il n’est pas distributif.
Il est un treillis parce que chaque sous-ensemble possède un
infimum et un suprémum dans A.
Dans un treillis distributif, on a
a (cid:2)(b (cid:1)c)=(a (cid:2)b)(cid:1)(a (cid:2)c), mais dans le cas illustré :

1(cid:2)(2(cid:1)3)=1(cid:2)0 =1
(1(cid:2)2)(cid:1)(1(cid:2)3)= 4(cid:2) 4 = 4
mais 1(cid:1) 4, ainsi 1(cid:2)(2(cid:1)3)(cid:1)(1(cid:2)2)(cid:1)(1(cid:2)3)

Théorème :
Dans un treillis distributif A,(cid:1),(cid:2),0,1 , les éléments ont au plus un complément.

Preuve :
b =b(cid:1)1=b(cid:1)(c(cid:2)a)=(b(cid:1)c)(cid:2)(b(cid:1)a)=(b(cid:1)c)(cid:2)0 =b(cid:1)c
(cid:1)
c= c(cid:1)1= c(cid:1)(b(cid:2)a)=(c(cid:1)b)(cid:2)(c(cid:1)a)=(c(cid:1)b)(cid:2)0 = c(cid:1)b

Défns :
1. Soit A,(cid:1),(cid:2),0,1 un treillis distributif dans lequel tout élément a un complément, une
telle structure est appelée une algèbre de Boole.

2. Soit A,(cid:1) un ensemble partiellement ordonné, le dual de A, Aop, est l’ensemble
partiellement ordonné défini par A,(cid:1)op où a (cid:1)op b ssi b (cid:1)a dans A.

Soit a,b et c (cid:3) Aop.
a (cid:2)op b ssi b (cid:2)a dans A et donc a(cid:4)b =b.
Pour (cid:1)a,on a a (cid:2)op a, i.e. a(cid:4)a = a. (Réflexivité)
Pour (cid:1)a , (cid:1)b et (cid:1)c,si on a a (cid:2)op b et b (cid:2)op c, alors a (cid:2)op c.
i.e. si a(cid:4)b =b et b(cid:4)c= c, alors a(cid:4)c= c. (Transitivité)
Pour (cid:1)a et (cid:1)b, si a (cid:2)op b et b (cid:2)op a, alors a =b.
i.e. si a(cid:4)b =b et b(cid:4)a = a ,alors a =b. (Anti-symétrie)

Faits :
• Si A,(cid:1) est un treillis, alors Aop l’est aussi.
• Si A,(cid:1) est un treillis distributif, alors Aop l’est aussi.
• Si A,(cid:1) est une algèbre de Boole, alors Aop l’est aussi.
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Algèbres de Boole :

Une algèbre de Boole est un treillis distributif complémenté.
On définit l’opération ¬ :
¬a (cid:1)a = 0
¬a (cid:2)a =1
¬ ¬a =a
¬( a (cid:1)b)= ¬a (cid:2) ¬b
¬( a (cid:2)b)= ¬a (cid:1) ¬b

Ex :
Soit X = {a}
On a une algèbre de Boole à 2 éléments.

Soit X = {a, b}
On a une algèbre de Boole à 4 éléments.

Soit X = {a, b, c}
On a une algèbre de Boole à 8 éléments.

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Ex :
La figure ci-contre ne constitue pas une algèbre de Boole.

a (cid:1)b = min(a, b)
a (cid:2)b = max(a, b)

x (cid:1)1/2= 0 et donc min(x, 1/2)= 0,alors x = 0.
x (cid:2)1/2 = 1 et donc max(x, 1/2)=1,alors x =1.

Défns :
1. Un homomorphisme de treillis (cid:1): A,(cid:2),(cid:3),0,1 et (cid:1): B,(cid:2),(cid:3),0,1 est une fonction
f :A(cid:1)B qui précise les opérations :

f(a(cid:3) b)= f(a)(cid:3) f(b)
(cid:1) (cid:2)
f(a(cid:4) b)= f(a)(cid:4) f(b)
(cid:1) (cid:2)
f(0 )= 0
A B
f(1 )=1
A B

2. Un plongement de treillis est un homomorphisme injectif.

3. Un isomorphisme de treillis est un homomorphisme bijectif.

4. Un homomorphisme d’algèbre de Boole est un homomorphisme de treillis qui précise
le complément : f(¬ a)= ¬ f(a).

Ex:
Soit A = {0, 1} et B = {0, 1, 2}.
P(A) = {(cid:1), {1}, {2}, {1, 2}}
P(B) = {(cid:1), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

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Faits:
• Tout homomorphisme de treillis préserve l’ordre partiel: a(cid:1)b(cid:2) f(a)(cid:1) f(b).
• Soit A et B des treillis et f :(A,(cid:1))(cid:2)(B,(cid:1)) un isomophisme d’ensembles
partiellement ordonnés:
a(cid:1)b(cid:2) f(a)(cid:1) f(b) et f une injection, f est un isomorphisme de treillis.
• Soit A et B des treillis et f :A(cid:1) B un homomorphisme d’ensembles
partiellement ordonnés, f n’est pas nécessairement un homomorphisme de treillis.

Algèbres de Heyting :

Par relation d’ordre,
une algèbre de Heyting est un treillis dont chaque paire d’élément (a, b) admet un
élément unique ( a (cid:1)b) tel que :

c (cid:1)(a (cid:2)b) ssi c(cid:3)a (cid:1)b ou

(a (cid:2)b) est le plus grand élément satisfaisant (a (cid:2)b)(cid:1)a (cid:1)b

De façon algébrique,
une algèbre de Heyting est un treillis A muni d’une opération (cid:1) telle que :
1) a (cid:1)a =1
2) a (cid:1)(a (cid:1)b)=a (cid:1)b

3) b (cid:1)(a (cid:1)b)=b

4) a (cid:1)(b (cid:1)c)=(a (cid:1)b)(cid:1)(a (cid:1)c)

Ex :
(cid:3)(cid:6)1 si a (cid:1)b
(cid:6)
a (cid:2)b(cid:4)
(cid:6)b sinon
(cid:5)(cid:6)

Déf n :
Soit¬a =a (cid:1) 0 =(¬a (cid:1)0)= ¬a , dans une algèbre de Heyting, on définit

¬a =a (cid:1) 0comme étant le pseudo-complément de a.
(cid:2) (cid:5)
(cid:3)a (cid:1) ¬a = 0 (cid:6)
(cid:4)(cid:3)(cid:3)(cid:3)a (cid:2) ¬a =1 (cid:1) Pas nécessairement vrai dans le cas général(cid:7)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)

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