Topologie I

70 Pages·2008·0.42 MB·German

TOPOLOGIE I
BERNHARD HANKE
1. Einleitende Bemerkungen
Hauptgegenstand dieser Vorlesung ist die sogannte algebraische Topo-
logie. Sie entwickelt systematische Methoden, um folgende Fragen zu
beantworten: Es seien X und Y topologische R¨aume. Sind X und Y
hom¨oomorph? Sind X und Y homotopie¨aquivalent? Zur Erinnerung:
Definition.
• Ein stetige Abbildung f : X → Y heißt Hom¨oomorphismus, falls
es eine stetige Abbildung g : Y → X gibt mit f ◦ g = id und
Y
g◦f = id . Die R¨aume X und Y heißen hom¨oomorph, falls es einen
X
Hom¨oomorphismus X → Y gibt. Wir schreiben dann X ≈ Y.
• Sind f,g : X → Y stetige Abbildungen, so nennen wir f und g
homotop, falls es eine stetige Abbildung H : X×[0,1] → Y gibt mit
H(x,0) = f(x) und H(x,1) = g(x) fu¨r alle x ∈ X (dies bedeutet
anschaulich, dass wir f in g deformieren k¨onnen; die Punkte in [0,1]
fassen wir dabei als Zeitparameter auf). In diesem Fall schreiben
wir f (cid:39) g.
• Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt Homotopie¨aquivalenz, falls
es eine stetige Abbildung g : Y → X gibt mit f◦g (cid:39) id und g◦f (cid:39)
Y
id . Die R¨aume X und Y heißen homotopie¨aquivalent (oder vom
X
gleichen Homotopietyp), falls es eine Homotopie¨aquivalenz X → Y
gibt. WirschreibendannX (cid:39) Y. EinRaumheißtzusammenziehbar,
falls er homotopie¨aquivalent zum einpunktigen Raum ist.
Homotopie definiert eine A¨quivalenzrelation auf der Menge aller steti-
genAbbildungenX → Y undHom¨oomorphismusundHomotopie¨aquivalenz
A¨quivalenzrelationenaufderKlasseallertopologischenR¨aume. Hom¨oomor-
phe R¨aume sind homotopie¨aquivalent, aber die Umkehrung gilt in der Regel
nicht: Die R¨aume Rn sind alle zusammenziehbar, aber (falls n > 0) sicher
nicht hom¨oomorph zum einpunktigen Raum.
Im allgemeinen stellt sich die Situation folgendermaßen dar: Sind X und
Y tats¨achlich hom¨oomorph oder homotopie¨aquivalent, so kann man dies
nachweisen, indem man einen Hom¨oomorphismus oder eine Homotopie¨aqui-
valenz explizit konstruiert. Und dies ist in vielen F¨allen tats¨achlich m¨oglich.
Sind aber X und Y nicht hom¨oomorph oder homotopie¨aquivalent, so muss
1
2 BERNHARDHANKE
man sich einen Grund einfallen lassen, warum es keine einzige stetige Ab-
bildung X → Y mit den gewu¨nschten Eigenschaften geben kann. Die Kon-
struktion von stetigen AbbildungenX → Y hilft hier aber nicht weiter. Wir
zitieren:
Satz 1.1. Die 2-Sph¨are S2 und der 2-Torus T2 = S1 × S1 (“Fahrrad-
schlauch”) sind nicht homotopie¨aquivalent. Die R¨aume Rn und Rm sind
genau dann hom¨oomorph, falls n = m.
Die zweite Aussage wurde erst im Jahre 1910 mathematisch lu¨ckenlos
bewiesen - sie wird mit den Methoden dieser Vorlesung aber leicht zu zeigen
sein.
Die Idee der algebraischen Topologie ist die folgende: Konstruiere fu¨r
jeden topologischen Raum X (eventuell mit gewissen Zusatzeigenschaften)
ein diskretes Objekt F(X). Dies kann eine Menge sein oder eine Grup-
pe oder ein komplizierteres algebraisches Objekt wie z. B. ein Ring. Die
Konstruktion sollte funktoriell sein, d.h. ist f : X → Y eine stetige Abbil-
dung, so erhalten wir eine induzierte Abbildung F(f) : F(X) → F(Y), die
die algebraischen Strukturen von F(X) und F(Y) respektiert. Weiterhin
sollte fu¨r stetige Abbildungen f : X → Y, g : Y → Z die Kompositi-
onsregel F(g ◦f) = F(g)◦F(f) gelten und F(id ) = id . Angenom-
X F(X)
men, f : X → Y ist ein Hom¨oomorphismus. Es sei g : Y → X invers
zu f. Haben wir eine Zuordnung F wie oben gefunden, dann folgt, dass
F(f) : F(X) → F(Y) und F(g) : F(Y) → F(X) zueinander inverse Abbil-
dungen sind, die die jeweiligen algebraischen Strukturen respektieren, d.h.
F(X) und F(Y) sind isomorph (als Gruppe, o.¨a.). Wenn wir weiterhin an-
nehmen, dass wir F(X) fu¨r viele R¨aume X berechnen k¨onnen, dann k¨onnen
wir hoffen, dass sich bei dieser Berechnung herausstellt, dass F(X) und
F(Y) nicht isomorph sind (als Gruppen o.¨a.). Fu¨r algebraische Objekte
kann man dies sehr oft direkt zeigen (z.B. sind zwei Vektorr¨aume genau
dann isomorph, wenn sie die gleich Dimension haben). Sind aber F(X)
und F(Y) nicht isomorph, so k¨onnen X und Y nicht hom¨oomorph gewe-
sen sein. Die algebraische Topologie realisiert diese Programm auf ¨außerst
befriedigende Weise: Sie konstruiert Funktoren F der obigen Art von der
Kategorie der topologischen R¨aume in algebraische Kategorien wie Grup-
pen, Vektorr¨aume, etc. so dass die entsprechenden Objekte F(X) einerseits
effektiv berechnet werden k¨onnen, aber immer noch so viel Struktur von
X widerspiegeln, dass man interessante Folgerungen u¨ber X ziehen kann.
Die in der algebraischen Topologie konstruierten Funktoren F haben in der
Regel die Eigenschaft, dass homotope Abbildungen f,g : X → Y die glei-
che Abbildung F(f) = F(g) : F(X) → F(Y) induzieren. In diesen F¨allen
folgt daraus, dass F(X) und F(Y) nicht isomorph sind, dass X und Y nicht
einmal homotopie¨aquivalent sein k¨onnen.
In dieser Vorlesung werden wir drei derartige Konstruktionen kennenler-
nen:
• Homologiegruppen,
TOPOLOGIE I 3
• Homotopiegruppen,
• Bordismusgruppen.
Die Homologiegruppen einzufu¨hren wird zwar einige Zeit in Anspruch
nehmen. Wenn sie einmal zur Verfu¨gung stehen, ist der Umgang mit ihnen
allerdings sehr bequem und viele sch¨one S¨atze k¨onnen wir mit ihrer Hilfe
beweisen. Neben obigen Tatsachen, erw¨ahne ich den Jordanschen Kurven-
satz
Satz 1.2. Es sei f : Sn−1 → Rn eine topologische Einbettung (d.h. f ist ste-
tig und injektiv). Dann besteht Rn\f(Sn−1) aus genau zwei Komponenten,
wobei genau eine beschr¨ankt und eine unbeschr¨ankt ist.
Eine weitere wichtige Anwendung ist der Satz von Borsuk-Ulam:
Satz 1.3. Es sei f : Sn → Rn eine stetige Abbildung. Dann existiert ein
Punkt x ∈ Sn mit f(x) = f(−x).
Des weiteren werden wir eine wichtige Invariante, die Eulercharakteristik
einesSimplizialkomplexesuntersuchenunddieEulersche Polyederformelbe-
weisen:
Satz1.4. IneinemkonvexenPolyederimR3 giltfu¨rdieAnzahlederEcken,
k der Kanten und f der Fl¨achen die Formel
e−k+f = 2.
Das sch¨one an dieses Anwendungen ist, dass die Homologietheorie zwar
fu¨r den Beweis eine entscheidende Rolle spielt, aber in den S¨atzen selbst
nicht vorkommt.
Homologiegruppen kann man insbesondere fu¨r simpliziale Komplexe und
sogenannten CW-Komplexe effektiv berechnen. Wir werden diese Klassen
von R¨aumen ausfu¨hrlich diskutieren. W¨ahrend der Diskussion der Homolo-
giegruppen werden wir parallel einige Grundlagen der homologischen Alge-
bra entwickeln.
DieHomotopiegruppensindeinfacherzudefinierenalsHomologiegruppen
undingewisseHinsichtdiegrundlegenderenInvarianten. Allerdingssindsie
viel schwerer zu berechnen als Homologiegruppen und zum Beispiel fu¨r kei-
ne der Sph¨aren Sn mit n ≥ 2 vollst¨andig bekannt. Die Bordismusgruppen
schlagen eine Bru¨cke zur Differenzialtopologie, d.h. zur Untersuchung diffe-
renzierbarer Mannigfaltigkeiten. Diese liefern einerseits viel Beispielmateri-
al fu¨r die Anwendung der Homologietheorie, gestatten es aber andererseits
auch, das interessante Wechselspiel von differentialtopologischen Methoden
(insbesondere Transversalit¨at) und Methoden aus der Homologie- und Ho-
motopietheorie zu studieren.
Heutzutage ist die algebraische Topologie eine hochentwickelte Theorie
mit zahlreichen Bezu¨gen zur Differentialgeomtrie, zur algebraischen Geome-
trie und zur Algebra.
4 BERNHARDHANKE
2. Simpliziale und singula¨re Homologie
BevorwirHomologiegruppenfu¨rbeliebigetopologischeR¨aumedefinieren,
veranschaulichen wir zun¨achst die wesentliche Idee im speziellen Fall der
Simplizialkomplexe. Fu¨r die weitere Entwicklung der Theorie werden wir
uns allerdings dann einen etwas anderen Zugang w¨ahlen. Sp¨ater in der
Vorlesung werden wir wieder auf die Simplizialkomplexe zuru¨ckkommen.
Es sei N ∈ N eine natu¨rliche Zahl. Wir erinnern: Ein affines n-Simplex
(oder auch n-dimensionales Simplex im RN (wobei 0 ≤ n ≤ N) ist die
konvexe Hu¨lle von n + 1 affin unabh¨angigen Punken p ,...,p ∈ RN.
0 n+1
Affin unabh¨angig bedeutet, dass die Vektoren p − p ,...,p − p line-
1 0 n 0
ar unabh¨angig im RN sind. Diese konvexe Hu¨lle kann mit der Menge
{ n t p |0 ≤ t ≤ 1, t = 1} ⊂ RN identifiziertwerden(wirk¨onnendies
i=0 i i i i
(cid:80) (cid:80)
hier auch als Definition der konvexen Hu¨lle nehmen). Wir nennen p ,...,p
0 n
die Ecken dieses affines Simplex. Die konvexe Hu¨lle einer (nicht notwendig
echten) Teilmenge von {p ,...,p } heißt eine Seite des affinen n-Simplex.
0 n
Diese Seiten sind selbst affine Simplizes. Ein endlicher geometrischer Sim-
plizialkomplex im RN ist eine Menge S endlich vieler affiner Simplizes im
RN mit den folgenden Eigenschaften:
• Ist K ∈ S und T ⊂ K eine Seite von T, so ist T ∈ S.
• Sind K ,K ∈ S, so ist K ∩K eine Seite von K und von K oder
1 2 1 2 1 2
leer.
Die Vereinigung K ⊂ RN wird der zu S geh¨orende Polyeder genannt
K∈S
und mit |S| beze(cid:83)ichnet. Der Simplizialkomplex S heißt Triangulierung von
|S|. Eine feste Teilmenge des RN kann durchaus verschiedene Triangulie-
rungen besitzen. Ein geordneter geometrischer Simplizialkomplex im RN ist
ein geometrischer Simplizialkomplex S zusammen mit einer totalen Ord-
nung auf der Menge aller Punkte im RN, die als Ecken von Simplizes in S
auftreten. Ist K ∈ S ein Simplex in einem geordneten Simplizialkomplex
mit Ecken v ,...,v , so bezeichnen wir dieses Simplex mit (cid:104)v ,...,v (cid:105) falls
0 n 0 n
mit der induzierten Ordnung v < v < ... < v gilt. Es sei nun S ein
0 1 k
geordneter geometrischer Simplizialkomplex. Eine simpliziale n-Kette in S
ist eine formale Linearkombination
λ ·σ,
(cid:88) σ
σ∈Sn
wobei S ⊂ S die Menge der geordneten n-dimensionalen Simplizes bezeich-
n
net und λ ∈ Z fu¨r alle σ ∈ S . Wir bezeichnen mit C (S) die Menge der
σ n n
simplizialen n-Ketten. Diese Menge besitzt offensichtlich die Struktur einer
abelschen Gruppe (durch Addition der Koeffizienten in Z). Eine n-Kette
kann nicht direkt als geometrisches Objekt interpretiert werden (obwohl wir
sp¨ater sehen werden, dass dies in vielen F¨allen doch m¨oglich ist), die auftre-
tenden Simplizes selbst sind aber geometrische Objekte und dies erlaubt es
uns, gewisse geometrische Operationen auf diese formalen Ketten zu u¨bert-
ragen. Speziell geht es hier um den U¨bergang von einem n-Simplex auf
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seinen Rand. Dieser ist geometrisch gesehen einfach die Vereinigung seiner
(n−1)-dimensionalen Seiten. Diese Seiten mu¨ssen aber noch “richtig” ori-
entiert werden: Ist (cid:104)p ,...,p (cid:105) ∈ S ein (orientiertes) n-Simplex, so setzen
0 n
wir
n
∂(cid:104)p ,...,p (cid:105) := (−1)i(cid:104)p ,...,pˆ,...,p (cid:105)
0 n (cid:88) 0 i n
i=0
wobei der Hut bedeutet, dass die i-te Ecke in dem betreffenden Simplex
weggelassen wird (es handelt sich also um die der entsprechenden Ecke ge-
genu¨berliegende (n − 1)-dimensionale Seite). Auf der rechten Seite steht
nun tats¨achlich wieder eine formale Linearkombination von (geordneten)
(n−1)-Simplizes. Durch lineare Fortsetzung erhalten wir einen Gruppen-
homomorphismus
∂n : Cn → Cn−1.
Einzelne Simplizes in S haben immer einen nichtleeren Rand (falls die Di-
mension mindestens 1 ist), aber es kann durchaus vorkommen, dass fu¨r eine
Kette c ∈ C gilt ∂c = 0. So eine Kette entspricht dann einem “geschlosse-
n
nen”(d.h. randlosen)geometrischenGebildeinS undwirdn-Zykelgenannt.
Es sei
Z (S) := ker∂ ⊂ C (S)
n n n
die Gruppe der n-Zykeln (wir setzen ∂ = 0, also Z (S) = C (S)). Homo-
0 0 0
logie z¨ahlt nun in gewisser Weise n-Zykeln, aber gewisse n-Zykeln werden
ignoriert, n¨amlich die n-R¨ander. Dazu beachte man die fundamentale Glei-
chung
Proposition 2.1. Fu¨r n ∈ N, n ≥ 1, gilt ∂n−1◦∂n = 0.
Beweis. Nur die F¨alle n ≥ 2 sind interessant. Wir rechnen
∂n−1◦∂n(cid:104)v0,...,vn(cid:105) = (cid:88)(−1)i(−1)j(cid:104)v0,...,vˆj,...,vˆi,...,vn(cid:105)+
j<i
(−1)i(−1)j−1(cid:104)v ,...,vˆ,...,vˆ,...,v (cid:105).
(cid:88) 0 i j n
j>i
Diese Summe ist 0, denn vertauscht man in der zweiten Summe i und j, so
erh¨alt man das Negative der ersten Summe. (cid:3)
GeometrischentsprichtdiesderAussage“R¨andervonR¨andernsindleer”.
Bezeichen wir mit
B (S) := im∂ ⊂ C (S)
n n+1 n
die Untergruppe der n-R¨ander, so ist also B (S) in Wirklichkeit schon Un-
n
tergruppe von Z (S). Die n-Zykel, die einfach nur n-R¨ander sind, werden
n
nun in der Homologie nicht gez¨ahlt (sondern in gewisser Weise nur die “we-
sentlichen” n-Zykel). Die n-te Homologiegruppe H (S) des gegebenen ge-
n
ordneten Simplizialkomplexes ist somit definiert als die Quotientengruppe
H (S) := Z (S)/B (S).
n n n
6 BERNHARDHANKE
D.h. einElementinH (S)wirddurcheinenn-Zykelc ∈ Z (S)repr¨asentiert
n n
und zwei n-Zykel c,d ∈ Z (S) repr¨asentierten die gleiche Homologieklasse,
n
falls c−d ein Rand ist, d.h. falls es ein x ∈ C (S) gibt mit ∂x = c−d.
n+1
Beispiel. Es seien p := (0,0),p := (1,0),p := (0,1) ∈ R2 mit der durch
0 1 2
die Indizes angedeuteten totalen Ordnung. Weiterhin sei
S := {(cid:104)p (cid:105),(cid:104)p (cid:105),(cid:104)p (cid:105),(cid:104)p ,p (cid:105),(cid:104)p ,p (cid:105),(cid:104)p ,p (cid:105)}
0 1 2 0 1 1 2 0 2
∼ ∼
Dann ist C (S) = Z3 mit Erzeugern a := (cid:104)p (cid:105),b := (cid:104)p (cid:105),c := (cid:104)p (cid:105), C (S) =
0 0 1 2 1
Z3 mit Erzeugern X := (cid:104)p ,p (cid:105),Y := (cid:104)p ,p (cid:105),Z := (cid:104)p ,p (cid:105) und C (S) = 0
0 1 1 2 0 2 i
fu¨r alle i > 1. Weiterhin ist
∂X = b−a, ∂Y = c−b, ∂Z = c−a.
SomitgiltH (S) ∼= ZmitErzeuger[a](dieEckigenKlammerndeutenU¨ber-
0
∼
gang zu Restklassen an, insbesondere ist [a] = [b] = [c]) und H (S) = Z mit
1
Erzeuger [X +Y −Z], H = 0 fu¨r alle i > 1.
i
Fu¨r n ∈ N, n ≥ 0, definieren wir das geometrische Standard-n-Simplex
n
∆n := { t e | 0 ≤ t ≤ 1, t = 1} ⊂ Rn+1.
(cid:88) i i i (cid:88) i
i=0
Dabei bezeichnet e ∈ Rn+1, 0 ≤ i ≤ n, den i-ten Standard-Basisvektor. Die
i
Menge {e ,...,e } ist in der offensichtlicher Weise total geordnet (durch die
0 i
Indizes). Das Simplex ∆n besitzt eine kanonische Triangulierung (gegeben
als die Menge aller seiner Seiten).
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Es ist etwas unhandlich, die Homologietheorie direkt an den geometri-
schen Simplizialkomplexen zu entwickeln (wir werden allerdings sp¨ater auf
diesen Spezialfall zuru¨ckkommen). Der folgende Aufbau bietet mehr Flexi-
bilit¨at.
Definition. Es sei X ein topologischer Raum. Dann ist ein singul¨ares
n-Simplex in X eine stetige Abbildung
σ : ∆n → X.
Wir bezeichnen mit ∆ (X) die Menge der singul¨aren n-Simplizes in X und
n
mitC (X)diefreieabelscheGruppeu¨ber∆ (X),d.h. ElementevonC (X)
n n n
sind formale Linearkombinationen
λ ·σ,
(cid:88) σ
σ∈∆n(X)
wobei alle λ ∈ Z und λ = 0 fu¨r alle bis auf endlich viele σ ∈ ∆ (X). Die
σ σ n
Elemente von C (X) werden singul¨are n-Ketten in X genannt.
n
Wir definieren fu¨r n ≥ 1 den Randoperator
∂n : Cn(X) → Cn−1(X)
auf den singul¨aren n-Simplizes von X durch
n
∂ σ := (−1)iσ| .
n (cid:88) (cid:104)e0,...,eˆi,...,en(cid:105)
i=0
Dabei bezeichnet (cid:104)e ,...,eˆ,...,e (cid:105) die i-te Seite von ∆n. Diese idenfifizie-
0 i n
ren wir mit ∆n−1 vermittels des affinen Hom¨oomorphismus
∆n−1 → (cid:104)e ,...,eˆ,...,e (cid:105)
0 i n
der die j-te Ecke von ∆n−1 auf e ∈ Rn+1 abbildet, falls j < i und auf e ,
j j+1
falls j ≥ i. Damit ist ∂σ in der Tat eine singul¨are (n−1)-Kette in X. Zur
Bequemlichkeit setzen wir noch ∂ := 0. Wir erhalten fu¨r n ≥ 0
0
Z (X) := ker∂ ⊂ C (X),
n n n
die Gruppe der singul¨aren n-Zykel in X und
B (X) := im∂ ⊂ C (X),
n n+1 n
die Gruppe der singul¨aren n-R¨ander in X.
Ganz analog zu vorhin zeigt man die fundamentale Gleichung
∂n−1◦∂n = 0
fu¨r n ≥ 1.
Damit ist B (X) eine Untergruppe von Z (X) fu¨r alle n ≥ 0 und wir
n n
k¨onnen
H (X) := Z (X)/B (X)
n n n
definieren. Dies ist die n-te singul¨are Homologiegruppe von X. Diese Grup-
pen sind der zentrale Gegenstand im ersten Teil dieser Vorlesung. Es wird
8 BERNHARDHANKE
sich zeigen, dass sie sich relativ einfach berechnen lassen und andererseits
wichtige Eigenschaften des topologischen Raumes X widerspiegeln.
Bevor wir fortfahren, abstrahieren wir noch die bisher eingefu¨hrte Struk-
tur.
Definition. Ein Kettenkomplex ist eine Paar (C∗,∂∗) = ((Cn)n∈N,(∂n)n∈N)
bestehend aus Familien von abelschen Gruppen C und Gruppenhomomor-
n
phismen ∂n : Cn → Cn−1 (wir setzen C−1 := 0, d.h. ∂0 = 0) mit der
Eigenschaft, dass ∂n−1◦∂n = 0 fu¨r alle n ≥ 1. Wir setzen Zn(C∗) := ker∂n
(Gruppe der n-Zykeln), Bn(C∗) := im∂n+1, (Gruppe der n-R¨ander) und
Hn(C∗) := Zn(C∗)/Bn(C∗) (n-te Homologiegruppe von (C∗,∂∗)) fu¨r n ≥ 0.
Der singul¨are Kettenkomplex (C∗(X),∂∗) eines topologischen Raumes X
ist ein Beispiel fu¨r einen Kettenkomplex.
Wir bemerken, dass die singul¨aren Homologiegruppen funktoriell in X
sind. Sei dazu f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen
R¨aumen. Ist σ : ∆n → X ein singul¨ares n-Simplex in X, so ist f ◦ σ :
∆n → Y ein singul¨ares n-Simplex in Y. Damit erhalten wir Abbildungen
von abelschen Gruppen
f : C (X) → C (Y).
n n n
Diese sind mit den Randoperatoren ∂ vertr¨aglich, d.h. fu¨r alle n ≥ 0 ist
n
f ◦∂ = ∂ ◦f .
n n+1 n+1 n+1
Insbesondere gilt also f (Z (X)) ⊂ Z (Y) und f (B (X)) ⊂ B (Y) und
n n n n n n
wir erhalten induzierte Abbildungen
H (f) : H (X) → H (Y)
n n n
fu¨r alle n ≥ 0. Da offensichtlich H (id ) = id fu¨r alle n und
n X Hn(X)
H (f ◦ g) = H (f) ◦ H (g) fu¨r g : X → Y und f : Y → Z, definieren
n n n
die Homologiegruppen H also Funktoren Top → AbGr von der Katego-
n
rie der topologischen R¨aume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Als
unmittelbare Folgerung notieren wir:
Proposition 2.2. Hom¨oomorphe R¨aume haben isomorphe singul¨are Homo-
logiegruppen.
TOPOLOGIE I 9
Definition. Es seien (C∗,∂∗) und (D∗,∂∗) Kettenkomplexe. Eine Ket-
tenabbildung f∗ : C∗ → D∗ ist eine Folge fn : Cn → Dn von Grup-
penhomomorphismen, die mit den Randoperatoren vertr¨aglich sind, d.h.
f ◦ ∂ = ∂ ◦ f . Wir erhalten somit induzierte Abbildungen
n n+1 n+1 n+1
f∗ : Z∗(C) → Z∗(D), f∗ : B∗(C) → B∗(D) und f∗ : H∗(C) → H∗(D)
(die wir alle mit f∗ bezeichnen). Ein Kettenisomorphismus ist eine Ket-
tenabbildung, die eine inverse Kettenabbildung besitzt
Wir erinnern: Ist (Ai)i∈I eine Familie (abelscher) Gruppen, so ist die
direkte Summe i∈IAi die Menge der Familien (ai)i∈I, ai ∈ Ai, wobei alle
(cid:76)
bis auf endlich viele a gleich 0 sind, versehen mit der komponentenweisen
i
Verknu¨pfung.
Proposition 2.3. Es sei X ein topologischer Raum und π (X) die Menge
0
der Wegekomponenten von X. Dann induzieren die Inklusionen C (cid:44)→ X
(fu¨r alle C ∈ π (X)) einen Isomorphismus
0
∼
H∗(C) = H∗(X).
(cid:77)
C∈π0(X)
Dies liegt daran, das jede singul¨are Kette in X kanonisch als Summe
singul¨arer Ketten in den einzelnen Wegekomponenten geschrieben werden
kann (jedes singul¨are Simplex liegt ja ganz in einer Wegekomponente).
Zusammen mit der folgenden Proposition k¨onnen wir H fu¨r jeden topo-
0
logischen Raum berechnen.
Proposition 2.4. Es sei X ein wegzusammenh¨angender nichtleerer topolo-
gischer Raum. Dann ist
∼
H (X) = Z
0
und wir k¨onnen als Erzeuger die Klasse eines beliebigen 0-Simplex ∆0 → X
w¨ahlen.
Beweis. Wir k¨onnen jedes singul¨are 0-Simplex in X einfach als Punkt in X
auffassen. Da ∂ = 0 ist also
0
Z (X) = { λ ·x | λ ∈ Z}
0 (cid:88) x x
x∈X
wobei fast alle λ = 0. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus
x
(cid:15) : Z (X) = C (X) → Z, λ ·x (cid:55)→ λ ∈ Z.
0 0 (cid:88) x (cid:88) x
Wir behaupten, dass (cid:15) eine Abbildung
(cid:15) : H (X) = Z (X)/B (X) → Z
0 0 0
induziert, d.h. dass (cid:15)| = 0. Sei dazu σ : [0,1] → X ein singul¨ares
B0(X)
1-Simplex. Dann ist (cid:15)(∂σ) = (cid:15)(σ(1)−σ(0)) = 1−1 = 0, wie gewu¨nscht.
Zu zeigen bleibt, dass (cid:15) : H (X) → Z ein Isomorphismus ist. Da X (cid:54)= ∅,
0
ist (cid:15) surjektiv. Fu¨r die Injektivit¨at sei x ∈ X beliebig und fu¨r alle x ∈ X
0
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sei w : [0,1] → X ein Weg von x nach x, den wir als singul¨ares 1-Simplex
x 0
in X auffassen. Es sei nun
c = λ ·x ∈ Z (X)
(cid:88) x 0
mit (cid:15)(c) = λ = 0. Wir mu¨ssen zeigen, dass c homolog zu 0 ist. Aber
x
(cid:80)
c−∂( λ ·w )
(cid:88) x x
ist homolog zu c und
c−∂( λ w ) = λ ·x = ( λ )·x = 0
(cid:88) x x (cid:88) x 0 (cid:88) x 0
wegen (cid:15)(c) = 0. (cid:3)
Wir beweisen nun:
Satz 2.5. Es seien f,g : X → Y homotope Abbildungen. Dann gilt
f∗ = g∗ : H∗(X) → H∗(Y).
Korollar 2.6. Homotopie¨aquivalente R¨aume haben isomorphe Homologie-
gruppen.
Als Vorbereitung fu¨hren wir ein neues Konzept ein.
Definition. Es seien φ∗,ψ∗ : C∗ → D∗ Kettenabbildungen. Eine Ketten-
homotopie von φ∗ nach ψ∗ ist eine Folge von Homomorphismen Pn : Cn →
D mit
n+1
∂P +P∂ = φ∗−ψ∗.
Existiert so eine Kettenhomotopie, so nennen wir φ∗ und ψ∗ kettenhomotop.
Man u¨berpru¨ft leicht:
Proposition 2.7. Kettenhomotope Kettenabbildungen induzieren die glei-
chen Abbildungen zwischen Homologiegruppen.
Beweis von Satz 2.5. Es sei
H : X ×[0,1] → Y
eine Homotopie von f nach g. Es seien (cid:104)v ,...,v (cid:105) und (cid:104)w ,...,w (cid:105) die
0 n 0 n
Ober-, bzw. Unterseite des Produktes ∆n × [0,1] ⊂ Rn+1 × R mit ihrer
kanonischen Struktur als geordnete affine Simplizes (d.h. v = (e ,0) und
i i
w = (e ,1)). Fu¨r n ≥ 0 definieren wir nun den Prisma-Operator P :
i i
C (X) → C (Y) durch
n n+1
P(σ) := (−1)i(H ◦(σ×id))| ∈ C (Y)
(cid:88) (cid:104)v0,...,vi,wi,...,wn(cid:105) n+1
0≤i≤n
fu¨r jedes singul¨are n-Simplex σ : ∆n → X. Man zeigt nun mit ei-
ner expliziten Rechnung (siehe Hatcher, S. 112), dass (als Abbildungen
C (X) → C (Y))
n n
∂ ◦P = g∗−f∗−P ◦∂