tores et vari´et´es ab´eliennes complexes

132 Pages·2017·0.92 MB·French

OlivierDebarre
´ ´ ´
TORES ET VARIETES ABELIENNES
COMPLEXES
OlivierDebarre
InstitutdeRechercheMathe´matiqueAvance´e,Universite´ LouisPasteuretCNRS,
7rueRene´ Descartes,67084StrasbourgCe´dex,France.
E-mail:[email protected]
Url:http://www-irma.u-strasbg.fr/˜debarre
Classification mathe´matique par sujets (2000). — 14-01, 14K20, 14K25, 14H52, 18F20,
32C10,32C17,32C18,32G1355N10,55N30,55Q52,58A10,58A12.
Mots clefs. — Tore complexe, varie´te´ abe´lienne, fonction theˆta, espace de modules,
the´ore`medeRiemann–Roch,theˆtaconstante(outhetanull).
TORES ET VARIE´TE´S ABE´LIENNES COMPLEXES
OlivierDebarre
Re´sume´. — Un des buts de ce livre est d’initier le lecteur a` des aspects modernes de la
ge´ome´trie analytique et alge´brique complexe a` travers la the´orie classique des tores com-
plexesetdesvarie´te´sabe´liennes.Partantdescourbeselliptiquescomplexes,onpasseensuite
aucasdeladimensionsupe´rieure,encaracte´risantdeplusieurspointsdevuelestorescom-
plexes qui sont des varie´te´s abe´liennes, c’est-a`-dire qui se plongent de fac¸on holomorphe
dansunespaceprojectif.Onde´montredesthe´ore`mesclassiquessurlesvarie´te´sabe´lienneset
onpasseenrevuelaconstructiondeleursespacesdemodules.Ledernierchapitrecontient
des re´sultats nouveaux sur la ge´ome´trie et la topologie de certaines sous-varie´te´s d’un tore
complexe.
Abstract(ComplexToriandAbelianVarieties). — Thisbooktakestheclassicaltheoryof
complextoriandcomplexabelianvarietiesasanexcusetogothroughmoremodernaspects
ofcomplexalgebraicandanalyticgeometry.Startingwithcomplexellipticcurves,itmoves
ontothehigher-dimensionalcase,givingcharacterizationsfromdifferentpointsofviewof
thosecomplextoriwhichareabelianvarieties,i.e.whichcanbeholomorphicallyembedded
inaprojectivespace.Standardtheoremsaboutabelianvarietiesareproved,andmodulispaces
are discussed. The last chapter includes new results on the geometry and topology of some
subvarietiesofacomplextorus.

TABLE DES MATIE`RES
Introduction.................................................................. 1
I. Re´seauxettorescomplexes.................................................. 5
1. Re´seaux................................................................. 5
2. Torescomplexes.......................................................... 6
3. Espacesprojectifs......................................................... 8
Exercices................................................................... 9
II. Courbeselliptiques........................................................ 11
1. Lafonction℘deWeierstrass............................................... 11
2. Fonctionstheˆtaetdiviseurs................................................. 15
3. Diviseursetthe´ore`medeRiemann–Roch.................................... 17
4. Espacedemodules........................................................ 19
5. Organisationdulivre...................................................... 21
Exercices................................................................... 21
III. Formesdiffe´rentiellesetcohomologiededeRham........................... 25
1. Formesalterne´es.......................................................... 25
2. Formesdiffe´rentiellesetcohomologiededeRham............................ 26
3. Inte´grationdesformesdiffe´rentielles,formesentie`res......................... 29
4. Formesdiffe´rentiellessurlestorescomplexes................................ 31
5. Formesdiffe´rentiellessurlesespacesprojectifs,formesdeKa¨hler.............. 34
Exercices................................................................... 35
IV. Fonctionstheˆtaetdiviseurs................................................. 37
1. Fonctionstheˆta........................................................... 37
2. Diviseurssurlesvarie´te´scomplexes......................................... 41
3. Fonctionsme´romorphessurlestorescomplexes.............................. 43
Exercices................................................................... 46
vi TABLEDESMATIE`RES
V. Fibre´sendroites,cohomologiedesfaisceauxetpremie`reclassedeChern....... 49
1. Fibre´sendroites.......................................................... 49
2. Constructiondefibre´sendroitessurlestorescomplexes....................... 53
3. Faisceaux................................................................ 54
4. Cohomologie............................................................. 56
5. Premie`reclassedeChern.................................................. 57
Exercices................................................................... 63
VI. Varie´te´sabe´liennes........................................................ 65
1. ConditionsdeRiemann.................................................... 65
2. The´ore`medeRiemann–Roch............................................... 67
3. Plongementdansunespaceprojectif........................................ 69
4. Dualite´ destorescomplexes................................................ 72
5. Sectionsdesfibre´sendroites............................................... 74
6. Varie´te´sabe´liennes........................................................ 76
7. Corpsdesfonctionsd’unevarie´te´ abe´lienne.................................. 78
8. The´ore`medere´ductibilite´ dePoincare´....................................... 79
9. De´compositiond’unevarie´te´ abe´liennepolarise´eenproduit.................... 80
10. Endomorphismesdesvarie´te´sabe´liennes................................... 82
Exercices................................................................... 84
VII. Espacesdemodules...................................................... 89
1. Espacesdemodulesdevarie´te´sabe´liennespolarise´es......................... 89
2. FonctionstheˆtadeRiemann................................................ 94
3. Formesmodulaires........................................................ 95
4. Plongementdesespacesdemodules......................................... 98
Exercices...................................................................102
VIII. Sous-varie´te´sd’untorecomplexe.........................................105
1. Sous-toreengendre´ parunepartie...........................................106
2. Intersectiondesous-varie´te´s................................................107
3. The´ore`medeconnexite´,groupefondamentaldessous-varie´te´s.................110
4. ApplicationdeGauss......................................................116
Exercices...................................................................121
Bibliographie.................................................................125
INTRODUCTION
Celivreestuneversione´toffe´ed’uncoursdeD.E.A.donne´ a` l’Universite´ LouisPasteur
auprintemps1997,dontlebute´taitd’offriruneintroductiona` lathe´orieclassiquedestores
complexes qui soit la plus e´le´mentaire possible, un peu dans l’esprit du livre [SD], tout en
pre´sentantenparalle`leunpointdevueplus(cid:28)moderne(cid:29),cequipermetd’unepartd’e´clairer
lescalculsdesmathe´maticiensduXIXesie`cle,d’autrepartdefamiliariserlelecteuravecdes
the´oriesplusre´centes(faisceaux,classesdeChern,cohomologie,etc.).Lestorescomplexes
sontide´auxdecepointdevue:onpeutfairetouslescalculs(cid:28)a`lamain(cid:29),sansquelathe´orie
soit totalement triviale. Les connaissances demande´es au lecteur sont donc tre`s limite´es; il
devrait pouvoir lire les chapitres I a` VI en sachant simplement ce que sont une varie´te´ et
une fonction holomorphe. Les deux derniers chapitres, qui n’ont pas e´te´ aborde´s dans le
cours proprement dit, sont d’acce`s peut-eˆtre plus difficile : l’avant-dernier parce qu’il est
assez technique, le dernier parce qu’il ne´cessite quelques connaissances (tre`s e´le´mentaires)
dege´ome´trieanalytique(oualge´brique)complexe.Jen’aicependantpasdutoutcherche´ ni
a` e´crireuntexte(cid:28)auto-suffisant(cid:29),n’he´sitantaucontrairepasa` interpre´ter(souventennote
de bas de page) certains des re´sultats dans le cadre de the´ories plus vastes mais inutiles au
bonde´roulementlogiquedulivre,nia`fournirpartoutdesde´monstrationscomple`tes.Chaque
chapitreestsuivid’unnombrevariabled’exercices.
Apre`suncourtpremierchapitreconsacre´ a` desre´sultatse´le´mentairessurlesre´seaux,on
passedanslechapitreIIa` lathe´orieanalytiqueclassiquedescourbeselliptiquescomplexes:
de´finition et proprie´te´s de la fonction ℘ de Weierstrass, re´alisation des courbes elliptiques
commecubiquesplanes,de´finitiondesfonctionstheˆta,desdiviseursetdugroupedePicard
d’une courbe elliptique. On termine par la construction d’un espace de modules pour les
courbeselliptiques,enexpliquantcommentl’ensembledeleursclassesd’isomorphismepeut
eˆtreparame´tre´,vial’invariantmodulairej,parladroitecomplexe.Cepanoramarapideper-
metd’expliquerdansuncadresimplebeaucoupdesquestions(maispastoutes!)traite´esdans
lasuitedulivrepourlestorescomplexesdedimensionquelconque.
On aborde dans le chapitre III une des questions centrales de ce livre : a` quelle condi-
tionuntorecomplexeadmet-ilunplongement(1) holomorphedansunespaceprojectif?On
explique d’abord une condition ne´cessaire, valable d’ailleurs pour toute varie´te´ complexe :
1. Nousutilisonslaterminologiehabituelle:unplongementestuneapplicationX→Pnquiinduitunisomor-
phismedevarie´te´scomplexesentreXetsonimage.
2 INTRODUCTION
l’existenced’uneformedeKa¨hlerentie`resurlavarie´te´.C’estlepre´textea` uneintroduction
rapidea` lacohomologiededeRhameta` sadescriptionpourlesespacesprojectifsetsurtout
pourlestorescomplexes,casdanslequeluneformedeKa¨hlerentie`readmetunedescription
extreˆmementconcre`teentermesdure´seauassocie´.
OnexaminedanslechapitreIVlameˆmequestion,maisd’unpointdevuetre`sclassique,
en se limitant ce coup-ci uniquement aux tores complexes. L’ide´e est de montrer que tout
morphismed’untorecomplexeversunespaceprojectifestdonne´pardesfonctionsd’untype
tre`s particulier, dites fonctions theˆta. C’est l’occasion de parler de diviseurs sur une varie´te´
complexe, le point essentiel e´tant de construire, pour tout diviseur effectif sur un tore com-
plexe,unefonctiontheˆtadontilestlediviseur(nousadmettonscertainsdesrudimentsdela
the´oriedesdiviseurs,enpartielefaitquel’anneaudesgermesdefonctionsholomorphessur
unevarie´te´ complexeestfactoriel).Onretrouveainsilefaitqu’untorecomplexeadmettant
unplongementholomorphedansunespaceprojectifposse`deuneformedeKa¨hlerentie`re,en
obtenant un re´sultat ge´ne´ral plus pre´cis : toute application holomorphe d’un tore complexe
X versunespaceprojectifsefactorisea`traversuntorequotientdeX appele´(cid:28)abe´lianise´de
X(cid:29),qui,lui,admetuneformedeKa¨hlerentie`re.Touteslesfonctionsme´romorphesettous
lesdiviseursdeX proviennentdesonabe´lianise´ (cor.IV.3.6,p.45).
On fait le lien dans le chapitre V entre les approches des deux chapitres pre´ce´dents en
de´finissantlesfibre´sendroitessurunevarie´te´complexe.Unbrefsurvol(sansde´monstration)
delathe´oriedesfaisceauxetdeleurcohomologienouspermetdede´finirlapremie`reclasse
deChernd’unfibre´endroitesdefac¸oncohomologiquecommeuneapplicationdugroupede
Picard vers le second groupe de cohomologie entie`re. On explique aussi comment calculer
la premie`re classe de Chern re´elle a` l’aide d’une me´trique hermitienne. La plupart de ces
re´sultats ne sont pas essentiels pour la suite. Ils nous permettent cependant de de´terminer
tous les fibre´s en droites sur un tore complexe (the´ore`me d’Appell-Humbert V.5.10, p.62).
Lelienentrelesapprochespre´ce´dentesestalorsclair:a`touteapplicationholomorpheud’un
torecomplexeXversunespaceprojectifPW estassocie´unfibre´endroitesLsurX,a`savoir
l’imageinversedufibre´ O (1)paru.Lorsqueure´aliseunisomorphismesursonimage,
PW
la forme de Ka¨hler entie`re sur X construite dans le chapitre III repre´sente l’image inverse
par u de la premie`re classe de Chern re´elle de O (1), tandis que celle construite dans le
PW
chapitreIVrepre´sentelapremie`reclassedeCherndeL:ellesco¨ıncident.
One´tudiedanslechapitreVIlare´ciproquedelaquestionpose´eplushaut:untorecom-
plexe admettant une forme de Ka¨hler entie`re peut-il se plonger dans un espace projectif?
La re´ponse est bien suˆr affirmative pour toutes les varie´te´s complexes compactes (c’est le
ce´le`brethe´ore`medeKodaira),maisonpeutde´montrercere´sultat(cid:28)a` lamain(cid:29)danslecas
destorescomplexes,enconstruisantexplicitementuntelplongementa` l’aidedesfonctions
theˆta de Riemann. On de´montre tout d’abord les conditions de Riemann, qui caracte´risent
concre`tement,entermesdure´seauassocie´,lestorescomplexessurlesquelsexisteuneforme
de Ka¨hler entie`re. Le phe´nome`ne nouveau par rapport a` la dimension 1 est que (cid:28)la plu-
part(cid:29)destorescomplexesneve´rifientpascesconditionsendimension>1(leurabe´lianise´
INTRODUCTION 3
estnul).Onde´montreensuitelethe´ore`medeRiemann–Rochdanslecasd’unfibre´endroites
ample sur un tore complexe (c’est-a`-dire que l’on calcule la dimension de l’espace de ses
sections). Le the´ore`me de Lefschetz s’en de´duit, qui montre qu’un tel fibre´ en droites (qui
existesuruntorecomplexesatisfaisantauxconditionsdeRiemann)permetdeconstruireun
plongementholomorphedutoredansunespaceprojectif.Onaainsicomple`tementre´pondua`
laquestioninitiale,enobtenantuneconditionne´cessaireetsuffisantesurunre´seaupourque
letorecomplexeassocie´ sere´alisecommesous-varie´te´ d’unespaceprojectif.Parlefameux
the´ore`medeChow,unetellesous-varie´te´ estalorsalge´brique,c’est-a`-direqu’elleestde´finie
pardese´quationspolynomiales(homoge`nes).C’estcequel’onappelleunevarie´te´abe´lienne
complexe.
Ce chapitre se termine par quelques constructions classiques sur les tores complexes :
dualite´, dimension de l’espace des sections d’un fibre´ en droites quelconque, polarisation
surunevarie´te´ abe´lienne,the´ore`medere´ductibilite´ dePoincare´ pourlesvarie´te´sabe´liennes,
description(rapide)del’alge`bredesendomorphismesrationnelsd’unevarie´te´ abe´lienne,in-
volutiondeRosati.Onmontrequelecorpsdesfonctionsme´romorphessuruntorecomplexe
est une extension de type fini du corps des nombres complexes, de degre´ de transcendance
e´gal a` la dimension de son abe´lianise´. Sont aussi inclus quelques re´sultats moins connus,
commel’unicite´delade´compositiond’unevarie´te´abe´liennepolarise´eenproduitdefacteurs
inde´composables(cor.VI.9.2,p.81).
Le but du chapitre VII est de pre´senter un survol de la the´orie des espaces de modules
de varie´te´s abe´liennes polarise´es, en sacrifiant le de´tail des de´monstrations plutoˆt que la
pre´cision des e´nonce´s, l’ide´e e´tant d’une part de ne pas noyer le lecteur de´butant, d’autre
part d’aider les spe´cialistes a` se retrouver dans le maquis parfois e´pais des notations des
ouvrages de re´fe´rence sur le sujet. Les conditions de Riemann du chapitre pre´ce´dent per-
mettent de montrer que les varie´te´s abe´liennes polarise´es de dimension et de type donne´s
sontparame´tre´esparlequotientd’undemi-espacedeSiegelparunsous-groupearithme´tique
du groupe symplectique, qu’un the´ore`me de Cartan permet de munir d’une structure d’es-
pace analytique dont on de´termine pre´cise´ment les points singuliers (th.VII.1.5, p.94, et
prop.VII.3.4, p.98). En dimension 1, l’invariant j permettait de re´aliser un isomorphisme
entrecetespacedemoduleetladroitecomplexe.Defac¸ontout-a`-faitanalogue,onmontre,
en suivant Igusa, que les (cid:28)theˆta-constantes(cid:29) (de´finies a` partir des fonctions theˆta de Rie-
mann)sontdesformesmodulairespourcertainssous-groupesarithme´tiquesdugroupesym-
plectiqueetpermettentdeplongercesespacesdemodulescommevarie´te´salge´briquesquasi-
projectives dans des espaces projectifs. C’est le the´ore`me principal de ce chapitre, aboutis-
sement des travaux de J. Igusa, D. Mumford et G. Kempf, dont on esquisse de fac¸on assez
de´taille´e la preuve. Les de´monstrations comple`tes se trouvent dans l’ouvrage de re´fe´rence
[LB].
Le dernier chapitre est de nature franchement plus ge´ome´trique et contient des re´sultats
plus re´cents dont certains apparaissent pour la premie`re fois dans un livre. On y utilise
4 INTRODUCTION
quelques outils ge´ome´triques supple´mentaires : dimension d’une varie´te´ analytique (peut-
eˆtre singulie`re), dimension des fibres d’une application holomorphe, varie´te´s normales,
the´ore`me de purete´, factorisation de Stein, mais rien n’empeˆche le lecteur de les admettre
(des re´fe´rences pre´cises sont fournies). Le re´sultat principal de ce chapitre est un the´ore`me
de connexite´ (th.VIII.3.1, p.111) du type Fulton-Hansen, dont on tire deux conse´quences
principales. La premie`re est que, sous quelques hypothe`ses simples, le groupe fondamental
d’unesous-varie´te´d’untorecomplexeX dedimensionstrictementplusgrandequelamoitie´
decelledeX estisomorphea`celuideX (cor.VIII.3.4,p.115).Lasecondeestquel’applica-
tiondeGaussd’unesous-varie´te´lissed’untorecomplexeinvariantepartranslationparaucun
sous-tore non nul, est a` fibres finies (cor.VIII.4.4, p.120), de sorte que son fibre´ canonique
estample.Cedernierre´sultatn’estpasoriginal,maisilestobtenucommeconse´quenced’un
nouveauthe´ore`me(th.VIII.4.2,p.119)montrantquepourdessous-varie´te´sAetBd’untore
complexe avec B ⊂ A, la dimension de A−B est e´gale a` celle de la re´union des espaces
tangentsa` AenlespointsdeB.