Topologie I: Erster Band. Grundbegriffe der Mengentheoretischen Topologie Topologie der Komplexe · Topologische Invarianzsatze und Anschliessende Begriffsbildungen · Verschlingungen im n-Dimensionalen Euklidischen Raum Stetige Abbildungen von Polyedern PDF
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DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WI S S EN S CHAFTE N IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE GEMEINSAM MIT W.BLASCHKE·F.K.SCHMIDT· B.L.VAN DER WAERDEN HERAUSGEGEBEN VON R. COURANT BAND XLV TOPOLOGIE I VON P. ALEXANDROFF UND H. HOPF SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH TOPOLOGI E VON PAUL ALEXANDROFF PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITAT MOSKAU UND HEINZ HOPF PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER EIDGEN. TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZORICH ERSTER BAND GRUNDBEGRIFFE DER MENGENTHEORETISCHEN TOPOLOGIE TOPOLOGIE DER KOMPLEXE . TOPOLOGISCHE INVARIANZ SATZE UND ANSCHLIESSENDE BEGRIFFSBILDUNGEN . VER SCHLINGUNGEN 1M n-DIMENSIONALEN EUKLIDISCHEN RAUM STETIGE ABBILDUNGEN VON POLYEDERN MIT 39 TEXTABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH ISBN 978-3-662-01726-5 ISBN 978-3-662-02021-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-02021-0 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN. COPYRIGHT 1935 BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEl JULIUS SPRINGER IN BERLIN. 1935 SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1935 L. E.]. BROUWER GEWIDMET Vorwort. In den 40 Jahren, die seit dem Erscheinen der "Analysis Situs" von POINCARE vergangen sind, hat sich die Topologie nicht nur zu einer bedeutenden, sondern auch zu einer auBerordentlich umfangreichen mathematischen Disziplin entwickelt; die wichtigsten Resultate dieser Entwicklung harren einer Darstellung, die gleichzeitig in die Vergangen heit und in die Zukunft weist: in die Vergangenheit als Zusammen fassung dessen, was heute inhaltlich abgeschlossen vorliegt; in die Zu kunft als zuverHissige Grundlage ffir weitere Forschungen. Die an und ffir sich schwierige Aufgabe, eine solche Darstellung eines immerhin jungen Zweiges der mathematischen Wissenschaft zu geben, wird im FaIle der Topologie dadurch besonders erschwert, daB die Entwicklung der Topo logie in zwei voneinander ganzlich getrennten Richtungen vor sich ge gangen ist: in der algebraisch-kombinatorischen und in der mengen theoretischen - von denen jede in mehrere weitere Zweige zerfallt, welche nur lose miteinander zusammenhangen. Als Marksteine in der Entwicklung der mengentheoretischen Topo logie dfirfen der Bericht fiber Punktmengen von SCHOEN FLIES (1908) und das klassische Buch von HAUSDORFF ("Grundzfige der Mengen lehre", 1914) gelten. In den letzten Jahren sind die Bucher von FREcHET ("Espaces abstraits"), von MENGER ("Dimensionstheorie", "Kurven theorie") und von KURATOWSKI ("Topologie I") erschienen. Dber die allgemeine kombinatorische Topologie gab es bis vor wenigen Jahren nur das grundlegende Werk von DEHN-HEEGAARD (Enzyklopadie-Artikel fiber "Analysis Situs", 1907) und das klassische Buch von VEBLEN ("Analysis Situs", 1922), denen 1930 die "Topology" von LEFSCHETZ folgte1. 1m Jahre 1934 erschien dann das "Lehrbuch der Topologie" von SEIFERT-THRELFALL, welches der Wahl des Stoffes nach ungefahr dem Buch von VEBLEN gleicht, diesen Stoff jedoch, den verflossenen Jahren entsprechend, wesentlich erganzt und modernisiert; seine leb hafte und instruktive Darstellung macht das Buch von SEIFERT-THREL FALL zur Einfiihrung und als Lehrbuch besonders geeignet. 1 Das in dieser Sammlung erschienene bekannte Buch von v. KEREKJART6 ist ebenso wie das Buch von REIDEMEISTER (Einfiihrung in die k~mbinatorische Topologie) ausschlieBlich der zweidimensionalen Topologie (FHichentopologie) gewidmet; diese Biicher nehmen daher einen besonderen Platz ein. VIII Vorwort. Aber keines unter den genannten Buchern behandelt die Topologie als ein Ganzes: vielmehr wird in jedem Buch konsequent nur ein Zweig dieser Wissenschaft dargestellt. Diese bis jetzt noch fehlende integrale Auffassung der Topologie liegt unserem Buch zugrunde, das drei Bande umfassen soIl. Wir wollen weder die mengentheoretische noch die kombinatorische Seite der Topo logie bevorzugen. Wir verzichten grundsatzlich auf die Trennung mengentheoretischer und kombinatorischer Methoden; wir betrachten vielmehr die V'berwindung dieser Trennung als eine der wichtigsten methodischen Aufgaben, die vor der weiteren Entwicklung der Topo logie stehen, und wir wollen zu der Losung dieser Aufgabe auch in diesem Buche nach Moglichkeit beitragen. Wirstellen uns keineswegs das Ziel, in den drei Banden dieses Buches eine Darstellung der ganzen Topologie zu geben, aber wir wollen dem Leser die Vorstellung von der Topologie als einem Ganzen zu er reichen helfen. Die Vorstellung yom Ganzen hoffen wir dadurch zu erwecken, daB wir diejenigen Teile der Topologie darstellen, die ffir jedes tiefere Eindringen in diese Wissenschaft unentbehrlich sind, die ffir ihre weitere Entwicklung maBgebend zu sein scheinen und die fur die Anwendungen der Topologie und ihre sonstigen Beziehungen zur ubrigen Mathematik und ihren Nachbargebieten besonders wichtig sind. Eine diesen Gesichtspunkten entsprechende Wahl des Stoffes wird naturlich niemals frei von gewissen subjektiven Momenten sein. Immer hin ist es auch objektiv zu verantworten, wenn wir die Begriffe des topologischen Raumes, des Komplexes und der n-dimensionalen Mannig faltigkeit als diejenigen Begriffe hervorheben, die in dem heutigen Auf bau der Topologie eine zentrale Rolle spielen. Urn diese Begriffe, ihre verschiedenen Spezialfii.lle, Verallgemeinerungen und Spielarten konzen trieren sich die heutzutage aktuellen allgemeinen topologischen Theo rien: die Homologietheorie der Polyeder und der kompakten Raume; die allgemeine Theorie der n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten; die Theorie der stetigen Abbildungen von Polyedern und Mannigfaltig kei ten; die Dimensionstheorie; die axioma tische (oder abstrakte) topo logische Raumtheorie; usw. . Niiheres uber den Aufbau des Buches erfiihrt der Leser aus der Einleitung, die gleichzeitig auch eine kurze geschichtliche Dbersicht der Grundlinien in der Entwicklung der Topologie zu geben versucht. Zwei Anhange stellen den algebraischen und den elementargeometri schen Hilfsapparat dar. Auf diese Weise soIl erreicht werden, daB das Buch so gut wie keine sachlichen Vorkenntnisse beim Leser voraussetzt. ]edoch wird eine gewisse allgemeine Kultur des abstrakten mathe matischen Denkens erwartet. Das Buch durfte daher voneinem Stu dierenden der mittleren Semester, der sich fUr begriffliche Mathematik interessiert, mit Erfolg gelesen werden. Trotzdem ist das Buch durch- Vorwort. IX aus nicht ein Lehrbuch im ublichen Sinne des Wortes: die Verfasser haben sich die Aufgabe gestellt, in luckenloser Darstellung, ohne die Allgemeinheit und die Abstraktion der Begriffsbildung zu scheuen, die grundlegenden Resultate einer erfolgreichen Periode in der Entwick lung der Topologie - einer Periode, die mit POINCARE beginnt und in den Arbeiten von BROUWER, ALEXANDER und anderen zur vollen Gel tung gekommen ist - zusammenzufassen und diese Resultate dem Leser als Instrument weiterer Forschung zur Verfugung zu stelleI1. Die ersten Anfange des Buches gehen auf die Vortrage und Semi nare zuruck, welche die beiden Verfasser, zum Teil gemeinsam, zum Teil getrennt, in den Jahren 1925-1931 am Mathematischen Institut der Universitat G6ttingen auf Einladung von Herrn COURANT gehalten haben. Von Herrn COURANT ist auch die direkte Aufforderung aus gegangen, dieses Buch zu schreiben. Wir danken ihm fUr seine freund schaftliche Initiative, ohne die unsere Zusammenarbeit nie zustande gekommen ware, und fur seine herzliche, bestandige und tatige Hilfs bereitschaft, auf die wir in jeder Hinsicht und bei jeder Gelegenheit rechnen konnten. - Die weiteren Plane fUr das Buch wurden in zahlreichen Gesprachen, fur welche die damalige mathematische Atmosphare G6ttingens be sonders befruchtend war, zwischen den Verfassern weiter entwickelt. Das Interesse fur Topologie in G6ttingen konzentrierte sich damals vor allem in dem regen mathematischen Kreise urn EMMY NOETHER. An sie denken wir heute in Dankbarkeit zuruck. Die allgemeine mathe matische Einsicht von EMMY NOETHER beschrankte sich nicht auf ihr spezielles Wirkungsgebiet, die Algebra, sondern ubte einen lebhaften EinfluB -auf jeden aus, der zu ihr in mathematische Beziehung kam. Fur uns war dieser EinfluB von der gr6Bten Bedeutung, und er spiegelt sich auch in diesem Buch wieder. Die Tendenz der starken Algebrai sierung der Topologie auf gruppentheoretischer Grundlage, der wir in unserer Darstellung folgen, geht durchaus auf EMMY NOETHER zuruck. Diese Tendenz scheint heute selbstverstandlich; sie war es vor acht Jahren nicht; es bedurfte der Energie und des Temperamentes von EMMY NOETHER, urn sie zum Allgemeingut der Topologen zu machen und sie in der Topologie, ihren Fragestellungen und ihren Methoden, diejenige Rolle spielen zu lassen, die sie heute spielt. - Von groBem EinfluB auf den Inhalt dieses Buches ist der Win ter gewesen, welchen die beiden Verfasser in Princeton verbracht haben (1927/28). Das anregende Milieu der Princetoner topologischen Schule hat unsere Arbeit wesentlich gef6rdert und uns zu neuen topo logischen Ansichten und Erkenntnissen gefuhrt. Wir erwahnen dankend viele Anregungen durch die Herren VEBLEN, ALEXANDER und be sonders LEFscHETz. - x Vorwort. Wir widmen diesen Band Herrn BROUWER. Die Wirkung seiner Leistungen ist in fast allen Teilen der Topologie und daher auch in fast allen Abschnitten unseres Buches zu spiiren. BROUWER als Topo loge und als Gelehrler iiberhaupt ist fiir unsere Tatigkeit in der Topo logie von entscheidender Bedeutung gewesen. Fiir den einen von uns (H. HOPF) bildeten die klassischen Untersuchungen BROUWERS iiber stetige Abbildungen den Anreiz und die Grundlage seiner ersten selbstandigen Arbeiten. Der andere (P. ALEXANDROFF) hat ein Jahr (1925-1926) in der Nahe von BROUWER verbracht, und in diesem Jahr haben seine topologischen Anschauungen unter dem EinfluB von BROUWER im wesentlichen ihre jetzige Gestalt bekommen. BROUWERS EinfluB ist, wie wir glauben, in diesem ganzen Buche lebendig geblieben. Was die Ausfiihrung des Buches betrifft, so wurden wir von vielen Freunden und Kollegen unterstiitzt. Aus Gesprachen mit Herrn PONTRJAGIN haben wir ofters wertvolle Anregung geschopft. Die Herren MARKOFF und STIEFEL haben mit auBerster Aufmerksamkeit sehr groBe Teile der Korrektur mitgelesen; wir verdanken ihnen viele wichtige Verbesserungen und Berichtigungen. Zahlreiche wertvolle Rat schlage haben uns auch die Herren HAUSDORFF, BORSUK, COHN-VOSSEN, KOLMOGOROFF sowie Fraulein P ANNWITZ erteilt, die aile an der Kor rektur teilgenommen haben. Fraulein PANNWITZ hat iiberdies das Sach verzeichnis ange£ertigt und uns dadurch eine groBe Arbeit abgenOIDID€ll. Die meisten Abbildungen sind von Herrn STIEFEL, einige sind von Herrn KOLMOGOROFF gezeichnet worden. Allen den genannten Kollegen dan ken wir herzlich fiir ihre freundliche und verstandnisvolle Mitwirkung. Die Verlagsbuchhandlung JULIUS SPRINGER hat nicht nur die Herausgabe des Buches in ihrer bekannten vorlrefflichen Weise aus gefiihrt, sondern ein Entgegenkommen und eine GroBziigigkeit gezeigt, we1che das iibliche MaB dessen, was die Verfasser erwarten durften, weit iibertrafen. Wir sprechen der Firma Springer fiir aile ihre Be miihungen und ihr Entgegenkommen unseren aufrichtigen Dank aus. Jalta (Krim) , am 28. September 1935. P. ALEXANDROFF. H. HOPF. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung ....... . 1 Erster Teil. Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie. Erstes Kapitel: Topologische und metrische Raume . . . . . 24 § 1. Die topologische Zuordnung und ihre verschiedenen Erzeugungsarten 25 § 2. Topologische Raume. . . . . . . . . . . 37 § 3. Stetige Abbildungen topologischer Raume. . . . . . . . . . 51 § 4. Trennungsaxiome: To- und T1-Raume . . . . . . . . . . . 58 § 5. Zerlegung von TrRaumen in disjunkte abgeschlossene Mengen. Be- ziehungen zu stetigen Abbildungen. Zerlegungsraume. . . . . 61 § 6. Trennungsaxiome: Hausdorffsche, regulare und normale Raume. 67 § 7. Raume mit abzahlbarer Basis . . 78 § 8. Der Urysohnsche Einbettungssatz. . . . . . 81 Zweites Kapitel: Kompakte Raume. . . . . . . 83 § 1. Kompakte und bikompakte topologische und metrische Raume . 84 § 2. Stetige Abbildungen und Zerlegungen bikompakter Raume 95 § 3. Spezialfall der Kompakten. . . . 99 § 4. Kompaktheit und Vollstll.ndigkeit. . . . . '. 104 § 5. Konvergenz von Mengenfolgen. . . . . . . 111 § 6. Zusammenhangsverhaltnisse in Kompakten. Die Kompakten als stetige Bilder des Cantorschen Diskontinuums. . 116 Anhang zum zweiten Kapitel: Induktive Eigenschaften. Brouwer scher Reduktionssatz. Irreduzible Kontinuen . . . . . . . . . . 123 Zweiter Teil. Topologie der Komplexe. Drittes Kapitel: Polyeder und ihre Zellenzerlegungen 124 § 1. Zellenkomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . 125 § 2. Unterteilungen von Zellenkomplexen . . . . . . . 133 § 3. Zellensysteme und Komplexe. Offene Teilmengen von Polyedern. 141 § 4. Baryzentrische Uberdeckungen. Krumme Polyeder. Ubergang zum abstrakten Standpunkt . . . . . . . . . . . . . . 147 Viertes Kapitel: Eckpunkt- und Koeffizien ten bereiche. 1 S4 § 1. Eckpunktbereiche. Absolute Komplexe . . . . . . 155 § 2. Orientierung. Algebraische Komplexe. Randbildung 161 § 3. Simpliziale Abbildungen . 172 § 4. Zyklen. Homologie . . 176 § 5. Zusammenhangsbegriffe . 185 § 6. Spezielle Komplexe. . . 195 Funftes Kapitel: Bettische Gruppen. 205 § 1. Allgemeine Eigenschaften • . . 205 § 2. Die ganzzahligen und die rationalen Bettischen Gruppen . 211 XII Inhaltsverzeichnis. Seitc § 3. Die Bettischen Gruppen modulo m. Zyklen erster und zweiter Art (bei beliebigem Koeffizientenbereich) . . . . . . . . . . .. 218 § 4. Die Beziehungen zwischen den Bettischen Gruppen der verschiedenen Koeffizientenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Sechstes Kapitel: Zerspaltungen und Unterteilungen von Komplexen 240 § 1. Zellenzerspaltung absoluter Komplexe. . . . . . . . . . . .. 240 § 2. Unterteilung Euklidischer Komplexe . . . . . . . . .. . .. 254 Anhang zu den Kapiteln IV, V, VI: Zusatze, Beispiele, Aufgaben 261 Siebentes Kapitel: Spezielle Fragen aus der Theorie der Komplexe 273 § 1. Gcschlossene und irreduzibel geschlossene Komplexe 274 § 2. Additionssatze . . 287 § 3. Produktkomplexc. . . 299 Dritter Teil. Topologische Invarianzsatze und anschlieBende Begriffsbildungen. Achtes Kapitel: Sim pliziale A pproxima tionen stetiger A b bild un gen. Stetigc Zyklen. . . . . . ................ . 313 § 1. Simplizialc Abbildungen von Unterteilungen eines Komplexes. 314 § 2. Der Approximationssatz .............. . 317 § 3. Homotopie- und Homologietypcn stetiger Abbildungen . 319 § 4. Topologische Abbildungen; Invarianzsatze . 323 § 5. Stetige Komplexe und Zyklen ... 332 § 6. Die Retrakteigenschaften krummer Polyeder; Anwendungen auf Homologien stetiger Zyklcn . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Neuntes Kapitel: Kanonischc Verschiebungen. Nochmals Invarianz der Dimensionszahl und der Bettischcn Gruppen. All gemeincr Dimensionsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . 347 § 1. Erhaltungs- und Uberfuhrungssatze fur Polyeder. . . . 348 § 2. Allgemeine kanonische Verschiebungen. Der Pflastersatz. Invarianz der Dimensionszahl und der Bettischen Gruppen. 352 § 3. Allgemeiner Dimensionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Anhang zu m neunten Ka pi tel: Elementare Beweise des Fixpunktsatzes fur das Simplex und des Pflastersatzcs. . . . . . . . . 376 Zehntes Kapitel: Der Zerlegungssatz fur den Euklidischen Raum. Weitere Invarianzsatze . . . . . . . . . ... . 379 § 1. Der Zerlegungssatz . . . . . . . . . .. .... . 380 § 2. Gebietsgrenzen. Der Jordan-Brouwersche Satz. Gebietsinvarianz 390 § 3. Weitere Anwendungen und Invarianzsatze. . . . . . . . . . 397 Anhang zum zehnten Kapitel: Raumzerlegung und wesentliche Ab- bildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Vierter Teil. Verschlingungen im Euklidischen Raum. Stetige Abbildungen von Polyedern. Elftes Kapitel: Verschlingungstheorie. Der Alexandersche Duali- ta tssa tz. . . . . . . . . . . . . . 409 § 1. Schnitt- und Verschlingungszahlen im R" . 410 § 2. Verschlingungen stetiger Zyklen . 423
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