Traité de Géometrie Affine

171 Pages·2012·10.09 MB·French

by  Dominique Bourn

Dominique Boum
Troui’ré de
géoméîrie affine

Références‘ scnences
Troi’ré
de géomé’rrie affine
Dominique Boum
Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
paul.delaboulaye@edi’rions-e||ipses.fr
Calculdifférentiel, Marcel Grange, 240 pages, 2012.
Convolufion, sériesefinfégralesdeFourier, Jacques Peyrière, 120 pages, 2012.
DeI‘infégrafion auxprobabilifés, OlivierGare’r, Aline Kurizmann, 504 pages, 2011.
Épisfémologiemafhémafique, Henri Lombardi, 216 pages, 2011.
Géoméfrieeuclidienneélémenfaire, Aziz EI Kacimi Alaoui, 240 pages, 2012.
IngénierieDirigéeparles Modèles, Jean-MarcJézéquel, BenoîtCombemale, Didier
Voj’risek, 144 pages, 2012.
Infégrafion-lnfégraledeLebesgue efinfroducfional'analysefoncfionnelle,
ThierryGoudon, 192 pages, 2011.
Suifesefsériesnumériques. Suifes efsériesdefonctions, Mohammed EIAmrani,
456 pages, 2011.
Traifédegéoméfrieaffine, Dominique Bourn, 168 pages, 2012.
ISBN978-2—7298-72090
© EllipsesÉditionMarketingS.A.,2012
32,rueBargue75740Pariscedex15
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Introduction
L’usage bien établi est, aujourd’hui, de présenter une structure af—
fine X comme le résultat de l’action simplement transitive (on dit aussi
fidèlement transitive) d’un K—espace vectoriel E sur un ensemble X, où
K est un corps commutatif. S’il est certain, effectivement, que “faire de
la géométrie” au sens affine du terme, c’est essentiellement maîtriser la
relation affine/vectoriel, cette vectorialisation trop rapide de la situa-
tion en assèche radicalement, selon nous, la sève géométrique. Au point
d’ailleurs que cette aridité a peu à peu marginalisé la géométrie affine
dans le secondaire en un appendice mal identifié de la notion d’espace
vectoriel et l’a fait àpeu près disparaître, en tant que sujet indépendant,
du premier cycle universitaire.
Notre ambition ici est de donner à la Géométrie Affine la dignité
d’une théorie à part entière, qui nécessite une analyse raffinée de sa re-
lation à l’Algèbre Linéaire. Selon cette ambition, nous développerons les
questions structurelles, rarement abordées frontalement, de l’espace af-
fine produit et de l’espace affine quotient. Se priver de la-première (celle
du produit), c’est, par exemple, se priver de la possibilité de concevoir
une chose aussi simple que le fait que la construction du milieu d’un seg-
ment est une construction affine, et donc de la possibilité de l’exprimer
très naturellement comme une application affine ,a : X X X —> X ; se
priver de la seconde (celle du quotient), c’est se priver d’y voir l’essence
même du Théorème de Thalès qui en est une sorte de “fossile concep-
tuel”. Nous ne manquerons pas, par ailleurs, de faire varier le corps K
des scalaires.
La figure fondamentale de la géométrie affine est, on le sait bien, le
parallélogramme. La présentation par action d’un K—espace vectoriel a,
3
4 INTRODUC'TION
d’une certaine manière, le défaut de l’absorber instantanément, si bien
que cette figure fondamentale devient, aussi immédiatement, invisible,
alors même que le recours aux figures est probablement, pour les élèves
et les étudiants en début de cursus scientifique, un des supports les plus
stimulants de l’intuition et de l’imagination mathématiques qui sont les
premiers outils dont ils doivent développer l’usage, le second temps de
leur apprentissage consistant précisément en la mise en forme de leurs
représentations au moyen de la relation aflîne/vectorz'el dont il a été
question plus haut.
L’alternative à la présentation par action d’un K—espace vectoriel
consistera donc à. se concentrer sur la figure du parallélogramme. Le
quatrième sommet d’un parallélogramme étant déterminé par les trois
autres, il peut se penser, de fait, comme le résultat d’une opération
ternairep:X><X><X—>X:
513 .=p(x7y)z)
y Z
La seconde originalité de ce traité sera d’aborder la question de la
géométrie affine à travers l’étude systématique de cette opération ter-
naire. Elle permettra d’approcher, par étape, la notion d’espace af-
fine. Ces étapes, petites et grandes, dont la principale est synthétisée
sous la notion d’espace de Mal’cev, donneront aux étudiants les moyens
de se familiariser plus lentement avec ladite relation afi‘lne/vectorz'el
et d’apprendre à. la maîtriser sans être amené à. la considérer, assez
nébuleusement comme c’est souvent le cas, comme allant de soi.
Par ailleurs, l’outil essentiel de la géométrie affine est le calcul bary-
centrique. Mais les traités classiques se bornent généralement à. la ques-
tion du seul barycentre, en ignorant le rôle considérable des systèmes
massiques de poids nul. Focaliser davantage l’attention sur l’ensemble
des systèmes massiques, c’est se donner, par exemple, le moyens de pen-
ser et de montrer que l’application “barycentre” est elle-même une appli-
cation affine. Le cas particulier des systèmes autarciques (voir Définition
3.2.2.4) donnera, d’autre part un accès naturel à la fois à des questions
INTRODUCTION 5
très figuratives (voir Section 3.2.5 et Section 6.2) et à des questions
structurelles importantes (voir Section 5.4).
L’étape la plus déterminante de la mise en forme de la relation af-
fine/vectoriel, et déjà de la relation géométrie/algèbre qui préexiste au
niveau des espaces de Mal’cev, consiste à pouvoir exprimer les données
d’une situation géométrique en termes de transformation affine du type :
“n = f(m)”, comme dans l’exemple de la construction du milieu d’un
segment abordée plus haut. Une attention toute particulière sera donc
portée auxpropriétés des applications affines, et un grand nombre d’exer-
cices sera proposé pour illustrer ce mode remarquablement performant
d’utilisation de la relation aflîne/vectorz'el.
Enfin cette même figure du parallélogramme étant soutenue par
une égalité de la forme a = dc, elle pose la question de la nature
mathématique des objets ayant différentes représentations possibles,
question qui ne peut se résoudre rigoureusement que par la maîtrise
de la notion d’ensemble quotient par une relation d’équivalence. Un des
caractères marqués de ce traité sera donc attaché à. la maîtrise de cette
question.
Ce court traité de Géométrie Affine s’adresse principalement aux
étudiants du premier cycle universitaire, aux élèves des classes prépara-
toires, à. ceux qui préparent le CAPES ou l’agrégation et aux profes—
seurs du second degré. Avec la figure du parallélogramme, c’est sans
intermédiaires qu’il aborde ce domaine, en supposant connus les pré—
requis classiques de la théorie des ensembles, de la théorie des groupes
et de celle des espaces vectoriels. Cependant, pour être d’une lecture
autonome, il contient en Appendice les résultats les plus utiles concer-
nant ces matières, avec un accent particulier, comme il a été signalé plus
haut, sur la question de l’ensemble quotient.
Des exercices, soigneusement rédigés dans le style de l’ouvrage, sont
proposés à. la fin de chaque chapitre afin d’en illustrer le contenu et
de faire ressortir les bénéfices de l’investissement théorique. Cependant,
la lecture d’un traité de mathématiques devant, selon nous, se faire
un crayon à la main, nous avons choisi d’énoncer sous forme d’exercices
6 INTRODUCTION
quelques points élémentaires du cours dans le corps même du texte pour
inciter le lecteur A se saisir le plus rapidement possible du matériel
conceptuel.
L’auteur remercie Isar Stubbe de sa patiente et avisée relecture du
texte, ainsi que Denis Bitouzé, Philippe Marion et Christian Miebach
de l’aide qu’ils lui ont apporté dans la mise au point du document Latex
qui est à la base de cette édition.
Table des matières
Introduction 3
1 Espace de Mal’cev 11
1.1 Loi de Mal’cev ....................... 11
1.2 Relation d’équivalence de Chasles ............. 13
1.3 Direction d’un espace de Mal’cev ............. 14
1.4 Espace de Mal’cev et action de groupe .......... 16
1.5 Morphisme de Mal’cev ................... 17
1.6 Exercices ........................... 20
2 Construction d’espaces de Mal’cev 21
2.1 Sous-espace de Mal’cev ................... 21
2.1.1 Sous-espace ..................... 21
2.1.2 Parallélisme et “Postulat d’Euclide” ........ 24
2.2 Produit d’espaces de Mal’cev ............... 25
2.2.1 Espace produit ................... 25
2.2.2 Propriété universelle de l’espace produit ..... 26
2.3 Espace Mal’cev quotient .................. 27
2.3.1 Espace quotient ................... 27
2.3.2 Propriété universelle du quotient de Mal’cev . . . 30
2.4 Exercices ........................... 31
3 K-espace affine 35
3.1 Structure affine ....................... 35
3.2 Barycentre .......................... 38
3.2.1 Point massique, système massique ......... 38
3.2.2 Fonction de Leibniz d’un système massique . . . . 40
3.2.3 Barycentre ...................... 41
7
TABLE DES MATIÈRES
3.2.4 Propriétés du barycentre .............. 43
3.2.5 Systèmes massiques autarciques .......... 44
3.2.6 Exercices sur le barycentre ............. 46
3.3 Construction d’espaces affines ............... 47
3.3.1 Sous-espace affine, variété linéaire affine. ..... 48
3.3.2 Enfin de la géométrie affine. ............
3.3.3 Espace afiine produit ................ 53
3.3.4 Propriété universelle du produit d’espaces affines 54
3.3.5 Espace affine quotient ............... 56
3.3.6 Propriété universelle du quotient affine ...... 58
3.3.7 Le théorème de Thalès ............... 59
3.4 Applications affines ..................... 62
3.4.1 Principales propriétés ................ 62
3.4.2 “Postulat d’Euclide” pour les applications affines 62
3.5 Exercices ........................... 64
Le groupe affine 81
4.1 Endomorphisme affine ................... 81
4.2 Automorphisme aflîne ................... 84
4.2.1 Automorphisme ................... 84
4.2.2 Translation ..................... 84
4.3 Le sous-groupe des dilatations ............... 86
4.3.1 Dilatation ...................... 86
4.3.2 Homothétie affine .................. 88
4.4 Loi du groupe Dil(X) 94
4.5 Exercices................ ........... 97
Base affine et équation homogène 105
5.1 Repère affine ........................ 105
5.2 Repère affine et application affine ............. 111
5.3 Equation des hyperplans affines .............. 112
5.4 Propriété universelle de l’espace K1(X) .......... 115
5.5 Exercices ........................... 117
Convexité 123
6.1 Ensemble convexe ...................... 123
6.2 Le théorème de Helly .................... 125
6.3 Somme de Minkowski .................... 126