1 Topologia das Variedades Welington de Melo Favor enviar sugest˜oes, corre¸c˜oes e observa¸c˜oes para [email protected] Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) Conteu´do 1 Variedades Diferenci´aveis 5 1.1 Estrutura de variedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Aplica¸c˜oes diferenci´aveis entre variedades . . . . . . . 7 1.3 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 O Lema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Parti¸c˜ao da unidade e aplicac¸˜oes 31 2.1 Parti¸c˜ao da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Campos de vetores em variedades . . . . . . . . . . . . 35 2.3 M´etricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Densidade das func¸˜oes de classe C . . . . . . . . . . 49 ∞ 3 Aplica¸c˜ao Exponencial 54 3.1 A equac¸˜ao das geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Vizinhan¸ca tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Vizinhan¸cas geodesicamente convexas . . . . . . . . . 64 3.4 O fluxo geod´esico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 Variedades com bordo 73 4.1 Colagem de variedades com bordo . . . . . . . . . . . 74 4.1.1 Soma conexa de variedades . . . . . . . . . . . 82 5 C´alculo em Variedades 86 5.1 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1.1 A´lgebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1.2 Formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1.3 Derivada exterior e o Teorema de Stokes . . . . 91 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) CONTEU´DO 5.2 Cohomologia de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3 Campos de vetores como deriva¸c˜oes. . . . . . . . . . . 99 5.4 A derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.5 Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.6 Elementos de teoria de Hodge . . . . . . . . . . . . . . 116 5.7 Estruturas simpl´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6 Espa¸cos de recobrimento e Grupo fundamental 123 6.1 Espa¸cos de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2 O grupo fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.3 Recobrimentos das variedades de dimens˜ao 2 . . . . . 142 6.3.1 Geometria hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.2 Consequˆencias do teorema . . . . . . . . . . . . 151 7 Fibrados 160 7.1 Fibrados com grupo estrutural . . . . . . . . . . . . . 160 7.2 O Fibrado de jatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8 Transversalidade 187 8.1 A topologia de Whitney em Cr(M,N) . . . . . . . . . 187 8.2 Teoremas de transversalidade . . . . . . . . . . . . . . 205 9 Grau Topol´ogico 220 9.1 O conceito de grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.2 ´Indice de singularidade de campos de vetores . . . . . 229 9.3 Nu´mero de interse¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10 Cohomologia de De Rham 247 10.1 O complexo de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.2 A sequˆencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . 250 10.3 Dualidade de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.4 Isomorfismo de Thom e a classe de Euler. . . . . . . . 265 10.5 Uma f´ormula de Ku¨nneth e o Teorema de Lefschetz. . 282 10.6 Cohomologia dos grupos de Lie compactos. . . . . . . 289 10.7 Correntes de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) CONTEU´DO 11 Teoria de Morse 300 11.1 Func¸˜oes de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 11.2 Homologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.2.1 Homologia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.2.2 Subdivis˜ao baricˆentrica . . . . . . . . . . . . . 319 11.2.3 Homologia celular . . . . . . . . . . . . . . . . 331 11.3 Desigualdades de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.4 Estrutura de CW-complexo e decomposi¸c˜ao em asas . 350 11.5 O teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 12 Cohomologias 367 12.1 Cohomologia de Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.2 O feixe de orienta¸c˜ao de uma variedade . . . . . . . . 385 12.3 O anel de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 12.4 O produto cap e dualidade de Poincar´e. . . . . . . . . 405 13 An´alise e Geometria em Variedades 409 13.1 Geometria dos Fibrados e o morfismo de Chern-Weil . 409 13.2 O Laplaciano de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 13.3 A equac¸˜ao de Yang-Mills. . . . . . . . . . . . . . . . . 432 A Teorema do Coeficiente Universal 444 B O Teorema de Seifert- van Kampen 454 C Ogrupofundamentalπ (X,x )eogrupodehomologia 1 0 H (X,Z). 461 1 D Grupos de Homotopia- Teorema de Hurewicz 465 ¨ı¿1ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 2 ¨ı¿1ndice de s¨ı¿1mbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 2 2 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) CONTEU´DO 1 ´ PREFACIO A no¸c˜ao abstrata de variedades j´a aparecia na teoria de func¸˜oes anal´ıticasdeumavari´avelcomplexa. Umas´eriedepotˆenciasconver- gentedefineumafun¸c˜aoholomorfaemseudiscodeconvergˆenciaque pode ser estendida usando o princ´ıpio da continuac¸˜ao anal´ıtica que produzfun¸c˜oesmultivaluadasquepodemservistascomofunc¸˜oesem uma superf´ıcie de Riemann. Nofinaldos´eculo19Poincar´e,emumas´eriedeartigosintroduziu o que chamamos topologia das variedades que denominou Analysis Situs. Paraˆeleumavariedadeeraumsubconjuntodeumespa¸coeu- clideano definido por uma fam´ılia de equa¸c˜oes, isto ´e, subvariedades do espa¸co euclideano. Conjeturou que toda variedade Cr, com r 1 ≥ eratriangulariz´avel(demonstradaem1930porS.Cairns)edefiniuos grupos de homologia de uma variedade com respeito `a uma triangu- lariza¸c˜ao e tamb´em conjeturou que esses grupos eram independentes da triangularizac¸˜ao e de fato invariantes por homeomorfismos. Essa u´ltima conjectura s´o foi mostrada anos mais tarde por Alexander usando as ideias de Brouwer de aproxima¸c˜ao simplicial Nesta ´epoca Poincar´e tamb´em introduziu a noc¸˜ao de grupo fundamental. Os pri- meiros 30 anos do s´eculo 20 foram dominados pelo desenvolvimento de m´etodos combinat´orios e alg´ebricos na topologia. A noc¸a˜o abs- trata de variedades diferenci´aveis, que j´a tinha sido antecipada por H.Weyl em 2012 no seu tratado sobre superf´ıcie de Riemann, s´o foi desenvolvido por H. Whitney por volta de 1936 que provou que uma variedade diferenci´avel abstrata ´e de fato difeomorfa a uma subvari- edadedeumespa¸coeuclideano. Nasciaa´ıatopologiadiferencialque teve um desenvolvimento intenso com a prova do teorema de Morse- Sard em 1942 e os trabalhos de R. Thom, J. Milnor, S. Smale entre outros. Tamb´em nos anos 30 Lefschets introuduziu a homologia relativa e a noc¸˜ao de homologia foi estendida para espa¸cos mais gerais, n˜ao necessariamente triangulariz´aveis. Surgiram ent˜ao a homologia sin- gular,introduzidaporS.Eilenberg,ahomologiadeVietoris,Alexan- droff, Lefschets, e C˘ech. Em 1935 a cohomologia foi introduzida por Alexander e Kolmogorov com sua estrutura de anel que tamb´em ´e preservada por homeomorfismos. A noc¸˜ao de dualidade j´a estudada por Poincar´e foi generalizada usando o produto ”cup”da cohomolo- Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) 2 CONTEU´DO gia e o produto ”cap”relacionando homologia e cohomologia. Nessa ´epoca surgiu tamb´em a cohomologia de DeRham e as cohomologias de Alexander-Spanier essa u´ltima permitindo estabelecer uma dua- lidade entre a cohomologia de um subconjunto compacto e a de seu complementar em uma variedade compacta (dualidade de Alexan- der). Em 1946, J. Leray introduziu a cohomologia de feixes que des- creveobstru¸c˜oesparaglobalizarresultadoslocaiseestendeasteorias anteriores permitindo relaciona-las. M´etodos de equa¸c˜oes a derivadas parciais foram utilizados por Hodge que mostrou a existˆencia de uma u´nica forma harmˆonica em cada classe de cohomologia de deRham. Nos anos 80 m´etodos geom´etricos e de equac¸˜oes a derivadas par- ciais foram introduzidos por Donaldson no estudo da topologia de variedades de dimens˜ao 4. M´etodos geom´etricos e de equa¸c˜oes a derivadas parciais foram tamb´em fundamentais no estudo das variedades de dimens˜ao 3 cul- minando com a demonstra¸c˜ao de Perelman da conjectura de geome- triza¸c˜ao de Thurston que inclui, como caso particular, a conjectura de Poincar´e: uma variedade compacta de dimens˜ao 3 simplesmente conexa´e homeomorfa `a esfera. Omaterialdesselivrofoiusadov´ariasvezesnoscursosTopologia Diferencial e Topologia das Variedades que ensinei no IMPA. No cap´ıtulo 1 definimos a no¸c˜ao de variedades diferenci´aveis e aplica¸c˜ao diferenci´avel entre variedade e apresentamos v´arios exem- plos. Na u´ltima se¸c˜ao do cap´ıtulo 1 demonstramos o Lema de Sard. No cap´ıtulo 2 provamos a existˆencia de partic¸˜ao da unidade su- bordinada a uma cobertura. Definimos campos de vetores em vari- edades e provamos o teorema do fluxo tubular. Definimos m´etricas Riemannianas e mostramos a existˆencia de m´etricas completas em qualquer variedade e como consequˆencia que toda variedade ´e um espa¸co de Baire. Mostramos a densidade das func¸˜oes C no espa¸co ∞ das fun¸c˜oes cont´ınuas em uma variedade munido da topologia C0 de Whitney. Usando esse resultado e o Lema de Sard demonstrado no cap´ıtulo 1 demonstramos o teorema do ponto fixo de Brouwer. Nocap´ıtulo3mostramosaexistˆenciadegeod´esicasdeumam´etrica riemanniana e constru´ımos a aplica¸c˜ao exponencial. Definimos ho- motopia e homotopia diferenci´avel entre aplicac¸˜oes entre variedades e mostramos, usando a aplica¸c˜ao exponencial, que duas aplica¸c˜oes Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) CONTEU´DO 3 emumavizinhanc¸asuficientementepequenanatopologiaC0 s˜aoho- mot´opicas. Usamos tamb´em a aplica¸c˜ao exponencial para a cons- truc¸˜aodevizinhanc¸astubularesdesubvariedades. Mostramostamb´em a existˆencia de vizinhan¸cas geodesicamente convexas que sera˜o fre- quentementeusadasemcap´ıtulosposteriores. Conclu´ımosocap´ıtulo com um exemplo do fluxo geod´esico de uma m´etrica riemanniana completa. No cap´ıtulo 4 obtemos novas variedades colando variedades com bordopordifeomorfismosentreosbordos. Mostramosquedifeomor- fismos isot´opicos fornecem variedades difeomorfas. No cap´ıtulo 5 desenvolvemos o c´alculo tensorial em variedades e provamos o teorema de Stokes e introduzimos a cohomologia de DeRham. Provamos o teorema de Frobenius, introduzimos a teoria de Hodge e provamos o teorema de Darboux. Ocap´ıtulo5´ededicadoaosespac¸osderecobrimentosesuarelac¸˜ao com o grupo fundamental. Introduzimos a geometria hiperb´olica e constru´ımos os recobrimentos das variedades de dimens˜ao dois. Nocap´ıtulo7discutimosano¸c˜aodefibrados,fibradoscomgrupos estruturais e fibrados principais. Apresentamos v´arios exemplos e demonstramos o teorema de levantamento de homotopia. Na u´ltima se¸c˜ao constru´ımos os fibrados de jatos. No cap´ıtulo 8 definimos a topologia de Whitney no espa¸co das transforma¸c˜oes de classe Cr entre variedades e mostramos o teo- rema de transversalidade, bem como o teorema de transversalidade de multi-jatos. O cap´ıtulo 9 ´e dedicado ao estudo do gr´au de Brouwer e suas aplica¸c˜oes. Mostramos a invariˆancia do grau por homotopia e de- monstramos o teorema de Hopf sobre a classifica¸c˜ao das classes de homotopiasdeaplicac¸˜oesdeumavariedadecompactadedimens˜aon sobre a esfera Sn. Definimos o nu´mero de intersec¸˜ao entre subvarie- dades de dimens˜ao complementares e muitas de suas aplica¸c˜oes. Nocap´ıtulo10come¸camosaintroduzirferramentasalg´ebricasque muito impulsionaram o poder da topologia. Oscilamos muito entre duas possibilidades. A primeira seria via teoria de Morser, com a ´obviaconex˜aocomtransversalidade,aintrodu¸c˜aodehomologiapara descrever algebricamente a decomposic¸˜ao celular de uma fun¸c˜ao de Morse. A segunda seria a cohomologia de DeRham que permitiam uma introdu¸c˜ao mais suave de ferramentas alg´ebricas num contexto Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) 4 CONTEU´DO ainda geom´etrico. Finalmente optamos pela segunda possibilidade e o cap´ıtulo 9 ´e dedicado `a cohomologia de DeRham. Constru´ımos a sequˆencia exata de Meyer-Vietoris, mostramos o teorema da duali- dade de Poincar´e o do isomorfismo de Thom. O cap´ıtulo 11 ´e dedicado `a teor´ıa de Morse e introduc¸˜ao da ho- mologia singular. Mostramos as desigualdades de Morse e o teorema de DeRham. Duranteaprepara¸c˜aodesselivrocontamoscomoapoiofinanceiro do CNPq, bolsa de produtividade e da Faperj, Cientistas do Nosso Estado. Agradecemosacolaborac¸˜aodeGilzadeMeloeRog´erioTrindade que digitaram parte do manuscrito. Agradecemosapartipa¸c˜aodosalunosdosv´arioscursosqueensinei especialmenteFrancoEloyVargasPalleteeRicardoPalearidaSilva. Franco fez v´arias corre¸c˜oes importantes. Ricardo fez uma revis˜ao cuidadosa de todo o livro. Rio de Janeiro, 5 de janeiro de 2014 Welington de Melo Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) Cap´ıtulo 1 Variedades Diferenci´aveis Ano¸c˜aodevariedadescomoumespa¸coquelocalmente´eequivalente aumabertodeumespac¸ovetorialeondepodemosestenderasno¸c˜oes do c´alculo diferenci´avel j´a aparecia nos trabalhos de Carl Friedrich GausseBernhardRiemann. Adefini¸c˜aomodernaqueutilizaremos´e devida a Hassler Whitney [Wh]. 1.1 Estrutura de variedade Defini¸c˜ao1.1. Umavariedadetopol´ogicadedimens˜aom´eumespa¸co topol´ogico M com as seguintes propriedades: 1. M ´eHausdorff: dadosdoispontosdistintospeq emM,ent˜ao existem abertos disjuntos U, V tais que p U e q V; ∈ ∈ 2. M tem base enumer´avel de abertos : existe uma colec¸˜ao enu- mer´avel de abertos de M tal que todo aberto ´e a uni˜ao de abertos dessa colec¸˜ao; 3. M ´e localmente Euclidiano: para qualquer p M, existem abertos U M contendo p, U˜ Rm e um h∈omeomorfismo ϕ:U U˜.⊂ ⊂ → Defini¸c˜ao 1.2. Um atlas em M ´e uma cole¸c˜ao ϕ : U U˜ i i i i I { → }∈ de homeomorfismos, chamados cartas locais de M, onde U M ´e i aberto, U˜ Rm aberto e U =M. Os homeomorfismos ⊂ i i I i ⊂ ∪∈ ϕj◦ϕ−i 1: ϕi(Ui∩Uj)⊂U˜i →φj(Ui∩Uj)⊂U˜j 5 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected]) 6 [CAP.1: VARIEDADESDIFERENCIA´VEIS s˜ao chamados mudan¸cas de coordenadas . Um atlas ´e de classe Cr, 0 6 r 6 , se todas as mudanc¸as de coordenadas do atlas s˜ao de ∞ classe Cr. Nacolec¸˜aodetodososatlasdeclasseCremM temosumarela¸c˜ao de ordem parcial dado pela inclus˜ao: se toda carta local do A ⊂ B atlas fortamb´emumacartalocalde . Umatlas ´emaximal se A B A para todo atlas de classe Cr com vale = . B A⊂B B A Pelo lema de Zorn , todo atlas de classe Cr est´a contido em A um u´nico atlas maximal. Uma estrutura de variedade Cr em M ´e um atlas maximal de classe Cr em M. Logo qualquer atlas Cr em M define uma estrutura de variedade Cr em M, pois est´a contido em um u´nico atlas maximal de classe Cr. Se as cartas locais de um atlastomamvaloresemabertosdeCmeasmudanc¸asdecoordenadas s˜aofun¸c˜oesholomorfas,dizemosqueM ´eumavariedadecomplexade dimens˜ao complexa m (e portanto dimens˜ao real 2m). Exemplo 1.1. Sejam U Rn um aberto e F : U Rp uma ⊂ → aplica¸c˜aodeclasseCr,r>1. Sejay Rpumvalorregular deF,isto ∈ ´e, x U tal que F(x)=y temos que a derivada DF(x):Rn Rp ∀ ∈ → ´e sobrejetora. Afirma¸c˜ao: ouM =F 1(y)´evazioouM ´eumavariedadedeclasse − Cr e dimens˜ao n p. − Defato, pelaformalocaldassubmers˜oes, dadoq M, existeum ∈ aberto W U contendo q e um difeomorfismo ϕ : W V Z, de ⊂ → × classe Cr, onde V Rn p ´e um aberto e Z Rp ´e uma vizinhan¸ca − ⊂ ⊂ aberta de y tal que a restric¸˜ao de F a W ´e igual `a composi¸c˜ao da proje¸c˜ao(x,z) Rn p Rp z Rpcomϕ. Logoarestri¸c˜aodeϕa − U =W M ´eu∈mhome×omor7→fismo∈deU emU˜ Rn p easmudanc¸as − ∩ ⊂ de coordenadas s˜ao claramente da classe Cr. Analogamente, se F: U Cn Ck ´e uma func¸˜ao holomorfa e ⊂ → y ´e valor regular de F, ent˜ao F 1(y) ou ´e vazio ou ´e uma variedade − complexa de dimens˜ao complexa n k. − Document shared on www.docsity.com Downloaded by: kaue.sena ([email protected])