Topologia das Variedades

478 Pages·2014·4.535 MB·Portuguese

by  Welington de Melo

1
Topologia das Variedades
Welington de Melo
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Conteu´do
1 Variedades Diferenci´aveis 5
1.1 Estrutura de variedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Aplica¸c˜oes diferenci´aveis entre variedades . . . . . . . 7
1.3 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 O Lema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Parti¸c˜ao da unidade e aplicac¸˜oes 31
2.1 Parti¸c˜ao da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Campos de vetores em variedades . . . . . . . . . . . . 35
2.3 M´etricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Densidade das func¸˜oes de classe C . . . . . . . . . . 49
∞
3 Aplica¸c˜ao Exponencial 54
3.1 A equac¸˜ao das geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Vizinhan¸ca tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Vizinhan¸cas geodesicamente convexas . . . . . . . . . 64
3.4 O fluxo geod´esico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Variedades com bordo 73
4.1 Colagem de variedades com bordo . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Soma conexa de variedades . . . . . . . . . . . 82
5 C´alculo em Variedades 86
5.1 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.1 A´lgebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.2 Formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.3 Derivada exterior e o Teorema de Stokes . . . . 91
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CONTEU´DO
5.2 Cohomologia de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Campos de vetores como deriva¸c˜oes. . . . . . . . . . . 99
5.4 A derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6 Elementos de teoria de Hodge . . . . . . . . . . . . . . 116
5.7 Estruturas simpl´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 Espa¸cos de recobrimento e Grupo fundamental 123
6.1 Espa¸cos de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 O grupo fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3 Recobrimentos das variedades de dimens˜ao 2 . . . . . 142
6.3.1 Geometria hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.2 Consequˆencias do teorema . . . . . . . . . . . . 151
7 Fibrados 160
7.1 Fibrados com grupo estrutural . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 O Fibrado de jatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 Transversalidade 187
8.1 A topologia de Whitney em Cr(M,N) . . . . . . . . . 187
8.2 Teoremas de transversalidade . . . . . . . . . . . . . . 205
9 Grau Topol´ogico 220
9.1 O conceito de grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2 ´Indice de singularidade de campos de vetores . . . . . 229
9.3 Nu´mero de interse¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10 Cohomologia de De Rham 247
10.1 O complexo de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.2 A sequˆencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . 250
10.3 Dualidade de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4 Isomorfismo de Thom e a classe de Euler. . . . . . . . 265
10.5 Uma f´ormula de Ku¨nneth e o Teorema de Lefschetz. . 282
10.6 Cohomologia dos grupos de Lie compactos. . . . . . . 289
10.7 Correntes de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
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CONTEU´DO
11 Teoria de Morse 300
11.1 Func¸˜oes de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.2 Homologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.2.1 Homologia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.2.2 Subdivis˜ao baricˆentrica . . . . . . . . . . . . . 319
11.2.3 Homologia celular . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.3 Desigualdades de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
11.4 Estrutura de CW-complexo e decomposi¸c˜ao em asas . 350
11.5 O teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
12 Cohomologias 367
12.1 Cohomologia de Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.2 O feixe de orienta¸c˜ao de uma variedade . . . . . . . . 385
12.3 O anel de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
12.4 O produto cap e dualidade de Poincar´e. . . . . . . . . 405
13 An´alise e Geometria em Variedades 409
13.1 Geometria dos Fibrados e o morfismo de Chern-Weil . 409
13.2 O Laplaciano de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
13.3 A equac¸˜ao de Yang-Mills. . . . . . . . . . . . . . . . . 432
A Teorema do Coeficiente Universal 444
B O Teorema de Seifert- van Kampen 454
C Ogrupofundamentalπ (X,x )eogrupodehomologia
1 0
H (X,Z). 461
1
D Grupos de Homotopia- Teorema de Hurewicz 465
¨ı¿1ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
2
¨ı¿1ndice de s¨ı¿1mbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
2 2
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CONTEU´DO 1
´
PREFACIO
A no¸c˜ao abstrata de variedades j´a aparecia na teoria de func¸˜oes
anal´ıticasdeumavari´avelcomplexa. Umas´eriedepotˆenciasconver-
gentedefineumafun¸c˜aoholomorfaemseudiscodeconvergˆenciaque
pode ser estendida usando o princ´ıpio da continuac¸˜ao anal´ıtica que
produzfun¸c˜oesmultivaluadasquepodemservistascomofunc¸˜oesem
uma superf´ıcie de Riemann.
Nofinaldos´eculo19Poincar´e,emumas´eriedeartigosintroduziu
o que chamamos topologia das variedades que denominou Analysis
Situs. Paraˆeleumavariedadeeraumsubconjuntodeumespa¸coeu-
clideano definido por uma fam´ılia de equa¸c˜oes, isto ´e, subvariedades
do espa¸co euclideano. Conjeturou que toda variedade Cr, com r 1
≥
eratriangulariz´avel(demonstradaem1930porS.Cairns)edefiniuos
grupos de homologia de uma variedade com respeito `a uma triangu-
lariza¸c˜ao e tamb´em conjeturou que esses grupos eram independentes
da triangularizac¸˜ao e de fato invariantes por homeomorfismos. Essa
u´ltima conjectura s´o foi mostrada anos mais tarde por Alexander
usando as ideias de Brouwer de aproxima¸c˜ao simplicial Nesta ´epoca
Poincar´e tamb´em introduziu a noc¸˜ao de grupo fundamental. Os pri-
meiros 30 anos do s´eculo 20 foram dominados pelo desenvolvimento
de m´etodos combinat´orios e alg´ebricos na topologia. A noc¸a˜o abs-
trata de variedades diferenci´aveis, que j´a tinha sido antecipada por
H.Weyl em 2012 no seu tratado sobre superf´ıcie de Riemann, s´o foi
desenvolvido por H. Whitney por volta de 1936 que provou que uma
variedade diferenci´avel abstrata ´e de fato difeomorfa a uma subvari-
edadedeumespa¸coeuclideano. Nasciaa´ıatopologiadiferencialque
teve um desenvolvimento intenso com a prova do teorema de Morse-
Sard em 1942 e os trabalhos de R. Thom, J. Milnor, S. Smale entre
outros.
Tamb´em nos anos 30 Lefschets introuduziu a homologia relativa
e a noc¸˜ao de homologia foi estendida para espa¸cos mais gerais, n˜ao
necessariamente triangulariz´aveis. Surgiram ent˜ao a homologia sin-
gular,introduzidaporS.Eilenberg,ahomologiadeVietoris,Alexan-
droff, Lefschets, e C˘ech. Em 1935 a cohomologia foi introduzida por
Alexander e Kolmogorov com sua estrutura de anel que tamb´em ´e
preservada por homeomorfismos. A noc¸˜ao de dualidade j´a estudada
por Poincar´e foi generalizada usando o produto ”cup”da cohomolo-
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2 CONTEU´DO
gia e o produto ”cap”relacionando homologia e cohomologia. Nessa
´epoca surgiu tamb´em a cohomologia de DeRham e as cohomologias
de Alexander-Spanier essa u´ltima permitindo estabelecer uma dua-
lidade entre a cohomologia de um subconjunto compacto e a de seu
complementar em uma variedade compacta (dualidade de Alexan-
der). Em 1946, J. Leray introduziu a cohomologia de feixes que des-
creveobstru¸c˜oesparaglobalizarresultadoslocaiseestendeasteorias
anteriores permitindo relaciona-las.
M´etodos de equa¸c˜oes a derivadas parciais foram utilizados por
Hodge que mostrou a existˆencia de uma u´nica forma harmˆonica em
cada classe de cohomologia de deRham.
Nos anos 80 m´etodos geom´etricos e de equac¸˜oes a derivadas par-
ciais foram introduzidos por Donaldson no estudo da topologia de
variedades de dimens˜ao 4.
M´etodos geom´etricos e de equa¸c˜oes a derivadas parciais foram
tamb´em fundamentais no estudo das variedades de dimens˜ao 3 cul-
minando com a demonstra¸c˜ao de Perelman da conjectura de geome-
triza¸c˜ao de Thurston que inclui, como caso particular, a conjectura
de Poincar´e: uma variedade compacta de dimens˜ao 3 simplesmente
conexa´e homeomorfa `a esfera.
Omaterialdesselivrofoiusadov´ariasvezesnoscursosTopologia
Diferencial e Topologia das Variedades que ensinei no IMPA.
No cap´ıtulo 1 definimos a no¸c˜ao de variedades diferenci´aveis e
aplica¸c˜ao diferenci´avel entre variedade e apresentamos v´arios exem-
plos. Na u´ltima se¸c˜ao do cap´ıtulo 1 demonstramos o Lema de Sard.
No cap´ıtulo 2 provamos a existˆencia de partic¸˜ao da unidade su-
bordinada a uma cobertura. Definimos campos de vetores em vari-
edades e provamos o teorema do fluxo tubular. Definimos m´etricas
Riemannianas e mostramos a existˆencia de m´etricas completas em
qualquer variedade e como consequˆencia que toda variedade ´e um
espa¸co de Baire. Mostramos a densidade das func¸˜oes C no espa¸co
∞
das fun¸c˜oes cont´ınuas em uma variedade munido da topologia C0 de
Whitney. Usando esse resultado e o Lema de Sard demonstrado no
cap´ıtulo 1 demonstramos o teorema do ponto fixo de Brouwer.
Nocap´ıtulo3mostramosaexistˆenciadegeod´esicasdeumam´etrica
riemanniana e constru´ımos a aplica¸c˜ao exponencial. Definimos ho-
motopia e homotopia diferenci´avel entre aplicac¸˜oes entre variedades
e mostramos, usando a aplica¸c˜ao exponencial, que duas aplica¸c˜oes
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CONTEU´DO 3
emumavizinhanc¸asuficientementepequenanatopologiaC0 s˜aoho-
mot´opicas. Usamos tamb´em a aplica¸c˜ao exponencial para a cons-
truc¸˜aodevizinhanc¸astubularesdesubvariedades. Mostramostamb´em
a existˆencia de vizinhan¸cas geodesicamente convexas que sera˜o fre-
quentementeusadasemcap´ıtulosposteriores. Conclu´ımosocap´ıtulo
com um exemplo do fluxo geod´esico de uma m´etrica riemanniana
completa.
No cap´ıtulo 4 obtemos novas variedades colando variedades com
bordopordifeomorfismosentreosbordos. Mostramosquedifeomor-
fismos isot´opicos fornecem variedades difeomorfas.
No cap´ıtulo 5 desenvolvemos o c´alculo tensorial em variedades
e provamos o teorema de Stokes e introduzimos a cohomologia de
DeRham. Provamos o teorema de Frobenius, introduzimos a teoria
de Hodge e provamos o teorema de Darboux.
Ocap´ıtulo5´ededicadoaosespac¸osderecobrimentosesuarelac¸˜ao
com o grupo fundamental. Introduzimos a geometria hiperb´olica e
constru´ımos os recobrimentos das variedades de dimens˜ao dois.
Nocap´ıtulo7discutimosano¸c˜aodefibrados,fibradoscomgrupos
estruturais e fibrados principais. Apresentamos v´arios exemplos e
demonstramos o teorema de levantamento de homotopia. Na u´ltima
se¸c˜ao constru´ımos os fibrados de jatos.
No cap´ıtulo 8 definimos a topologia de Whitney no espa¸co das
transforma¸c˜oes de classe Cr entre variedades e mostramos o teo-
rema de transversalidade, bem como o teorema de transversalidade
de multi-jatos.
O cap´ıtulo 9 ´e dedicado ao estudo do gr´au de Brouwer e suas
aplica¸c˜oes. Mostramos a invariˆancia do grau por homotopia e de-
monstramos o teorema de Hopf sobre a classifica¸c˜ao das classes de
homotopiasdeaplicac¸˜oesdeumavariedadecompactadedimens˜aon
sobre a esfera Sn. Definimos o nu´mero de intersec¸˜ao entre subvarie-
dades de dimens˜ao complementares e muitas de suas aplica¸c˜oes.
Nocap´ıtulo10come¸camosaintroduzirferramentasalg´ebricasque
muito impulsionaram o poder da topologia. Oscilamos muito entre
duas possibilidades. A primeira seria via teoria de Morser, com a
´obviaconex˜aocomtransversalidade,aintrodu¸c˜aodehomologiapara
descrever algebricamente a decomposic¸˜ao celular de uma fun¸c˜ao de
Morse. A segunda seria a cohomologia de DeRham que permitiam
uma introdu¸c˜ao mais suave de ferramentas alg´ebricas num contexto
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4 CONTEU´DO
ainda geom´etrico. Finalmente optamos pela segunda possibilidade e
o cap´ıtulo 9 ´e dedicado `a cohomologia de DeRham. Constru´ımos a
sequˆencia exata de Meyer-Vietoris, mostramos o teorema da duali-
dade de Poincar´e o do isomorfismo de Thom.
O cap´ıtulo 11 ´e dedicado `a teor´ıa de Morse e introduc¸˜ao da ho-
mologia singular. Mostramos as desigualdades de Morse e o teorema
de DeRham.
Duranteaprepara¸c˜aodesselivrocontamoscomoapoiofinanceiro
do CNPq, bolsa de produtividade e da Faperj, Cientistas do Nosso
Estado.
Agradecemosacolaborac¸˜aodeGilzadeMeloeRog´erioTrindade
que digitaram parte do manuscrito.
Agradecemosapartipa¸c˜aodosalunosdosv´arioscursosqueensinei
especialmenteFrancoEloyVargasPalleteeRicardoPalearidaSilva.
Franco fez v´arias corre¸c˜oes importantes. Ricardo fez uma revis˜ao
cuidadosa de todo o livro.
Rio de Janeiro, 5 de janeiro de 2014
Welington de Melo
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Cap´ıtulo 1
Variedades Diferenci´aveis
Ano¸c˜aodevariedadescomoumespa¸coquelocalmente´eequivalente
aumabertodeumespac¸ovetorialeondepodemosestenderasno¸c˜oes
do c´alculo diferenci´avel j´a aparecia nos trabalhos de Carl Friedrich
GausseBernhardRiemann. Adefini¸c˜aomodernaqueutilizaremos´e
devida a Hassler Whitney [Wh].
1.1 Estrutura de variedade
Defini¸c˜ao1.1. Umavariedadetopol´ogicadedimens˜aom´eumespa¸co
topol´ogico M com as seguintes propriedades:
1. M ´eHausdorff: dadosdoispontosdistintospeq emM,ent˜ao
existem abertos disjuntos U, V tais que p U e q V;
∈ ∈
2. M tem base enumer´avel de abertos : existe uma colec¸˜ao enu-
mer´avel de abertos de M tal que todo aberto ´e a uni˜ao de
abertos dessa colec¸˜ao;
3. M ´e localmente Euclidiano: para qualquer p M, existem
abertos U M contendo p, U˜ Rm e um h∈omeomorfismo
ϕ:U U˜.⊂ ⊂
→
Defini¸c˜ao 1.2. Um atlas em M ´e uma cole¸c˜ao ϕ : U U˜
i i i i I
{ → }∈
de homeomorfismos, chamados cartas locais de M, onde U M ´e
i
aberto, U˜ Rm aberto e U =M. Os homeomorfismos ⊂
i i I i
⊂ ∪∈
ϕj◦ϕ−i 1: ϕi(Ui∩Uj)⊂U˜i →φj(Ui∩Uj)⊂U˜j
5
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6 [CAP.1: VARIEDADESDIFERENCIA´VEIS
s˜ao chamados mudan¸cas de coordenadas . Um atlas ´e de classe Cr,
0 6 r 6 , se todas as mudanc¸as de coordenadas do atlas s˜ao de
∞
classe Cr.
Nacolec¸˜aodetodososatlasdeclasseCremM temosumarela¸c˜ao
de ordem parcial dado pela inclus˜ao: se toda carta local do
A ⊂ B
atlas fortamb´emumacartalocalde . Umatlas ´emaximal se
A B A
para todo atlas de classe Cr com vale = .
B A⊂B B A
Pelo lema de Zorn , todo atlas de classe Cr est´a contido em
A
um u´nico atlas maximal. Uma estrutura de variedade Cr em M ´e
um atlas maximal de classe Cr em M. Logo qualquer atlas Cr em
M define uma estrutura de variedade Cr em M, pois est´a contido
em um u´nico atlas maximal de classe Cr. Se as cartas locais de um
atlastomamvaloresemabertosdeCmeasmudanc¸asdecoordenadas
s˜aofun¸c˜oesholomorfas,dizemosqueM ´eumavariedadecomplexade
dimens˜ao complexa m (e portanto dimens˜ao real 2m).
Exemplo 1.1. Sejam U Rn um aberto e F : U Rp uma
⊂ →
aplica¸c˜aodeclasseCr,r>1. Sejay Rpumvalorregular deF,isto
∈
´e, x U tal que F(x)=y temos que a derivada DF(x):Rn Rp
∀ ∈ →
´e sobrejetora.
Afirma¸c˜ao: ouM =F 1(y)´evazioouM ´eumavariedadedeclasse
−
Cr e dimens˜ao n p.
−
Defato, pelaformalocaldassubmers˜oes, dadoq M, existeum
∈
aberto W U contendo q e um difeomorfismo ϕ : W V Z, de
⊂ → ×
classe Cr, onde V Rn p ´e um aberto e Z Rp ´e uma vizinhan¸ca
−
⊂ ⊂
aberta de y tal que a restric¸˜ao de F a W ´e igual `a composi¸c˜ao da
proje¸c˜ao(x,z) Rn p Rp z Rpcomϕ. Logoarestri¸c˜aodeϕa
−
U =W M ´eu∈mhome×omor7→fismo∈deU emU˜ Rn p easmudanc¸as
−
∩ ⊂
de coordenadas s˜ao claramente da classe Cr.
Analogamente, se F: U Cn Ck ´e uma func¸˜ao holomorfa e
⊂ →
y ´e valor regular de F, ent˜ao F 1(y) ou ´e vazio ou ´e uma variedade
−
complexa de dimens˜ao complexa n k.
−
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