Transformationen und Signale PDF
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Dieter MOlier-Wichards Transformationen und Signale Transformationen und Signale Von Prof. Dr. rer. nat. Dieter Muller-Wichards Fachhochschule Hamburg EI3 B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig 1999 Prof. Dr. rer. nat. Dieter MOlier-Wichards Geboren 1946 in BOdelsdorfISchleswig-Holstein. Von 1967 bis 1972 Studium der Mathematik, Physik und Informatik mit anschlieBender Assistententatigkeit bis 1977 an der Universitat Kiel. 1976 Promotion in Angewandter Mathematik. Von 1977 bis 1989 wiss. Mitarbeiter der Deutschen Forschungs-und Versuchsanstalt fOr Luft-und Raumfahrt (DLR) in Gottingen (1981 bis 1989 als Rechenzentrumslei ter). 1986 einjahriger Aufenthalt als Gastwissenschaftler am IBM T. J. Watson Research Center in Yorktown Heights, N.Y. Von 1989 bis 1992 wiss. Mitarbeiter des Instituts fOr Supercomputing und Angewandte Mathematik des Wissen schaftlichen Zentrums Heidelberg der IBM (1990 bis 1992 als Leiter der Abteilung Ingenieurwissenschaftliche Anwendungen). Seit 1992 Professor fOr Mathematik am Fachbereich Elektrotechnik und Informatik der FH Hamburg. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Mliller-Wichards, Dieter: Transformationen und Signale / von Dieter MOller-Wichards. - Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1999 ISBN-13: 978-3-519-02742-3 e-ISBN-13: 978-3-322-80107-4 001: 10.1007/978-3-322-80107-4 Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver lages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen System en. © 1999 B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig Vorwort Dieses Buch wendet sich in erster Linie an Studenten der Elektrotechnik und Technischen Informatik im zweiten Studienjahr. Es kann auch fUr solche Stu denten der Mathematik von Nutzen sein, die sich fiir die Verwendung von Transformationen bei der Bearbeitung von kontinuierlichen und diskreten Zeit signalen interessieren. Es entstand als Begleittext zur Vorlesung Mathematische Methoden und zu Teilen der Vorlesung Numerische Methoden fiir Studierende der Elektrotechnik an der Fachhochschule Hamburg. In dem vorliegenden Text haben wir auf die Behandlung stochastischer Si gnale verzichtet und uns auf deterministische Signale beschriinkt. Das Schwergewicht der Darstellung liegt bei der Begriindung der mathema tischen Methoden mit dem Ziel, dem angehenden Ingenieur ein verstiindliches und zuverliissiges mathematisches Werkzeug in die Hand zu geben. Die Dar stellung ist im wesentlichen elementar, d.h. sie verwendet in erster Linie Eigen schaften unendlicher Reihen, Ergebnisse der Differential- u. Integralrechnung und solche der Linearen Algebra aus dem 1. Studienjahr. An einigen wenigen Stellen (etwa bei der Begriindung der Tatsache, dafi die trigonometrischen Funktionen ein vollstiindiges Funktionensystem bilden) benutzen wir Ergebnisse der (Lebesgue'schen) Integrationstheorie. Bei der Diskussion der Anwendung der Hilbert-Transformation im Rahmen der Amplitudenmodulation werden Ergebnisse der Funktionentheorie (d.h. der Theorie holomorpher bzw. analytischer Funktionen in der komplexen Ebene) verwendet. Fiir die Entwicklung der Impulsmethode, fiir die Beschreibung von Spektren periodischer Funktionen im rahmen der Fourier-Transformation, fUr eine kon sistente Beschreibung kontinuierlicher zeitunabhiingiger linearere Systeme und fiir die Formulierung des Abtasttheorems erweist sich die EinfUhrung von ver allgemeinerten Funktionen (sog. Distributionen) als sinnvoll und notwendig. Bei der Erweiterung der Fourier-Transformation auf Distributionen geniigt es fUr die Begriindung des Kalkiils, sich auf die punktweise Konvergenz der Funktionale auf der Menge der Testfunktionen zu beschriinken (und auf Ste tigkeitsbetrachtung der Funktionale zu verzichten). Dieser Verzicht erkliirt sich aus dem Bemiihen, die Darstellung so weit wie moglich elementar zu halten. die Reihenfolge der im vorliegenden Text angesprochenen Themen ergibt sich im Grofien und Ganzen aus den Erfordernissen an einen organischen mathematischen Aufbau. Die Folge ist, dafi manche Themen - wie etwa das Gibbs'sche Phiinomen oder die Autokorrelation - an verschiedenen Stellen des Textes behandelt werden, je nachdem ob es sich dabei urn periodische oder nichtperiodische Signale handelt. 6 Meinem Kollegen Peter Gerdsen mochte ich fiir seine Anregung zur Behand lung einseitiger Spektren von amplitudenmodulierten Signalen danken. Mein besonderer Dank gilt meinem Kollegen Heinz SudhOlter, der mir so zusagen den roten Faden fUr dieses Buch in die Hand gegeben hat. Hamburg im Dezember 1998 Dieter Miiller-Wichards Inhaltsverzeichnis o Einleitung 11 1 Fourier-Reihen 19 1.1 Eigenschaften und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Reelle und komplexe Darstellung der Fourier-Reihe 21 1.1.2 Symmetrie... 26 1.1.3 Differentiation. 27 1.1.4 OptimaliUit.. 29 1.2 Konvergenzsatze ... 36 1.2.1 Der Satz von Dirichlet 39 1.2.2 Das Gibbs'sche Phanomen 55 1.2.3 Konvergenz im quadratischen Mittel 58 1.2.4 GleichmaBige Konvergenz 64 1.3 Faltung und Korrelation . 66 2 Die Fourier-Transformation 73 2.1 Die Fourier-Transformation ..... 76 2.2 Korrespondenzen und Rechenregeln . 77 2.2.1 Ahnlichkeit und Verschiebung 78 2.2.2 Symmetrie........... 82 2.3 Glattheit u. Abklingverhalten der Transformierten . 83 2.3.1 Differentiationssatze ............ . 86 2.4 Parsevalsche Gleichung und inverse Transformation 90 2.5 Andere Formen der Fourier- Transformation . . . 105 2.6 Faltungssatz und zeitinvariante lineare Systeme . 106 2.6.1 Kreuz-und Autokorrelation . .112 2.6.2 Das Gibbs'sche Phanomen .... .113 3 Erweiterung der Fourier-Transformation 119 3.1 Distributionen .............. . .119 8 Inhaltsverzeichnis 3.1.1 Fourier-Transformation von Distributionen . . . . . . . . 124 3.1.2 Zeitinvariante lineare Systeme und die erweiterte Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . 128 3.1.3 Schwache Ableitung u. Differentiationssatze . 128 3.1.4 Weitere Rechenregeln. . . . . . . . . 132 3.1.5 Impulsmethode............. . 134 3.2 Schwache Konvergenz von Distributionen . . . . 137 3.2.1 Das Spektrum periodischer Funktionen . 138 3.2.2 Periodische Spektren . . . . . . . . . . . 141 3.2.3 Die Fourier-Transformierte der Sprungfunktion . . 146 3.2.4 Die Fourier-Transformierte eines Impulskammes . 150 3.3 Das Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . 153 3.4 Abtastung mit realen Impulsen .... · 164 3.4.1 Puls-Amplituden-Modulation 1 · 164 3.4.2 Puls-Amplituden-Modulation 2 .166 4 Diskrete und schnelle Fourier-Transformation 171 4.1 Die diskrete Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . 171 4.1.1 Fourier-Koeffizienten und Abminderungsfaktoren . 174 4.1.2 Datenverdichtung (Upsampling) . . . . . . .. . . . 180 4.1.3 Trigonometrische Interpolation fiir reelle Stiitzwerte. . 182 4.1.4 Die diskrete Fourier-Transformation. . 186 4.2 Die schnelle Fourier-Transformation ...... . · 191 4.2.1 Der Sande-Tukey Algorithmus ..... . · 192 4.2.2 Der Algorithmus von Cooley und Tukey .203 4.2.3 Die schnelle Faltung .......... . .207 5 Die Laplace-Transformation 209 5.1 Einige wichtige Eigenschaften ................... 212 5.2 Grenzwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.3 Laplace-Transformation und gewohnliche Differentialgleichungen 226 5.3.1 Lineare Differentialgleichungen 1. und 2.0rdnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . 226 5.3.2 Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . 233 5.4 Systeme und Differentialgleichungen . . 234 5.4.1 Sprungantwort . 235 5.4.2 Impulsantwort. . 236 5.4.3 Frequenzgang. . 238 5.4.4 Stabilitat ... . 240 5.5 Anwendung; Filterentwurf .240 Inhaltsverzeichnis 9 5.5.1 Butterworth-Filter . . . . . . . . . . . . . .241 5.5.2 Tschebyscheff-Filter ............ . .243 5.6 Zusarnmenschaltung und Zerlegung von Systemen .246 6 Die Z-Transformation 251 6.1 Zeitdiskrete Signale und zeitdiskrete Systeme . . 251 6.1.1 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . 255 6.2 Die Z-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . 258 6.2.1 Eigenschaften der Z-Transformation. . . 260 6.2.2 Differenzengleichung und Ubertragungsfunktion . 265 6.2.3 Diskrete zyklische Faltung fiir nichtrekursive Systeme . 268 6.2.4 Stabilitiit ........... . 271 6.3 Frequenzgang und Sprungantwort . . . 274 6.4 Nachbildung kontinuierlicher Systeme . 275 6.4.1 Impulsinvariante Nachbildung . 276 6.4.2 Sprunginvariante Nachbildung . 277 6.4.3 Bilineare Substitution . 280 6.4.4 Fourier-Ansatz .. . 282 7 Die Hilbert-Transformation 285 7.1 Konjugierte Funktionen und die Hilbert-Transformation. . 285 7.1.1 Anwendung: Frequenzmodulation .297 7.1.2 Das Spektrum kausaler Signale .. . . 298 7.2 Holomorphe Transformationen . . . . . . . . . 300 7.2.1 Anwendung: Amplitudenmodulation . 308 8 Anhang 311 8.1 Losungen der Aufgaben . .311 9 Literaturverzeichnis 315 10 Index 317 KapitelO Einleitung Die im vorliegenden Buch behandelten Transformationen dienen der Beschrei bung der Eigenschaften von kontinuierlichen und diskreten Signalen und des Verhaltens von kontinuierlichen und diskreten Systemen. Das Ausgangssignal eines zeitunabhangigen linearen Systems (kontinuierlich oder diskret) kann im Zeit bereich als Faltung des Eingangssignals mit der Im pulsantwort des Systems dargestellt werden. Urn die Berechnung des Faltungs integrals (oder dessen diskrete Version) zu vermeiden, geht man haufig den Weg, Eingangssignal und Impulsantwort der Laplace-Transformation (bei kon tinuierlichen) bzw. der Z-Transformation (bei diskreten Systemen) zu unter werfen, beide Transformierte miteinander zu multiplizieren und anschlieBend das Produkt zuriickzutransformieren. Grundlage fUr diese Vorgehensweise ist der fUr beide Transformationen giiltige Faltungssatz zusammen mit der ein deutigen Umkehrbarkeit beider Transformationen. Offenbar beschreibt die Transformierte der Impulsantwort das Verhalten des Systems vollstandig. Man bezeichnet sie als Ubertragungsfunktion des Sy stems. Ubertragungsfunktionen sind auf Teilmengen der komplexen Ebene de finiert (bei kontinuierlichen Systemen auf Halbebenen, bei diskreten auf Kreis ringen). Andererseits lassen sich zeitunabhangige lineare Systeme typischerweise durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (fiir kon tinuierliche) bzw. durch entsprechende Differenzengleichungen (fUr diskrete Systeme) beschreiben. Die zugehOrigen Ubertragungsfunktionen lassen sich direkt aus den Differential- bzw. Differenzengleichungen ablesen und erwei sen sich als rationale Funktionen. Da die Transformierte des Eingangssignals ebenfalls haufig eine rationale Funktion ist, gelingt die Riicktransformation in der Regel mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung, denn die Originalfunktionen der bei dieser Zerlegung im Bildbereich auftretenden Terme sind vollstandig D. Müller-Wichards, Transformationen und Signale © B.G. Teubner Stuggart · Leipzig 1999 12 Kapitel O. Einleitung bekannt. Da diskrete Systeme leichter zu bauen sind als kontinuierliche, ist es von Interesse zu untersuchen, inwieweit und in welchem Sinne sich das Verhalten kontinuierlicher Systeme durch diskrete nachbilden laBt. Es zeigt sich, daB eine solche Nachbildung nur partiell gelingt (impulsinvariante bzw. sprunginvarante Nachbildung). Eine andere Strategie del' Nachbildung beruht auf del' Beobach tung, daB ein kontinuierliches System sich als Zusammenschaltung von Inte gratoren (I-Gliedern) darstellen lafit. Del' mathematische Hintergrund diesel' Beobachtung besteht in del' Partialbruchzerlegung del' Ubertragungsfunktion des Systems. Die in del' Zerlegung auftretenden arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation und Division von Termen lassen sich im wesentlichen als Parallel-, Hintereinander-und Riickkopplungsschaltung von Elementarbau steinen interpretieren (wobei die Terme die Ubertragungsfunktionen del' Ele mentarbausteine darstellen). Diskretisiert man nun den Integrator durch eine numerische Naherung (z.B. mit del' Sehnentrapezregel als Differenzengleichung geschrieben) und ersetzt man in del' Ubertragungsfunktion des kontinuierlichen Systems die Ubertra gungsfunktion ~ des Integrators durch die Ubertragungsfunktion del' nume rischen Naherung, so erhalt man die Ubertragungsfunktion eines nachbilden den diskreten Systems (bilineare Substitution). Bei diesel' 'Substitution' gehen stabile Systeme in stabile Systeme uber. Dabei heiBt ein System stabil, wenn zu beschrankten Eingangssignalen stets beschrankte Ausgangssignale gehoren. Die Stabilitat eines (kontinuierlichen oder diskreten) Systems laBt sich durch die Lage del' Poistellen del' Ubertragungsfunktion bzw. durch absolute Inte grierbarkeit (absolute Summierbarkeit bei diskreten Systemen) del' Impulsant wort beschreiben. Fur viele Zwecke besonders wichtig ist das Frequenzverhalten eines Systems. Dieses laBt sich folgendermaBen skizzieren: die Antwort des Systems auf eine harmonische Schwingung einer bestimmten Frequenz ist (jedenfalls im einge schwungenen Zustand) eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, aller dings mit i.a. veranderter Amplitude und Phase. Amplitude und Phase des Ausgangssignals lassen sich zu einem komplexen Faktor zusammenfassen, del' von del' Frequenz abhangt. Die so deflnierte Funktion del' Frequenz wird als Frequenzgang des Systems bezeichnet. Es stellt sich heraus, daB del' Frequenz gang bei stabilen Systemen existiert und daB dann del' Frequenzgang eines kontinuierlichen Systems gerade gleich del' Ubertragungsfunktion auf del' ima ginaren Achse ist. Gleichzeitig lafit sich del' Frequenzgang als Spektrum del' Impulsantwort interpretieren. Das Spektrum des Ausgangssignals ergibt sich dann als Produkt des Spektrums des Eingangssignals mit dem Frequenzgang. Diese Aussage beruht auf dem Faltungssatz fur die Fourier-Transformation.
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