Trattato di Fioretti nella trascelta a cura di Mo Benedetto secondo la lezione del Codice L.IV.21 (sec. XV) della Biblioteca degl’Intronati di Siena

47 Pages·1967·2.86 MB·Italian

by  Antonio de’ Mazzinghi

....
\
TESTIMONIANZE 01 STORIA DELLA SCIENZA
MO ANTONIO DE' MAZZINGHI
a cura
DELLA DOMUS GALILAEANA DI PISA
DELL'lsTITUTO E MUSEO DI STORIA DELLA SCIENZA DI FIHNZE
EDELL'ISTrrUTO DI sTORIA DELLA MEDICINA DELL'UNlVERsrrl DI MILANO
•
TRATTATO
Direttori
DI FIORETTI
LUIGI BELLONI • Istittlto '" Storia della Medicina dell'U,.ivemttl iii Milano
MAnA LUISA BoNELLI - Istittlto e Museo di Storia deUa Scienza di Firenze
Tuulo DEJlENZINI - Domus Galilaeana di Pisa nella trascelta a cura di MO Benedetto
secondo /a /ezione del eodiee L. IV, 21 (SIC. XV)
della Bib/ioteca deg/'Intronati di Siena
4
a cura e con introduzione
di
GINO ARRIGHI
PISA
DOMUS GALIIA:ANA " PISA
1967 J\>MUS GALILJEANA
. 1967
INTRODUZIONE
c. .
'3. 1'+6~. 4
Non poca cura ho dedicato, altrove, al Codice L. IV. 21 della
Biblioteca degl'lntronati di Siena contenente un amplissimo Trat
tato di matematica composto da MO Benedetto da Firenze e data
to 1463(I).
In questo, come gia ho avvertito, si ritrova un vero corpus
della dottrina conosciuta a quel tempo ottenuto rielaborando, in
modo ordinato e sistematico, quanta in precedenza era stato scrit
to dai vari autori, venendosi, in tal maniera, a costituire una delle
fonti pili ricehe ed importanti per la storia della matematica: im
portanza per la larghezza e varieta dei campi studiati, importan
za perIe moltissime notizie di caratterestoricochevi s'incontrano.
Rimandando al mio studio citato 10 studioso di siffatti argo
menti che desidera notizie estese in proposito, mi intratterro ades
so attomo a quella parte del Codice che si estende da c. 451r. a
c. 474v. la quale costituisce il terzo ed ultimo capitolo del quindi
cesimo libro del Trattato di MO Benedetto. II suo titolo suona esat
tamente cosi: •El te~o chapitolo et ultimo del quindecimo libro
di questo trattato nel quale si chontenghono chasi scritti nel trat
tato di Maestro Antonio nominato trattato di fioretti, e' qualj sono
scelti da' detti fioretti in pin parti scritti».
Segue una introduzione, dovuta a MO Benedetto e che occupa
meta del recto della prima carta, la quale ha un carattere storico
di notevole valore; subito dopo ha inizio un'ampia raccolta di
esercizi [eM, di sovente, cooi veniva presentata questa scienza]
che costituisce una trascelta, compiuta ad opera di MO Benedetto,
di suI Trattato di jioretti di MO Antonio de' Mazzinghi da Peretola
in quel di Firenze.
\
I GINO ARRICHI, 11 Codit:e"!l.IV u della Bibliot«adegl'lntronati di Siena e'" «botkga
dell'abat:oaSanta Tri..ita" di F~nzein «Physis ", anno:IlHI(1')65), fasc. 4, pp. I-p.
viI
8 G. ARRIGHI INTRODUZIONE 9
Prima di ogni altro, daro qui di seguito la trascrizione della musicha anchora, in edifichare, in prospettiva, in tutte arte di
introduzione ricordata la quale contiene notizie attorno alIa vita gran intelletto fu dotto et fece molti archimi. E, sechondo che tro
ed all'opera di MO Antonio: l'autore che e da reputarsi, per certo, viamo, d'eta di circa 30 annj morj. Lascio molti vilumj di geome
come il migliore allievo di Paolo Dagomari, il MO Paolo dell'Ab tria et d'arismetricha; rna la piu alta fu quella che de' Fioretti e
baco (2), nella Scuola matematica fiorentina di Santa Trinita che titolata; nella quale sono scritti e' chasi che debbo dimostrare, a'
pure era detta la «Bottega dell'abbaco a Santa Trinita Leggia qualj staraj atento.
D. B.
mo COS!:
'" '" '"
«Vivono anchora al tempo presente e' nipoti del detto. Mae
stro Antonio; el quale, secondo che per udita posso scrivere, egli
La non poca esperienza fattami nel ricercare e studiare i co
fu da Peretola de' Mac;inghi honorevolj huominj. E come il padre,
assaj chopioso secondo gli uominj di quella villa delle chose che did matematid medievali mi ha confermato nella, peraltro ovvia,
la fortuna porge et anchora di buono intelletto, volle al figluolo considerazione che taluni personaggi di notevole dimensione, 0
dare virtU Ie qualj per alchuno accindente gli fussino tolte. Et fat COS! ritenuti, vengono a trovare una piu adeguata collocazione
tolo inparare legiere et scrivere et gramaticha che in pichol tenpo quando si conosca un poco piu a fondo, di quanto non usi, il rap
assaj sofficiente ne venne; inperoche, secondo l'uso del dire di quel porto fra l'opera lora con quelle che l'hanno preceduta nel tempo.
tenpo, in latino et in vulghare disse bene, et anchora scriveva let COS! di passaggio, oserei dire che, procedendo in tal modo, l'ope
tere antiche bene proportionate. E di poi si dette allo studio del ra di fra' Luca Pacioli verra in parte a ridimensionarsi: e qui gio
l'opere matematiche, et fu suo precettore MO Pagholo. E benche ca non poco il fatto che questa si puo leggere aIle stampe mentre
alchunj dichino che stesse chon luj in chasa et che fu quello che gran copia di quella che precede rimane ancor manoscritta. An
manifesto la morte sua, questo non afermo per vero; rna potrebbe cora: come non riconnettere ed innestare ad una sicura maturita
essere. E pocho tenpo stesse chon Maestro Pagholo, che '1 detto degli autori che vengono prima, la eccellente scuola bolognese de
MO Pagholomorj e nel testamento lascio e' benj inmobilj alIa chie gli algebristi?
sa di Sancta Trinita che, secondo che ssi vede per l'arme che sono Ma lascio il discorso su questi problemi che, dobbiamo dido,
foglie di vite, Ie 2 chapelle allato alIa maggiore muro, doe furono non sono ancora risolti: io, per portare un contributo alla chiari
murate de' suoj denari, benche anchora la maggiore si dice che di ficazione di quello esposto per ultimo, mi sono preso la cura di
que' denari si murorono. E lIe possessione et chase lascio a uno presentare il Trattato di tioretti di Mo Antonio de' Mazzinghi nella
suo nipote et, dopo la morte di quello, a Sancta Trinita ritornas presente trascelta compiuta da MO Benedetto.
sino. E ilibrj et chose atto a studio lasdo a chi pili sapesse, et in Venendo all'argomento di questa opera, diro che qui si trova
ciaschuna faculta. E fu, dopo lunghe dispute fatte in molto tenpo, la trattazione di una amplissima rassegna di problemi che condu
chon onorevole modo mandati a chasa Maestro Antonio predetto. cono a sistemi algebrici di grado, anche, superiore al secondoeche
Et non solamente in arismetrica et geometria, rna in astrologia, vengono risolti con abili modi, facendosi ricorso, talvolta, ad in
cognite ausiliarie: ben s'intende che, quando il grado sia superio
re al secondo, ad esso sempre ci si ridurra. Ma, 10 si puo dir senza
2 PAOLO DEl.L'A...,co, Trattato d'aritm~ticu. S~condo la l~%ion~ d~l Codice Magliab~chia.
no Xl, 86 d~lla Bibliot«a Na%io"al~ di Fir~n%~. A cu,a ~ con introdu%ion~ di Gino Arrighi tema, non v'e artificio di calcolo che non sia invocato.
Pisa, Domus Galil••ana, '<)64. .\.
10 G. ARRIGHI INTRODUZIONE II
Una tale teorica esvolta, come ho gia detto, mediante la espo Per quanta conceme la seconda questione, comincio coll'os
sizione di esercizi che altrove si dicon «ragioniD rna che qui sono servare che la «chosaD, cioe la variabile 0 l'incognita, e indicata
noti come «chasiD: questi recano una numerazione progressiva nelle formule del Codice con un segno assai somigliante a quello
che io riferisco avvertendo, per altro, che non pochi «chasi ne di troncamento che, di preferenza, 10 si trova usato per indicare
D
sono sprovvisti e si ha financo la ripetizione del numero 44. la desinenza in is e che somiglia, altresi, a certo modo di scrivere
Lo stile e assai vivo ed agevole quale compete ad una perso la lettera x: in tale situazione, senza tentare di approfondire que
na colta del Rinascimento fiorentino; qui mi piace ricordare un sto problema paleografico, ho indicato la «chosa con questa
D
qualche tratto significativo: al «chaso 29, tronca il ragiona lettera, il che troviamo concordare con la consuetudine attuale.
D
mento appena iniziato con un «non mi piace, perC> non la fini Con c. 0 CO viene segnato il «censoD che poi sarebbe x2, c C. si
scoD; il n° 38 si conclude «e chosi, per questo modo, aj trovato gnifica «censo di censo cioe x4 r. era. stanno per «radice m
D , D,
il tuo desiderio, che echosa maravigliosa Quanto ci sara con vuol dire «meno e p «pili etc..
D. D D;
servato qui della primitiva stesura di MO Antonio? Ecco come MO Potrebbe ora darsi inizio alla spiegazione di parole e allocu
Benedetto, ad un tratto e dopo una invocazione, ci avverte di zioni ormai cadute in disuso, come «radice relata che sta per
D
mantenervisi aderente: «in questa modo che noi piglieremo nel «radice quinta rna ancora una volta confido nella attenzio
D•••;
nome di Gesu Xpo benedetto et alIa sua reverentia; e nota che io ne del lettore diligente rimandando ad un tempo a venire, se mi
replicho propiamente il testo E la reverenza verso Mo Antonio sara concesso, il pubblicare un vocabolario dei termini matema
D.
riappar di sovente, come al finale del «Mirabile dictumD: «E no tici medievali del quale sto curando Ie schede da alcuni anni.
ta che questa e il piu bello et il piu sottile trattato che, gia e gran E qui pongo termine a questa mia introduzione all'opera
tempo, vedessi et de' gran sottigle~eci sono di Mo Antonio, la quale, come avvertira 10 studioso quando sara
D.
giunto al termine della sua fatica, eda considerarsi come il pili va
* * * loroso algebrista del Trecento..
Con la presente impresa conto di recare un nuovo personale
Conviene che adesso io venga a dire una qualche parola circa contributo all'abbattimento di un pregiudizio largamente diffuso
i' metodi seguiti nella trascrizione del Codice e sulle annotazioni anche oggi dopo che da tanti anni ci sta dinanzi la monumentale
che in esso compaiono. serie dei volumi del «Bullettino di Baldassarre Boncompagni,
D
Circa la prima questione, dirc> che ho riferiti integralmente il pregiudizio che puC> ritenersi assai bene espresso da queste parole
testo ricostruendo opportunamente Ie parole, segnando accenti ed di Rafael Bombelli(J): «Scrisse poi [...] Leonardo Pisano in
apostrofi mancanti e usando una punfeggiatura pili aderente ai Idioma latino, ne doppo lui alcuno ci e stato che cosa buona hab
criteri modemi. Mi sono limitato ad introdurre talvolta, rna sem bia detto sino a Frate LucaD.
pre in parentesi quadra, lettere 0 parole rimaste nella penna del GINO ARRIGHI
l'amanuense e la correzione di eventuali sviste un po' meno evi
denti compiute da questo: il lettore accorto puC> facilmente sup
plire al resto. Avverto ancora che i segni di frazione, nell'origina
3 L"Algebra. Prim~ edizione integrale. Feltrinelli Editore, Milano [[966]; p. 9.
Ie, sono sempre disposti orizzontalmente. ~ppo
Lavoroeuguitonell'ambitodel dirieerean. 25delC.N.R. (ComitatodellaMaternaliea).
~~--------~~---~------~~-~--~-----~----.-~-----------~-----------o---.--------_t_-------~----~~~----~----- ------~--~---~~-----------
TaATTATO 01 'IOa.TTI
1. - Fa' di 19, 3 parti nella proportionalita chontinua che,
multipliehato la prima chontro all'altre 2 e lla sechonda parte mul
tiplichato all'altre 2 e lla terza parte multiplichante all'altre 2, e
quelle 3 somme agunte insieme faccino 228. Adimandasi qualj
sono Ie dette parti. Conciosiachosache Maestro Antonio sottile scri
va e' chasi e' qualj non anna asolutione alle quantita numeralj,
nientedimeno io mi sfor~E:r<'> di porre chasi e' qualj aranno asolu
tione a quantita che facilmente si potranno provare, doe che con
facilita accio che 10 'ntelletto possa essere chapade di tutto. Ora al
nostro chaso, qui e da sapere che se si multiplicha 19 nel doppio
della seconda parte sara 228, avera se si multiplicha 10 doppio del
19, doe 38, nella seconda parte fara 228. E che questo sia vero
il voglio chiarire. Noi abbiamo proposto che si divida 19 in 3 parti
nella proportionalita chontinua che, multiplichata la prima per
l'altre 2 e la seconda per l'altre 2 e l'altra, doe la ter~a, per
l'altre 2 et agunte Ie dette multiplichatione, insieme facdno 228.
Onde e manifesto, che quando Ie quantita sono nella proportiona
lita chontinua, che lla multiplichatione della prima nella terza fa
quanto la multiplichatione della seconda in se; e questo assai volte
l'abbiamo mostro. Onde quando e' si multiplicha la prima per
l'altre 2, e quanto a multiplichare la prima per la seconda e quan
to la seconda in se imperoche multiplichando la prima nell'altre
2 e' si multiplicha la prima nella seconda et la prima nella ter~a;
et multiplichando la prima nella ter~a e chome a multiplichare la
seconda in se. Adunque a multiplichare la prima nell'altre 2 echo
me a multiplichare la prima nella sechonda e chome a multipli
se.
chare la seconda in E a multiplichare la seconda per l'altre 2
e quanto a multiplichare la seconda per la prima et la seconda per
la ter~a. E a multiplichare la ter~a parte per l'altre 2 e chome a
multipliehare la second\in se et chome a multiplichare la ter~a
16 M" ANTONIO DE' MAZZINGHI TRATTATO DI FIORETTI 17
per la seconda. Adunque queste 3 multiplichationi, che sono 6, e
chome a multiplichare la prima per la seconda 2 volte et la secon
da in se 2 volte et la ten;a per la seconda 2 volte. Onde, se bene
"
aprj l'ochio, egli e chome a multiplichare la seconda parte nella
somma di tutte e 3 Ie parti, 2 volte. E a multiplichare la seconda
parte nella somma di tutte e 3 due volte e chome a multiplichare
.p,r----f'----cr-----.."
la seconda parte nel doppio della somma di tutte e3, avera quanto
'R.e-
a multiplichare 10 doppio della seconda parte nella somma di tutte
~ If
et 3. Onde, adunque, multiplichando el doppio della seconda par
./ F ,"
te per 19, che e la somma di tutte et 3, fara 228. Adunque parten ...,. t{"
do 228 in 19 ne verra el doppio della seconda parte. E partito 228 b "
~I
in 19 vienne 12, e il 12 e 2 chotanti della seconda parte. Adunque
la seconda parte e 6. E, questo trovato, l'altre 2 rimarranno 13; ....
1. t--------+L
dove dirai: perche Ie parti sono in chontinua proportione, che tan
to fa a multiplichare la prima parte per la ter~aquanto la seconda
se; -,e
in onde abisognia di dividere 13 in 2 parti che lla prima multi
plichata per l'altra faccia 36, cioe il quadrato di 6. E a questo si
da questa reghola: dime~a 13, e la meta 61/2, multiplicha in se,
"
fanno 42 1/4, trane 36 rimanghono 6e 1/4, pigliane la radice che
e 2 1/2 e agiugnilo alIa meta di 13, cioe a 6 1/2, fanno 9. E tanto
e la maggiore parte e, per la altra, traj 2 1/2 della meta di 13,
".
cioe di 6 1/2, rimanghono 4. E tanto e la rninore. Onde e diviso
13 in 2parte che, multiplichata l'una per1'altra, fanno 36. Adun
que abbiamo fatto, di 19, 3 parti in chontinua proportione che,
la prima multiplichata per l'altre 2 ella seconda multiplichata per
l'altre 2 e la ter~a multiplichata per l'altre 2 e, quelle multiplicha
tioni agunte insieme fanno 228. E la minore e 4, la m~ano6, la
maggiore e 9.
2. - Truova 3 numeri nella chontinua proportionalita, ClOe
3 quantita nella chontinua proportionalita che, multiplichato la
prima per l'altre 2 e la seconda multiplichato per l'altre 2 e la
Figura per il ((chJSO )) 2.
ter~a multiplichata per l'altre 2, faccino in soma 888; e multipli
se
chato ciaschuna parte in et quelli quadrati agunti insieme fac-
\1\
18 MO ANTONIO DE' MAZZINGHI TRATTATO DI FIORETTI Ig
cino481. Adimandasi qualj sono quellj numeri, avera quelle quan la superfice del de in da chol quadrato de e igualj alla superfice
titfl. Qui e da sapere che quando una quantita e divisa in 2 0 in dp. E pero chiaramente si manifesta che '1 quadrato del' ae, cioe
3 0 pili parti qualj elle sieno, tanto e la multiplichatione di quelle il quadrato ap, e quanto la superfice em et la superfice co e lla
parti in se et cholla multiplichatione di ciaschuna parte nell'al superfice dp. Ora, questo chiarito, agugneremo 888 chon 481, cioe
tre 2, quanto a multiplichare la detta quantita in se. Dicho che ritornando al chaso dato, fanno 1369. Adunque quelle parti chon
sia diviso Ig in 3 parti quali elle sieno, cioe 4, 6, g, che multipli gunte insieme fanno la radice di I369 inperoche 'I quadrato di
e
chato ciaschuna parte in se, cioe 16, 36, 81 e multiplichato cia quella somma I369. E pero diremo che quella somma sia 37,
schuna parte nell'altre, che aremo 60, 78, go, che in somma fan chonciosiachosache a multiplichare 37 in se medesimo faccia 1369.
no quanta a multiplichare el Ig in se, cioe 364. E che questo sia Onde, adunque, diraj: fa', di 37, 3 parti nella proportionalita
vero, per fighura geometricha, larghamente 10 voglio mostrare. chontinua che, multiplichata la prima per l'altre 2 e la seconda
o
natura quanto infondesti in questi san~a dubbio di gran chon per l'altre 2 e la ter~a per l'altre due, faccino 888. Adunque par
siderationj furono che intendendo l'opere loro, non di nuovo fa tirai, per la passata, 888 in 37, vienne 24 e questo e 2 chotanti
brichandole, sarebbe riputato quel tale divino. Dicho, adunque, che lla seconda parte, onde la seconda parte fu 12. La quale trat
sia la linea ab [anzi: ae] Ig divisa in 3 parte ac cd ed, e sia ta di 37, rimanghono 25 del quaIe 25 si debbiamo fare 2parti che,
ac 4, cd 6 et ed g. Dicho che la superfice del'ac in cd et de cholla multiplichata l'una nell'altra, faccino 144. Dove dime~erai 25,
superfice del cd in ac et del cd in de et cholla superfice del de in sia la meta 12 I/?, multiplicha in se, fanno 156 1/4, tranne 144
de et del de in ac, cho' quadrati del' ac et del cd et del de sono e rimanghono 12 1/4, pigliane la radice, che e 3 1/2, e trala della
quanto el quadrato del' ae. E accioche tutto sia manifesto, chiaro meta di 25, rimanghono 9 per la minore parte. E, per la maggio
e che lla superfice ac in ce cholla superfice del' ac in de e quanto re, agunghasi 3 1/2 alIa meta di 25, fanno 16 perla maggiore par
la superfice del' ac in ce, la quale superfice sia la superfice cf; te. E chosi aj: la maggiore parte fu 16, la me~ana fu 12, la mi
e
chonciosiachosache am sia 10 eguale del' ae et af sia 10 eguale del nore fu g. Ed absoluta tale questione chon agevol modo.
ce, adunque la superfice cf e 'gualj alIa superfice fatta del' ac in
ceo Dove la superfice fn e igualj al quadrato del' ac inperoche lla 3· - Fa', di 9 1/2, 3 parti nella proportionalita chontinua
detta superfice e quadrata et ciaschuno suo lato e igualj allo lato ch' e' loro quadrati sieno 33 1/4, cioe, agunto el quadrato della
ac. Adunque la superfice del' ac nel cd cholla superfice del' ac in prima chol quadrato della seconda et chol quadrato della ter~a,
de chol quadrato ac e quanto la superfice em. Anchora, della linea in tutto sia 33 1/4. Adimandasi qualj sono quelle quantita, avera
en si piglj 10 eguale al ca et de, et sia ck; dicho che lla superfice qualj sono quelle parti. Noi abbiamo chiarificato che tanto fa 10
e
dk quanto la superfice del de in ca et del de in db [anzi: de]. quadrato del chongunto di quelle parti quanta la multiplichatione
e
Onde la superfice ko quadrata et ciaschuno suo lato e igualj alla della prima parte nell'altre et cholla multiplichatione della secon
linea cd. Adunque la superfice dn e igualj alla superfice del' ac da nell'altre, colla multiplichatione della ter~a parte nell'altre,
in cd et alIa superfice del cd in de chol quadrato cd. E, anchora, cho' quadrati di ciaschuna parte. Adunque se trarremo 33 1/4
della linea do si piglj 10 eguale alla linea da, che sia dk, et sia la del quadrato di 9 1/2 rimarra quello che s'a a multiplichare la
superfice ek igualj alla superfice del de in da; e lla superfice kp prima parte nell'altre 2chol chongunto della multiplichatione del
e quadrata et ciaschuno suo lato e igualj allo lato de; adunque la seconda parte nell'alte 2 chol chongunto della ter~a parte nel-
~.
zo MO ANTONIO DE' MAZZINGHI TRATTATO DI FIORETTI Zl
l'altre z. Onde il quadrato di 9 l(Z e 90 1(4 del quale, tratto l'una una chosa, l'altra sia 19 menD I chosa. Et multiplicha I
33 1(4, rimanghono 57. E proporremo ora il chaso chome il pri chosa per 3, fanno 3 chose, et multiplicha 19 meno I cosa per 5,
mo. Cioe: fa', di 9 l(Z, 3 parti nella proportionalita chontinua fanno 95 menD 5 chose, agugnj a 3 chose, fanno 95 menD Z cho
che multiplichato la prima parte per l'altre Z e lla seconda parte se. E noi vogliamo che facdno 81, dove diraj 81 essere igualj a
per l'altre Z e lla ter~a parte per l'altre z, e quelle 3 somme 95 meno Z chose. Onde trarraj da ognj parte 81 et daraj a ognj
agunte insieme facdno 57. Dove, secondo che dicemo in quella, parte Z chose et araj Z chose essere igualj al 14, dove la chosa
dobbiamo partire 57 in 9 l(Z, vienne 6 e questo e doppio della se vale 7. Onde la prima parte sia 7, l'altra sia lZ, e araj diviso il
conda parte. Adunque piglieremo la meta di 6, che e 3 e tanto e 19. Ora ti resta a dividere una chosa menD in Z parti che, l'una
la seconda parte; dove l'altre Z rimanghono 6 l(Z, doe da 3 in multiplichata per 3 e l'altra per 5, faccino meno 4 chose. Cioe di
sino in 9 l(Z. Ora diraj: fa', di 6 l(Z, Z parti che, multiplichato videraj chome avendo a dividere uno in Z parti che l'una multi
l'una per l'altra, faccino 9 cioe il quadrato di 3. Dove divideraj plichata per 3 e l'altra per 5, faccino 4. E terraj il detto modo nel
6 l(Z in z, doe piglieraj la meta di 6 l(Z, sono 3 1(4, multiplicha dividerle et araj l'una parte che s'a a multiplicha per 3 e menD
in se, fanno 10 9(16, trane 9, rimanghono I 9(16. Pigliane la ra l(Z chosa et quella che s'a a multiplichare per5emeno l(Z chosa.
dice, che e I 1(4, e tralo della meta di 6 l(Z, doe di 3 1(4, riman Onde agugneraj al 7, IjZ chosa meno, fanno 7 meno I(z chosa
ghono Z per la minore parte e per l'altra agugneraj I 1(4 alla et al lZ anchora agugneraj l(Z chosa menD et aremo lZ meno l(Z
meta di 6 l(Z, doe a 3 1(4, fanno 4 l(Z per la maggiore parte. chosa. Et chosi abbiamo diviso 19 in 3 parti che, multiplichata
Et chosi araj che il 9 IjZ e diviso in 3 parti nella proportiona la prima per 3 e la seconda per 4 e la ter~a per 5, fanno Ie dette
lita chontinua ch' e' loro quadrati, insieme agunti, sono 33 1(4· multiplichationj agunte insieme 81. Ora ci resta solamente a ve
E la prima parte e z, la seconda 3, la ter~a 4 l(Z. dere se lle dette parti sono nella proportionalita chontinua. E, a
volerIo vedere, e da multiplichare la prima per la ter~a et vedere
4. - Fa', di 19, 3 parti nella proportionalita chontinua che se quella multiplichatione e quanto la multiplichatione della se
multiplichata la prima per 3 e lla seconda per 4 e la ter~a per 5 conda in se. Dove noi diciamo che lla prima e 7 menD l(Z chosa,
e quelle multiplichationj agunte insieme faccino 81. Adimanda~i la seconda e una chosa, la ter~a e lZ menD l(Z chosa. Onde mul
qualj sono quelle parti. Faraj positione che lla seconda parte.Sla tiplicheraj la prima per la ter~a, doe 7 meno l(Z chosa per lZ
una chosa; onde, se lla seconda parte e una cbosa, fra lla pnma menD l(Z chosa, fanno 84 et 1(4 censo menD 9 l(Z chose, doe
e lla ter~a sieno 19 menD una chosa. Ora multiplicha la seconda 1(4 di censo et 84 menD 9 l(Z chose. E questo e igualj alla multi
che e una chosa per 4, fanno 4 chose, et arai che multiplichato plichatione della sechonda parte in se, cioe alla multiplichatione
la seconda per4 fanno 4 chose. E noj didamo che, fra tutte quel d'una chosa in se, che fanno uno censo. Adunque uno censo e
Ie multiplichatione anno a fare 81. Adunque l'altre Z multipli igualj a 84 per numero et 1(4 censo menD 9 l(Z chose; dove ra
chatione, agunte insieme, debbono fare 81 menD 4 chose. Per la guaglierai Ie parti dando a ognj parte 9 l(Z chose et levando da
qual chosa araj a dividere 19 menD una chosa in Z parti che, l'una ogni parte 1(4 censo. Et arai 3(4 di censo et 9 l(Z chose igualj a
multiplichata per 3 e l'altra per 5, fanno 81 menD 4 chose. Et, 84 per numero; dove, orservando la quarta reghola, arrecheraj
di molti modi, piglia questo: che prima divideraj el 19 in Z parti a uno censo et araj uno censo et lZ z(3 chose igualj a IIZ; dove
che ll'una multiplichata per 3, l'altra per 5 faccino 81; che porraj dime~a Ie chose, sia la ~ta 6 1(3, multiplicha in se, fanno 40 1(9,