Travaux pratiques en mathematiques. Лабораторные работы по математике. TP № 3 – Construction des coniques = ЛР №3 - Построение кривых второго порядка. TP № 4 – Etude exp?rimentale des coniques = ЛР №4 - Экспериментальное исследование кривых второго поряд

24 Pages·6.442 MB·Russian

by  Gorelik L.

Académie d’état d’agroingénieur de Tchéliabinsk
Chaire de mathématiques

L. Gorélik

TRAVAUX PRATIQUES
EN MATHEMATIQUES

Р
our les agroingénieurs des groupes bilingues

TP № 3 – Construction des coniques
TP № 4 – Etude expérimentale des coniques

Tchéliabinsk, 2011
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Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Челябинская государственная агроинженерная академия

Л.Б. Горелик

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов билингвальных групп
Факультета механизации сельского хозяйства

ЛР № 3 – Построение кривых второго порядка
ЛР № 4 – Экспериментальное исследование кривых второго порядка

Челябинск, 2011
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PREFACE
Les travaux pratiques (TP) constituent un type d’enseignement fondé sur
l’apprentissage pratique avec la réalisation d’experiences permettant de vérifier et
compléter les connaissances dispensées dans les cours théoriques.
Les travaux prstiques sont une mise en application de la méthode scientifique,
basée sur la pose d’hypothèse, la conception d’un protocole expérimentale,
l’expérimentation, l’interprétation des résultats et le raffinement des hypothèses
initiales.
La méthode pour faire TP se déroule schématiquement en quatre étapes :
1. Protocole expérimental : Il est souvent fourni dans le sujet de TP. Vous
pouvez le rappeler dans votre compte-rendu pour en faciliter la lecture,
ou au minimum préciser l’étape que vous êtes en train de décrire
(référence précise au plan du sujet).
2. Expérimentation : Les manipulations proprement dites. Si elles ne
découlent pas immédiatement du sujet de TP, il vous faut les préciser en
détailles.
3. Collecte des résultats : Vous devez évidemment détailler tous les
résultats expérimentaux collectés pendant le TP, ainsi que leur contexte
précis (sans lequel ils sont inutiles). Les résultats sont liés au protocole, à
l’expérimentation, et attendent une interprétation. Ils ne constituent pas
en soi un élément de conclusion dans un rapport de TP.
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4. Interprétation : C’est la phase clé de la méthode expérimentale, la plus
importante de votre comptr-rendu, et celle qui est le plus souvent
négligée. À cette étape, vous tirez des conclusions de vos résultats, et
surtout des variations de résultats lorse que vous modifiez le protocole
expérimental. C’est à cette étape, par la qualité de votre rédaction, que
l’on évalue votre compréhension du problème.
N’oubliez pas que l’un des principes de base de la méthode scientifique
consiste à modifier un des paramètres de départ sans toucher les autres, à constater
des différences dans les résultats et les interpréter en concluant sur l’influence du
paramètre modifié. C’est pour cela qu’il est important de préciser pour chaque jeu de
résultat, quels sont les paramètres précis de l’expérimentation.
Dans vos conclusions, il faut soigneusement expliquer toute affirmation par
l’observation effectuée en TP et déduction logique que vous en faites. Si plusieurs
explications sont possibles, il faut le mentionner. Si une conclusion a été équartée,
expliquez par quel raisonnement (fondé sur les observation d’une manipulation).
À propos des sources externs. Vous êtes vivement invités à cultiver votre
curiosité scientifique et donc à divercifier vos sources d’information, dans les limites
de ce que permet l’énoncé. Si vous souhaitez intégrer dans votre compte-rendu des
informations issuesnd’autres sources que vos propres expérimentations, il convient de
prendre certaines précautions.
Tout d’abord, il faut toujours citer ces sources, d’une part par honnêteté, et
d’autre part pour respecter l’auteur des documents que vous citez. Citer précisément
sa source est une obligation légale : un texte sans référence est un plagiat, qui peut
constituer un délit.
Ensuite, il faut absolument conserver un esprit critique. Tout ce qui est
imprimé, publié, dit en cours, ou présent sur le web n’est pas toujours dépourvu
d’erreurs. Vous êtes encouragés à vous approprier l’information, à la confronter avec
vos connaissances et vos résultats expérimentaux, à vous en servir pour
l’interprétation de vos données.
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Travail en équipe. La plupars du temps, les travaux pratiques sont faits en
binôme, trinôme... Votre capacité à travailler en équipe est alors un des points qui
sont évalués. Vous devez prouver que vous êtes capable de collaborer efficacement.
Cela consiste à partager équitablement le travail pendant le TP, à vous assurer que
vos collègues comprennent ce que vous faites et que vous comprenez ce qu’ils font, à
rédiger ensemble le compte-rendu et à l’assumer comme une œuvre collective.
Il peut être intéressant de partager vos observations et vos réflexions avec
d’autres groupes, mais les résultats numériques et leur interprétation doivent vous
être propres.
En résumé, il vous faut retenir quatre points principaux :
• gardez un espris de synthèse, mais en n’oubliant aucun élément nécessaire à
la compréhension de votre démarche ;
• citez toujours vos sources et integrez-les à votre démarche ;
• ayez l’esprit d’équipe ;
• l’interprétation est l’étape la plus essentielle de votre travail : l’enseignant
produit le squelette du protocole expérimentale, le système produit les résultats, les
étudiants produisent l’interprétation.
Bonne chance!
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TP № 3
CONSTRUCTION DES CONIQUES

Pour construire des coniques utilisons le logiciel mathématique GéoGébra
(Site Web: http://www.geogebra.org,
Recherche dans l’Aide : http://www.geogebra.org/help/search.html).

Le terme « conique » désigne toutrs les courbes telles que cercles, ellipses,
hyperboles, paraboles. L’étude de ces courbes est intéressante par leur applicationa
pratiques. Les mouvements célestes ont toujours des des trajectoires ellipsoïdales,
paraboliques ou hyperboliques. Le télescope, les antennes paraboliques, les
projecteurs, les phares de voiture sont des utilisations de la propriété de réflexion de
la parabole.
I. Ellipse
Commençons par des exemples.
1. Pour tracer des parterres de fleurs dans les jardins, le jardinier plante deux
piquets (F et F’) dans le sol, puis place autour de ces piquets une corde nouée en
boucle. Il tend la corde à l’aide d’un troisième piquet et utilise ce dernier piquet pour
tracer une courbe au sol en tournant autour des deux premiers en veillant à ce que la
corde demeure toujours tendue. Il obtient ainsi une courbe « ovale ».
2. La section d’un cylindre droit par un plan donne une courbe fermée
ressemblant à la précédente.
3. La section d’un cône circulaire par un plan donne une courbe ovale
ressemblant aux courbes précédentes.
4. Considérons un cercle et l’un de ses diamètres. Lorsqu’on comprime ce
cercle dans un rapport k perpendiculairement au diamètre fixé, on obtient encore une
courbe « ovale ».
Dans le premier exemple, on peut facilement déduire une propriété des points
situés sur « l’oval » obtenu par le jardinier. En effet, tous ces points sont tels que la
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somme de leurs distances aux deux piquets fixes est une constante : la lonqueur de la
ficelle. Cette caractéristique va être la base de la définition de l’ellipce.
L’ellipse est le lieu géométriquedes points du plan dont la somme des
distances de chacun d’eux à deux points fixes est une constsnte (supérieure à la
distance entre les points fixes).
Les deux points fixes sont appelés foyers de l’ellipse et sont notés F et F .
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La distance entre les foyers (2c) est appelée distance focale.
La somme des distances d’un point de l’ellipse aux foyers est notée (2a).

Construisons une ellipse suivant sa définition.
Puisque la somme des longueurs de F M et MF est une constante (fig. 3.2), il
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faut « garder » cette valeur numérique à l’aide de moyens géométriques.

Figure 3.1. – F M + MF = c
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Un nombre peut être associé à la longueur d’un segment, cela donne l’idée
d’aligner F M et MF (fig. 3.2).
2 1

Figure 3.2. – Segments alignés
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Le logiciel GéoGébra nous donne une possibilité de garder la longeur d’un
segment, quelle que soit sa direction. Trançons le cercle de centre F et de rayon F B
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(fig. 3.3). Quand le point B déplacera suivant ce cercle, la valeur F M + MF ne
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changera pas et le point M décrira une ellipse.

Figure 3.3. – Le cercle «garde» la distance

Figure 3.4. – Construction de l’ellipse
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Donc, pour construire le point B, dirigeant le déplacement de M , on tient à
construire le triangle isocèle FMB. Pour ce faire, il faut et il suffit qu’on construise la
médiatrice du segment FB. Montrons les étapes de la construction (Fig. 3.5. – 3.14).

Figure 3.5. – Étape 1. On saisit le point O(0,0).
Dans le champ de saisie on tape: «O=(0,0)». Le signe d’égalité est
indispensable, une telle syntaxe est admis dans le logiciel GéoGébra.

Figure 3.6. – Étape 2. On introduit un paramètre c et on construit le point F (c,0)
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Dans le champ de saisie on tape, par exemple : «c=4» et puis «F =(c,0)». (dans
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la fenêtre « Algèbre » nous voyons la dernière commande un peu « corrigée » :
«F1=(4,0)»). L’introduction du paramètre est désirable pour de futures exrériences.

Figure 3.7. – Étape 3. Le point F est apparu.
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Faites attention: ce point est commandé comme symétrique de F par rapport
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à O. Il importe qu’on garde cette relation à l’étape d’expérimentation.

Figure 3.8. – Étape 4. Le saisie du cercle O[F , a].
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