Topología general

200 Pages·2002·1.377 MB·Spanish

by  Marta Macho Stadler

TOPOLOGÍA GENERAL
Managua, febrero 2002
Profesora Marta Macho Stadler
(cid:1)c MartaMachoStadler
DepartamentodeMatema´ticas
FacultaddeCienciayTecnolog´ıa
UniversidaddelPa´ısVasco–EuskalHerrikoUnibertsitatea
BarrioSarrienas/n,48940Leioa
e-mail: [email protected]
http://www.ehu.es/(cid:1)mtwmastm
Tlf: 946015352 Fax: [phone]
Indice
Introduccio´n ix
0.1 ¿Que´ eslatopolog´ıa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0.2 Unpocodehistoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
0.3 Organizacio´ndelamemoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
1 Preliminares 1
1.1 Unpocodea´lgebradeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Relacionesbinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Cardinalidad deconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Propiedadesdelosnu´merosreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Algunasnocionessobregrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Grupo(noabeliano)librecondosgeneradores . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 Grupolibresobreunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.3 Productolibrededosgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.4 Productoamalgamadodedosgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 EspaciosTopolo´gicos 13
2.1 Definicio´ndeTopolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Conjuntosabiertosycerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i
2.3 BaseysubbasedeunaTopolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 EspaciosdeFre´chetydeHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Entornos 23
3.1 Entornosysistemasdeentornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Basesdeentornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Topolog´ıasysistemasdeentornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Conjuntosenespaciostopolo´gicos 29
4.1 Interiordeunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Clausuradeunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Puntosdeacumulacio´nypuntosaislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Fronteradeunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Numerabilidad 39
5.1 Espaciosprimeroysegundonumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 EspaciosdeLindelo¨f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Conjuntosdensosyespaciosseparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Continuidad 47
6.1 Aplicacionescontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Algunaspropiedadesdefuncionescontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.1 ContinuidadyespaciosHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.2 Continuidadsecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.3 Continuidadynumerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.4 CriteriodeHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Topolog´ıasinducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3.1 Topolog´ıasiniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3.2 Topolog´ıasfinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Homeomorfismos 55
7.1 Aplicacionesabiertasycerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3 Propiedadestopolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Topolog´ıarelativa 63
8.1 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Propiedadeshereditarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Restriccio´nyextensio´ndeaplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.4 Aplicacionescombinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.5 Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9 Sumayproductodeespacios 71
9.1 Sumatopolo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.1.1 Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.1.2 Propiedadessumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2 Topolog´ıaproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2.1 Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2.2 Propiedadesproductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.2.3 ProductosyespaciosdeHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10 Topolog´ıacociente 79
10.1 Identificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.2 Topolog´ıacociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.3 Propiedadesdivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.4 Ejemplosdeespacioscociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.4.1 Contraccio´ndeunconjuntoaunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.4.2 Adjuncio´ndeespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.4.3 Variedadesysuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11 Convergencia 91
11.1 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.1.1 Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.1.2 Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.2 Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2.1 Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2.2 Ultraredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.3 Relacio´nentrefiltrosyredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12 Espaciosnormales. Teoremasdeextensio´n 103
12.1 Elproblemadeextensio´ndeaplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.2 Retractosyretracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3 Espaciosnormales. Caracterizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.4 LemadeUrysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.5 Teoremadeextensio´ndeTietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
13 Espacioscompactos 111
13.1 Espaciosysubconjuntoscompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
13.2 Propiedadesdelacompacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.3 CompacidadenespaciosdeHausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.4 TeoremadeTychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
14 Compacidadlocalycompactificaciones 121
14.1 Espacioslocalmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
14.2 Compactificacio´ndeAlexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
15 Espaciosconexos 127
15.1 Espaciosysubconjuntosconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2 Propiedadesdelaconexio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.3 Componentesconexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
15.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
16 Otrasclasesdeconexio´n 141
16.1 Conexio´nporcaminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
16.1.1 Espaciosyconjuntosconexosporcaminos . . . . . . . . . . . . . . . 141
16.1.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.1.3 Componentesconexasporcaminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.2 Conexio´nlocalyconexio´nlocalporcaminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16.2.1 Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16.2.2 Relacio´nconlaconexio´nylaconexio´nporcaminos . . . . . . . . . . 144
16.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
17 Homotop´ıadeaplicaciones 149
17.1 Homotop´ıadeaplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
17.2 Propiedadesdelahomotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
17.3 Homotop´ıadecaminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.4 Elgrupofundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
17.5 TeoremadeSeifert-VanKampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
17.6 Grupofundamental delaesfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
17.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
18 Ejemplosadicionales 165
18.1 Espaciosme´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.1.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.1.2 Continuidadenespaciosme´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
18.1.3 Completitud enespaciosme´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
18.1.4 Metrizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
18.2 ElconjuntodeCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
18.2.1 Definicio´nypropiedadesfundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
18.2.2 FuncionesdeCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
18.2.3 UnCantordemedidanonula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
18.2.4 EltorbellinodeCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
18.2.5 LacurvadeSierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
18.3 CurvasdePeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
18.4 EspaciosdeBaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
18.5 Grupostopolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
18.5.1 Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
18.5.2 Subgruposysubespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
18.5.3 Productosdegrupostopolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
18.5.4 Cocientesdegrupostopolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
18.5.5 Conexio´nengrupostopolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
18.6 Dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
18.6.1 Dimensio´ntopolo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
18.6.2 Dimensio´nfractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
18.7 Espaciosdefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
18.7.1 Latopolog´ıadelaconvergenciapuntual . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
18.7.2 Latopolog´ıacompacto-abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
18.7.3 Latopolog´ıadelaconvergenciauniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Bibliografia 183