Topics in classical algebraic geometry. Part 1

395 Pages·2009·1.718 MB·English

by  Dolgachev I.V.

Topics in Classical Algebraic Geometry.
Part I
IGORV.DOLGACHEV
January19,2009
ii
Contents
1 Polarity 1
1.1 Polarhypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Thepolarpairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Thefirstpolars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Thesecondpolars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 TheHessianhypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Parabolicpoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 TheSteinerianhypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Thedualhypersurface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Thepolarmap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Dualvarieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 ThePlu¨ckerequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Polarpolyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Apolarschemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Sumsofpowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Generalizedpolarpolyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Secantvarieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.5 TheWaringproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Dualhomogeneousforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Catalecticantmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Dualhomogeneousforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.3 TheWaringrankofahomogeneousform . . . . . . . . . . . 31
1.4.4 Mukai’sskew-symmetricform . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Firstexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.1 Binaryforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 Quadrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
HistoricalNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Conics 41
2.1 Self-polartriangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 TheVeronesequarticsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Polarlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3 Thevarietyofself-polartriangles . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
iv CONTENTS
2.1.4 Conjugatetriangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Ponceletrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Darboux’stheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Ponceletcurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Invariantsofpairsofconics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.4 TheSalmonconic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
HistoricalNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Planecubics 65
3.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Weierstrassequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 TheHesseequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.3 TheHessepencil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.4 TheHessegroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Polarsofaplanecubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 TheHessianofacubichypersurface . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 TheHessianofaplanecubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.3 Thedualcurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.4 Polarpolygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
HistoricalNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Determinantalequations 87
4.1 Planecurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1 Theproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.2 Planecurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.3 Thesymmetriccase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.5 QuadraticCremonatransformations . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.6 Amodulispace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Determinantalequationsforhypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.1 Cohen-Macauleysheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 Determinantswithlinearentries . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.3 Thecaseofcurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.4 Thecaseofsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
HistoricalNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Thetacharacteristics 113
5.1 Oddandeventhetacharacteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1 Firstdefinitionsandexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Quadraticformsoverafieldofcharacteristic2 . . . . . . . . 114
5.2 Hyperellipticcurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.1 Equationsofhyperellipticcurves. . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.2 2-torsionpointsonahyperellipticcurve . . . . . . . . . . . . 118
CONTENTS v
5.2.3 Thetacharacteristicsonahyperellipticcurve . . . . . . . . . 119
5.2.4 Familiesofcurveswithoddoreventhetacharacteristic . . . . 120
5.3 Thetafunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.1 Jacobianvariety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.2 Thetafunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.3 Hyperellipticcurvesagain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 Oddthetacharacteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.1 Syzygetictriads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.2 Steinercomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.3 Fundamentalsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Scorzacorrespondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.5.1 Correspondencesonanalgebraiccurve . . . . . . . . . . . . 136
5.5.2 Scorzacorrespondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.5.3 Scorzaquartichypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.4 Thetafunctionsandbitangents . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
HistoricalNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6 PlaneQuartics 147
6.1 Bitangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.1 28bitangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.2 Aronholdsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1.3 Riemann’sequationsforbitangents . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2 Quadraticdeterminantequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.1 Hesse-Coble-Rothconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.2 Symmetricquadraticdeterminants . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Eventhetacharacteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.1 Contactcubics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.2 Cayleyoctads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3.3 Sevenpointsintheplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4 Polarpolygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.1 ClebschandLu¨rothquartics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.2 TheScorzaquartic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4.3 Polarhexagons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4.4 AFanomodelofVSP(f;6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.5 Automorphismsofplanequarticcurves . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5.1 Automorphismsoffiniteorder . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5.2 Automorphismgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.3 TheKleinquartic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
HistoricalNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
vi CONTENTS
7 PlanarCremonatransformations 191
7.1 Homaloidallinearsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.1 Cremonatransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.2 Exceptionalconfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.3 Thebubblespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2 DeJonquie`restransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.1 Hyperellipticcurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3 Elementarytransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.1 Segre-Hirzebruchminimalruledsurfaces . . . . . . . . . . . 204
7.3.2 Elementarytransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.3 BirationalautomorphismsofP1×P1 . . . . . . . . . . . . . 209
7.3.4 DeJonquie`restransformationsagain . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4 Characteristicmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.1 Compositionofcharacteristicmatrices. . . . . . . . . . . . . 217
7.4.2 TheWeylgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4.3 Noether’sinequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.5 TheplaneCremonagroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.5.1 Noether-Fanoinequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.5.2 Noether’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8 DelPezzosurfaces 229
8.1 Firstproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.1.1 Varietiesofminimaldegree . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.1.2 Ablow-upmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.1.3 (−2)-curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2 LinesonDelPezzosurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2.1 Cremonaisometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2.2 LinesonDelPezzosurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3 Anti-canonicalmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.3.1 SurfacesofdegreedinPd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.3.2 QuarticDelPezzosurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9 Cubicsurfaces 255
9.1 TheE -lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6
9.1.1 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.1.2 TheE -lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6
9.1.3 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.1.4 Exceptionalvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.1.5 Sixers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.1.6 Steinertriadsofdouble-sixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.1.7 Tritangenttrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.1.8 Linesonanonsingularcubicsurface . . . . . . . . . . . . . . 268
9.1.9 Schur’squadrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
CONTENTS vii
9.2.1 Non-normalcubicsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.2.2 Normalcubicsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2.3 Canonicalsingularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.2.4 Segre4-nodalcubicsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.2.5 TheTable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3 Determinantalequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.1 Cayley-Salmonequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.2 Hilbert-BurchTheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.3.3 Thecubo-cubicCremonatransformation . . . . . . . . . . . 289
9.3.4 Cubicsymmetroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.4 Representationsassumsofcubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.4.1 Sylvester’spentahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.4.2 TheHessiansurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.4.3 Cremona’shexahedralequations . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10 AutomorphismsofDelPezzosurfaces 305
10.1 Elementsoffiniteorder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.1.1 TheWeylrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.1.2 Conjugacyclassesofelementsoffiniteorder . . . . . . . . . 306
10.2 AutomorphismsofDelPezzosurfacesofdegree≥4 . . . . . . . . . 308
10.2.1 AutomorphismsofDelPezzosurfacesofdegree6and5 . . . 308
10.2.2 AutomorphismsofDelPezzosurfacesofdegree4 . . . . . . 310
10.3 Automorphismsofanonsingularcubicsurface . . . . . . . . . . . . 310
10.3.1 Eckardtpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3.2 SubgroupsofW(E ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6
10.3.3 Automorphismsoffiniteorder . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.3.4 Automorphismsgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10.4 AutomorphismsofDelPezzosurfacesofdegrees1,2 . . . . . . . . . 328
10.4.1 AutomorphismsofDelPezzosurfacesofdegree2 . . . . . . 328
10.4.2 AutomorphismsofDelPezzosurfacesofdegree1 . . . . . . 328
11 GeometryofLines 337
11.1 Grassmaniansoflines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.1.1 Thetangentandthesecantvarieties . . . . . . . . . . . . . . 339
11.1.2 Theincidencevariety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.1.3 Schubertvarieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
11.2 Linearcomplexesoflines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
11.2.1 Linearcomplexesandapolarity . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.2.2 6lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
11.2.3 Linearsystemsoflinearcomplexes . . . . . . . . . . . . . . 357
11.3 Quadraticcomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.3.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.3.2 Intersectionof2quadrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.3.3 Kummersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11.4 Scrollsoflines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
viii CONTENTS
11.4.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
11.5 Ruledsurfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Chapter 1
Polarity
1.1 Polar hypersurfaces
1.1.1 Thepolarpairing
LetEbeafinite-dimensionalvectorspaceoverafieldKofcharacteristic0.Wedenote
bySkE itssymmetrickthpowerandletE∗ denoteitsdualspaceoflinearfunctions.
Wehaveacanonicalbilinearpairing
h, i:E⊗E∗ →K (1.1)
thatcanbeextended,usingtheuniversalpropertiesofsymmetricproducts,toabilinear
pairing
SkE⊗SdE∗ →Sd−kE∗, d≥k. (1.2)
In coordinates, it can be described as follows. Pick up a basis (ξ ,...,ξ ) of E and
0 n
let (t ,...,t ) be the dual basis in E∗. We can identify an element of SdE∗ with a
0 n
homogeneouspolynomialf ofdegreedinthevariablest ,...,t andanelementof
0 n
SkE withahomogeneouspolynomialψ ofdegreek invariablesξ . Sincehξ ,t i =
i i j
δ , we view each ξ as the partial derivative operator ∂ = ∂ . Hence any element
ij i i ∂ti
ψ ∈SkE canbeviewedasadifferentialoperator
D =ψ(∂ ,...,∂ ).
ψ 0 n
Thepairing(1.2)becomes
hψ(ξ ,...,ξ ),f(t ,...,t )i=D (f). (1.3)
0 n 0 n ψ
Foranymonomial∂i =∂i0···∂in andanymonomialtj =tj0···tjn,wehave
0 n 0 n
(
j! tj−i ifj−i≥0
∂i(tj)= (j−i!) (1.4)
0 otherwise.
1
2 CHAPTER1. POLARITY
Hereandlaterweusethevectornotation:
i!=i !···i !, i=(i ,...,i )≥0⇔i ,...,i ≥0, ,|i|=i +···+i .
0 n 0 n 0 n 0 n
Thisgivesanexplicitexpressionforthepairing(1.2). Consideraspecialcasewhen
X
ψ =(a ∂ +···+a ∂ )k =k! (i!)−1ai∂i.
0 0 n n
|i|=k
Then
X
D (f)=k! (i!)−1ai∂i(f). (1.5)
ψ
|i|=k
Let P(E) = Pn. We view any f ∈ SdE∗ as a section of OPn(d), and denote by
V(f)thehypersurfaceofdegreedinPn definedbyf. Itisconsideredasaneffective
divisorinPn,notnecessaryreduced.WeunderstandthatV(0)=Pn(thezerodivisor).
Wecanalsoviewψ ∈SkEasapolynomialdefiningahypersurfaceofdegreekin
thedualprojectivespacePˇn =P(E∗)(anenvelopeofclassk).
Weviewa ∂ +···+a ∂ 6= 0asapointa ∈ P(E)withprojectivecoordinates
0 0 n n
[a ,...,a ].
0 n
Definition1.1. LetX =V(f)beahypersurfaceofdegreedinPn. Thehypersurface
P (X))=V(D (f))
ak ak
of degree d − k is called th k-th polar hypersurface of the hypersurface V(f) with
respecttothepointa.
Example1.1.1. Letd=2,i.e.
n
X X
f(t ,...,t )= α t2+ α t t
0 n ii i ij i j
i=0 0≤i<j≤n
isaquadraticform. ThenP (V(f))=V(g),where
a
n
X ∂f X
D (f)= a =2 a α t , a =a .
a i∂t i ij j ji ij
i
i=0 0≤i,j≤n
Thelinearmapa 7→ 1D (f)isamapfromE toE∗ whichcanbeidentifiedwithan
2 a
elementofE∗⊗E∗ =(E⊗E)∗whichisthepolarbilinearformassociatedtof with
matrix(a ).
ij
Example 1.1.2. Let M (K) be the vector space of square matrices of size n with
n
coordinatest . Weviewthedeterminantfunction∆:M (K)→K asanelementof
ij n
Sn(M (K)∗),i.e. apolynomialofdegreeninthevariablest . LetC = ∂∆. For
n ij ij ∂tij
anypointA = (a )inM (K)thevalueofC atAisequaltotheij-thcofactorof
ij n ij
A. Then
n
X
D (∆)= M (a)t
an−1 ij ij
i,j=1