TOPOLOGIA GENERAL

197 Pages·2016·1.355 MB·Spanish

by  Clara M Neira

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TOPOLOGIA GENERAL
Clara M. Neira U.
Departamento de Matema´ticas
Universidad Nacional de Colombia, Bogota´
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Indice general
Introducci´on 4
1. Espacios M´etricos 6
1.1. M´etricas y seudom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Topolog´ıa de un espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Espacios Topol´ogicos 19
2.1. Bases para una topolog´ıa - Conjuntos abiertos . . . . . . . . . 19
2.2. Espacios topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Adherencia de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Puntos de acumulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. Interior, exterior y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . 47
2.8. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. Funciones continuas 56
3.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2. Homeomorfismos e inmersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Topolog´ıas iniciales y Topolog´ıas finales 69
4.1. Estructuras iniciales - Topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Topolog´ıa Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3. Productos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1
2 ´INDICEGENERAL
4.4. Estructuras finales - Topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5. Topolog´ıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5. Propiedades de Separacio´n y de enumerabilidad 86
5.1. Espacios T y espacios T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
0 1
5.2. Espacios de Hausdorff - T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2
5.3. Espacios regulares y Espacios T . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3
5.4. Espacios completamente regulares y Espacios de Tychonoff . . 97
5.5. Espacios normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema de Extensio´n de Tietze . . 104
5.7. Propiedades de enumerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6. Convergencia - Filtros 113
6.1. Filtros sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2. Bases y sub-bases para un filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3. Convergencia de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7. Espacios compactos 130
7.1. Espacios Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2. La Caracterizacio´n de Kuratowski-
Mro´wka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3. Algunos resultados sobre compacidad . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4. El Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5. Compacidad local - Compactificacio´n de Alexandroff . . . . . 143
ˇ
7.6. La compactificacio´n de Stone-Cech . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.7. Compacidad en espacios m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8. Espacios Conexos 154
8.1. Espacios Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2. Propiedades de los espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4. Conexidad por arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.5. Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A. Teor´ıa de Conjuntos 171
A.1. Definiciones ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2. Uni´on, interseccio´n y diferencia - Diferencia sim´etrica . . . . . 172
´INDICEGENERAL 3
A.3. Uniones e intersecciones arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
A.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A.6. Productos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.7. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.8. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Referencias 190
Introduccio´n
Estas notas de topolog´ıa nacieron de la necesidad de presentar a estudiantes
de la carrera y del posgrado en Matema´ticas de la Universidad Nacional de
Colombia, los contenidos ba´sicos de topolog´ıa general, de forma clara, n´ıtida
y accesible, pero conservando todo el rigor y generalidad posibles.
He aprovechado la oportunidad de presentar a trav´es de ellas enfoques no-
vedosos de conceptos conocidos, as´ı como varias demostraciones y resultados
originales.
Es bien conocido por ejemplo, que cualquier espacio topol´ogico T se puede
0
sumergir en un producto de espacios de Sierpinski. Como una generalizacio´n
de este resultado, se muestra aqu´ı que cualquier espacio topol´ogico, goce o
no de la propiedad de ser T , se puede sumergir en un producto de espacios
0
de Sierpinski de tres puntos.
En el cap´ıtulo de compacidad se hace especial ´enfasis en la Caracterizacio´n
de Kuratowski-Mro´wka de los espacios topol´ogicos compactos, que da una
visio´n categ´orica del concepto y es una herramienta valiosa que permite dar
demostraciones alternativas de resultados cla´sicos sobre compacidad. Es de
resaltar la asombrosa sencillez de la demostraci´on del Teorema de Tychonoff
que brinda esta caracterizacio´n en el caso finito.
Al final de cada seccio´n se ofrece una variada seleccio´n de ejercicios, algunos
de los cuales buscan afianzar los conocimientos en los estudiantes, mientras
queotroslesofrecenlaoportunidaddeponerapruebasucreatividad,ingenio
y persistencia.
4
INTRODUCCIO´N 5
Las referencias bibliogra´ficas incluyen no s´olo textos cla´sicos de Topolog´ıa
General, sino tambi´en enlaces con sitios de inter´es en topolog´ıa ubicados en
la red.
1
Cap´ıtulo
Espacios M´etricos
Los espacios m´etricos constituyen el ejemplo ma´s importante de los espa-
cios topolo´gicos y su comportamiento sugiere gran parte de los conceptos
abstractos que son objeto de estudio en topolog´ıa general.
Enestecap´ıtuloestudiaremoselconceptodedistanciatantoentredospuntos
de un conjunto como entre un punto y un conjunto.
1.1. M´etricas y seudom´etricas
En esta secci´on definimos una estructura de espacio m´etrico sobre un con-
junto dado, que nos permita percibir cua´ndo un punto esta´ “cerca” de otro.
1.1.1 Definici´on. Sea X un conjunto. Una m´etrica sobre X es una funci´on
ρ : X ×X −→ R tal que:
1. ρ(x,y) ≥ 0,
2. ρ(x,y) = 0 si y s´olo si x = y,
3. ρ(x,y) = ρ(y,x) y
4. ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ρ(z,y) (desigualdad triangular),
para todo x, y, z ∈ X.
Si ρ es una m´etrica sobre X decimos que (X,ρ), o simplemente X, si no
6
1.1. ME´TRICASYSEUDOME´TRICAS 7
hay lugar a confusio´n sobre la m´etrica con la que se trabaja, es un espacio
m´etrico. La funci´on ρ se conoce tambi´en como funci´on distancia y para cada
par de puntos x y y de X, se dice que ρ(x,y) es la distancia entre x y y.
1.1.2 EJEMPLOS.
1. Si X es un conjunto cualquiera, la funci´on ρ : X ×X −→ R definida
por
(cid:40)
0 si x = y
ρ(x,y) =
1 si x (cid:54)= y
es una m´etrica sobre X que se llama la m´etrica discreta.
2. El conjunto R de los nu´meros reales, junto con la funci´on distancia
ρ definida por ρ(x,y) = |x − y|, es un espacio m´etrico. En adelante
diremos que esta funci´on es la m´etrica usual de R y, a menos que
se especifique lo contrario, cuando nos refiramos a los nu´meros reales
estaremos considerando esta m´etrica sobre R.
En general, Rn con la m´etrica usual definida por
(cid:118)
(cid:117) n
(cid:117)(cid:88)
ρ((x ,...,x ),(y ,...,y )) = (cid:116) (x −y )2
1 n 1 n i i
i=1
es un espacio m´etrico.
3. El plano R2, junto con la funci´on ρ definida por
1
ρ ((x ,y ),(x ,y )) = |x −x |+|y −y |
1 1 1 2 2 1 2 1 2
es un espacio m´etrico. La funci´on ρ se suele llamar la m´etrica del
1
taxista.
4. El plano R2, junto con la funci´on ρ definida por
2
ρ ((x ,y ),(x ,y )) = m´ax{|x −x |, |y −y |}
2 1 1 2 2 1 2 1 2
es un espacio m´etrico.
5. Sea X el conjunto de todas las funciones acotadas f : R −→ R (una
funci´on f : R −→ R es acotada si existe un nu´mero real M > 0 tal que
|f(x)| < M para todo x ∈ R). La funci´on ρ : X × X −→ R definida
por ρ(f,g) = sup{|f(x)−g(x)| : x ∈ R} es una m´etrica sobre X.
8 CAP´ITULO1. ESPACIOSME´TRICOS
6. Sea C(I) el conjunto de todas las funciones continuas definidas del
intervalo I = [0,1] en R. La funci´on ρ : C(I) × C(I) −→ R definida
(cid:82)1
por ρ(f,g) = |f(x)−g(x)|dx es una m´etrica sobre C(I).
0
7. Cualquier subconjunto Y de un espacio m´etrico (X,d) es un espacio
m´etrico con la restricci´on d (cid:22) de la m´etrica d a Y ×Y.
Y×Y
8. Si X = {x , x ,...} es un conjunto enumerable, entonces la funci´on
1 2
d : X ×X −→ R definida por
 1
1+ si i (cid:54)= j
d(x ,x ) = i+j
i j
0 si i = j
es una m´etrica sobre X. El espacio (X,d) se llama el Espacio M´etrico
de Sierpinski y d se llama la m´etrica de Sierpinski.
En un espacio m´etrico, adema´s de medir la distancia entre dos puntos, es
posible medir la distancia entre un punto y un conjunto.
1.1.3 Definicio´n. Sea (X,d) un espacio m´etrico. Si A es un subconjunto
no vac´ıo de X entonces la distancia d(x,A) de un punto x ∈ X al conjunto
A se define como el´ınfimo de los nu´meros d(x,a) donde a ∈ A; esto es,
d(x,A) =´ınf{d(x,a) : a ∈ A}.
No´tese que si (X,d) es un espacio m´etrico y A ⊂ X entonces d(x,A) = 0
para todo x ∈ A; sin embargo d(x,A) = 0 no implica que x sea un elemento
de A. Si consideramos por ejemplo el conjunto R de los nu´meros reales con
la m´etrica usual y A = {1 : n ∈ N} entonces d(0,A) = 0 pero 0 ∈/ A.
n
1.1.4 Definicio´n. Sea (X,d) un espacio m´etrico. Si A es un subconjunto
no vac´ıo de X entonces el di´ametro de A, diamA es sup{d(x,y) : x, y ∈
A}. Si diamA < ∞ entonces decimos que el conjunto A es acotado. Por
convenci´on diam∅ = 0.
De la definici´on se tiene que el espacio m´etrico X es acotado si la funci´on d
es acotada.
1.1. ME´TRICASYSEUDOME´TRICAS 9
Lascondicionesquedebesatisfacerlafuncio´ndistanciadenunespaciom´etri-
co X son bastante rigurosas. En ocasiones una funcio´n d : X × X −→ R,
a pesar no ser una m´etrica en el sentido estricto, da lugar a una nocio´n de
“distancia” razonable para ciertos propo´sitos.
1.1.5 Definici´on. Sea X un conjunto. Una funci´on ρ : X ×X −→ R tal
que
1. ρ(x,y) ≥ 0,
2. ρ(x,x) = 0,
3. ρ(x,y) = ρ(y,x) y
4. ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ρ(z,y)
para cada x, cada y y cada z en X, se llama una seudom´etrica sobre X. Si
ρ es una seudom´etrica sobre X decimos que (X,ρ) (o simplemente X) es
un espacio seudom´etrico.
No´tese que en un espacio seudom´etrico (X,ρ) pueden existir puntos distintos
x y y, tales que ρ(x,y) = 0.
1.1.6 EJEMPLOS.
1. Toda m´etrica sobre un conjunto X es tambi´en una seudom´etrica.
2. Si X es un conjunto entonces la funci´on ρ : X ×X −→ R definida por
ρ(x,y) = 0 es una seudom´etrica sobre X.
3. Sea x ∈ [0,1]. La funci´on η : C(I)×C(I) −→ R definida por η(f,g) =
0
|f(x )−g(x )| es una seudom´etrica sobre C(I).
0 0
Ejercicios
1.1
1. Demuestre que las siguientes funciones son m´etricas sobre los conjuntos
dados.