Tópicos de Topologia Geral e Análise Funcional

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by  Armando Machado

TÓPICOS DE TOPOLOGIA GERAL
E ANÁLISE FUNCIONAL
Armando Machado
Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências
Universidade de Lisboa

ÍNDICE
INTRODUÇÃO v
CAPÍTULO 1 Topologia Geral
§1. Generalidades sobre espaços métricos 1
§2. Espaços topológicos; aderência e limites 22
§3. Outros conceitos topológicos 78
§4. Funções contínuas e homeomorfismos 97
§5. Produto cartesiano de espaços topológicos 123
§6. Sublimites e espaços topológicos compactos 145
§7. Compacidade e completude em espaços métricos 183
§8. Espaços topológicos conexos 220
§9. Teoremas de Urysohn e Tietze. Partições da unidade 235
§10. Espaços de Baire 248
§11. Topologias quociente 253
CAPÍTULO 2 Espaços de Banach e espaços de Hilbert
§1. Espaços vetoriais normados 261
§2. Espaços de Banach 320
§3. Famílias somáveis num espaço de Banach e aplicações 354
§4. Teorema de Stone-Weierstrass 402
§5. Espaços pre-hilbertianos e espaços de Hilbert 411
§6. Outras topologias vetoriais. Topologias fracas 442
CAPÍTULO 3 Cálculo diferencial em espaços normados
§1. O diferencial duma aplicação 467
§2. Diferenciais de ordem superior 489
§3. As fórmulas da média e aplicações. Domínios localmente
convexos 510
§4. Os teoremas da função implícita e da função inversa 539
§5. O integral das aplicações vetoriais contínuas de variável real 547
§6. Equações diferenciais lineares 586
§7. Propriedades elementares das aplicações holomorfas 627
BIBLIOGRAFIA 691
ÍNDICE DE NOTAÇÕES 693
ÍNDICE REMISSIVO 699
INTRODUÇÃO
Este livro teve origem em cursos de Topologia Geral e de Introdução à
Análise Funcional que o autor teve ocasião de lecionar durante vários anos mas,
como é habitual nestas situações, acabou por abordar bastante mais assuntos do
que aqueles que é possível examinar nesses cursos. O livro está dividido em três
capítulos: O primeiro envolve a Topologia Geral; no segundo examinamos os
espaços de Banach e os espaços de Hilbert, incluindo a definição e as
propriedades básicas das respetivas topologias fracas; no terceiro estudamos o
Cálculo Diferencial, no sentido de Fréchet, no contexto dos espaços de Banach,
seguido do estudo, no mesmo contexto, do integral das aplicações contínuas de
variável real, de uma aplicação às propriedades básicas das equações diferenciais
ordinárias lineares e do exame das propriedades elementares das aplicações
holomorfas. Mais do que apontar o conteúdo detalhado de cada um dos
capítulos, conteúdo que facilmente se pode reconhecer pelo exame do índice,
vamos em seguida descrever as opções básicas que tomámos no desenvolvi-
mento de cada um deles.
No primeiro capítulo, após examinarmos a definição e propriedades básicas
dos espaços métricos, escolhemos introduzir os espaços topológicos como
espaços para os quais são fixadas convenientemente quais as vizinhanças de
cada ponto. Apesar de os axiomas que as vizinhanças devem satisfazer não
serem tão simples como os que aparecem quando se toma por exemplo a noção
de conjunto aberto como primitiva, esta via parece-nos ter o mérito de permitir
uma introdução das diferentes noções topológicas de uma forma mais próxima
da que se segue no caso dos espaços métricos. As primeiras noções topológicas
que abordamos são a de ponto aderente a um subconjunto e a de limite de uma
aplicação num ponto aderente ao seu domínio, as restantes noções de limite mais
comuns, os limites de sucessões indexadas em  ou, mais geralmente, de
sucessões generalizadas aparecendo como o caso particular do limite em _
para uma topologia conveniente na união do conjunto dos índices com _,
topologia que no caso dos índices em  é a induzida pela topologia usual da reta
estendida ‘Ö_ß_×. As restantes noções topológicas básicas, que
incluem as de conjunto fechado e de conjunto aberto, são estudadas em seguida,
não deixando naturalmente de se provar, por exemplo no caso dos abertos, que a
fixação a priori de uma classe de subconjuntos como candidatos a conjuntos
abertos determina univocamente uma topologia desde que se suponham verifi-
cadas as propriedades habituais, ficando assim construída a ponte com a
definição de espaço topológico que é mais frequentemente utilizada. A conti-
nuidade de uma aplicação num ponto é definida a partir da noção de limite, não
vi Introdução
deixando naturalmente de examinar as caracterizações habituais da continuidade
global em termos de conjuntos abertos e de conjuntos fechados. Os espaços
topológicos compactos são definidos como aqueles onde existe sublimite para
qualquer aplicação num ponto aderente ao seu domínio, onde os sublimites são
definidos como os limites de uma aplicação composta, condição que se prova ser
equivalente à noção habitual de valor de aderência (“cluster point”). Como caso
particular da noção de sublimite de uma aplicação num ponto aderente ao
domínio, damos o nome de sublimites estritos àqueles em que podemos tomar
como aplicação composta a restrição da aplicação a um subconjunto do domínio
e mostramos que as noções de sublimite e sublimite estrito são equivalentes no
caso em que os espaços de partida e de chegada são ambos metrizáveis, em
particular no caso das sucessões indexadas em  e com valores num espaço
metrizável. Provamos a equivalência da compacidade, definida pela existência
de sublimites, com a caracterização habitual pela propriedade das coberturas
abertas mas é a caracterização pelos sublimites que é utilizada para estabelecer a
maioria das propriedades dos espaços compactos, incluindo o teorema de
Tichonoff sobre a compacidade de um produto, finito ou infinito, de espaços
compactos. De volta aos espaços métricos, definimos a completude pelo
condição de existir limite para qualquer aplicação num ponto aderente ao
domínio desde que esta verifique a condição de Cauchy e provamos que uma
condição suficiente para a completude é a existência de limite para qualquer
sucessão de Cauchy indexada em . No contexto dos espaços completos
provamos o teorema do ponto fixo para aplicações contratantes, que é aplicado
mais tarde no estudo das funções implícitas e no das equações diferenciais
lineares, e incluímos uma versão paramétrica deste que garante a continuidade
do ponto fixo relativamente a um parâmetro, versão essa que é aplicada adiante
na prova da continuidade da função implícita. Ainda no contexto dos espaços
métricos referimos outras caracterizações de compacidade, nomeadamente a
compacidade sequencial e a conjunção da precompacidade com a completude e
estudamos as propriedades de continuidade uniforme na presença da
compacidade, incluindo a noção de “continuidade uniforme nos pontos de um
subconjunto” que é estritamente mais forte que a continuidade uniforme da
restrição.
No segundo capítulo estudamos os espaços normados e os espaços pre-hil-
bertianos, simultaneamente os que têm ‘ e os que têm ‚ como corpo dos
escalares, e as respetivas versões que são completas, os espaços de Banach e os
espaços de Hilbert, nestes últimos sem fazer qualquer hipótese de base contável.
Partindo da observação trivial de que qualquer espaço vetorial normado
complexo pode ser considerado trivialmente também como um espaço vetorial
normado real, tomámos o cuidado de apontar as relações das diferentes noções
que são estudadas quando consideradas nos contextos complexo e real, especial-
mente nos casos em que essa relação não seja trivial. A fim de podermos falar de
somas infinitas, no contexto dos espaços de Banach, sem ficar necessariamente
limitados às séries, utilizámos a noção de família somável, com um conjunto
arbitrário de índices, e estudámos as suas propriedades básicas. As famílias
somáveis são aplicadas, em particular, à construção dos espaços de Banach j:ÐMÑ
Introdução vii
com M conjunto arbitrário e à definição de aplicação bilinear de dualidade
envolvendo os espaços j:ÐMÑ e j;ÐMÑ, com : e ; expoentes conjugados. Estes
espaços, juntamente com o espaço j_ÐMÑ e com subespaços importantes deste,
por exemplo quando M é um espaço topológico compacto, são os exemplos mais
básicos que teremos ocasião de examinar, juntamente com os espaços de
aplicações lineares e multilineares contínuas e com os espaços normados
quociente. Uma omissão notável, ao nível dos exemplos, é o estudo dos espaços
análogos ao espaços j:ÐMÑ com M substituído por um espaço de medida, estudo
que pressupõe conhecimentos de Teoria da Medida que não quisémos admitir
como conhecidos. No contexto dos espaços vetoriais normados, examinamos a
versão analítica do teorema de Hahn-Banach que é aplicada, em particular, à
construção do mergulho isométrico usual no bidual topológico, o qual é utilizado
para construir um completado para os espaços vetoriais normados e para definir
os espaços de Banach reflexivos. Por razões de comodidade, o estudo das
propriedades dos espaços de Banach reflexivos, que inclui a prova da
reflexividade dos subespaços vetoriais fechados e dos espaços quociente de
espaços reflexivos, a da equivalência entre a reflexividade dum espaço de
Banach e a do seu dual topológico e a prova da reflexividade dos espaços j:ÐMÑ
com ":_, é feito com recurso à noção de forma bilinear dualizante na
primeira ou na segunda variável. No contexto dos espaços de Banach são ainda
examinados o teorema de Banach da aplicação aberta, o teorema do gráfico
fechado, a prova da completude dos espaços quociente e o teorema da limitação
uniforme. As famílias somáveis de vetores dum espaço de Banach referidas atrás
são ainda utilizadas para estabelecer as propriedades básicas dos elementos
invertíveis de uma álgebra de Banach, que incluem o facto de o conjunto destes
ser aberto e a continuidade da aplicação inversão. Ainda neste capítulo abor-
damos a definição da topologia fraca de um espaço vetorial normado e da topo-
logia fraca-estrela do seu dual e as propriedades de compacidade no respetivo
contexto, que incluem as ligadas à caracterização da reflexividade, aproveitando
para examinar outro exemplo importante de topologia vetorial não normada,
nomeadamente a da convergência uniforme nos compactos, no contexto das
aplicações contínuas definidas em espaços localmente compactos.
O último capítulo debruça-se sobre o Cálculo Diferencial, no sentido de
Fréchet, no contexto dos espaços vetoriais normados assim como de assuntos
relacionados que incluem o integral das aplicações contínuas definidas num
intervalo compacto de ‘ e com valores num espaço de Banach, de um ponto de
vista alternativo a existência de primitivas para as aplicações contínuas nesse
contexto, e a generalização mais próxima das primitivas, nomeadamente a exis-
tência de solução, com uma condição inicial dada, para as equações diferenciais
ordinárias lineares. As propriedades das soluções das equações diferenciais
ordinárias lineares são utilizadas, em particular, para definir a aplicação
exponencial de uma álgebra de Banach, e em particular de ‚, e estabelecer as
suas propriedades básicas; no contexto destas equações diferenciais examinamos
também o teorema de Frobenius sobre a existência de soluções para equações
diferenciais totais que verificam uma certa “condição de integrabilidade”. Tal
viii Introdução
como no segundo capítulo, os espaços vetoriais com que se trabalha poderão
normalmente ser reais ou complexos, o que nos leva por vezes a falar de
diferenciabilidade no sentido real e de diferenciabilidade no sentido complexo,
embora nas secções em que se estuda simultaneamente a diferenciabilidade nos
dois sentidos fique de fora o estudo das propriedades especiais da diferenciabili-
dade no sentido complexo. Abordamos na última secção o estudo elementar das
aplicações diferenciáveis no sentido complexo definidas em domínios abertos de
‚ ou, mais geralmente de um espaço vetorial normado complexo (aplicações
holomorfas), que inclui o facto de essas aplicações serem necessariamente de
classe G_ e a sua representabilidade como soma da série de Taylor. No
tratamento da versão mais geral da fórmula integral de Cauchy, para domínios
abertos em ‚, privilegiámos a utilização de combinações lineares formais de
caminhos de classe G", com coeficientes inteiros, relativamente à consideração
mais habitual de caminhos seccionalmente de classe G"Þ
Quando se estuda o Cálculo Diferencial no contexto das funções de variável
real é habitual considerar dois tipos de domínios: Para a definição das derivadas,
incluindo as de ordem superior e para o estudo das propriedades elementares
desta noção, que incluem o teorema de derivação da função composta, é
suficiente exigir que os domínios envolvidos tenham a propriedade de todos os
seus elementos serem pontos de acumulação; Para as propriedades mais
profundas, que exigem a utilização do “teorema da média” torna-se necessário
supor que os domínios são intervalos não triviais (de qualquer tipo) ou,
eventualmente, uniões de tais intervalos. Já quando se passa ao contexto das
aplicações de várias variáveis ou, mais geralmente de variável vetorial, é comum
exigir-se que os domínios sejam conjuntos abertos. Essa opção usual tem algo de
constrangedor, seja por não fazer aparecer o estudo das aplicações de uma
variável como caso particular do das de várias variáveis, seja por implicar
soluções ad hoc quando se é levado a considerar, por exemplo, aplicações do
tipo :Ð>Ñ0ÐBÑ, com > variável real com um intervalo fechado Ò+ß,Ó como
domínio e B variável vetorial com domínio aberto. Para ultrapassar o constran-
gimento referido, fomos levados a desenvolver o estudo da diferenciabilidade no
contexto dos domínios localmente convexos e totais, contexto que inclui tanto os
conjuntos abertos quanto os intervalos não triviais de ‘ de qualquer tipo e que é
fechado para a formação de produtos cartesianos.
O estudo da diferenciabilidade neste contexto não implica dificuldades
suplementares essenciais relativamente ao estudo que se faz habitualmente no
Introdução ix
contexto dos domínios abertos. Como exemplo típico de um domínio do tipo que
consideramos, temos, no caso de ‘#, o sugerido graficamente na figura atrás. Há
naturalmente situações em que o facto de certos domínios serem abertos é
essencial, situações que incluem o teorema das funções implícitas (do lado do
espaço de chegada destas, mas não do seu domínio) e o estudo das propriedades
especiais das aplicações holomorfas.
A Bibliografia que apresentamos no fim tem como único objetivo apontar as
obras que influenciaram mais diretamente o modo como abordámos os diferentes
assuntos, não tendo assim nenhuma pretensão de identificar os autores originais
nem de sugerir aproximações alternativas.
CAPÍTULO 1
Topologia Geral
§1. Generalidades sobre espaços métricos.
A noção de espaço métrico unifica várias situações que o estudante já
encontrou, em que está definida uma noção de distância entre elementos
de um dado conjunto a partir da qual outros conceitos, entre como o de
limite, podem ser estudados. Estas situações incluem pelo menos o estudo
dos números reais, onde se define a distância por .ÐBßCÑœlCBl e o
estudo dos espaços cartesianos ‘# e ‘$ (e, mais geralmente ‘8) onde uma
das noções de distância que se utiliza é a que corresponde a considerar a
distância geométrica entre os pontos do plano ou do espaço que
correspondem a dois elementos daqueles espaços quando se consideram
referenciais ortonormados fixados. Definimos em seguida a noção geral
de espaço métrico e estudaremos então de forma geral muitas das noções
que foram estudadas nos casos particulares referidos.
1.1.1 Um espaço métrico é um conjunto \, no qual se definiu uma métrica, isto
é uma aplicação .À\‚\ ÄÒ!ß_Ò verificando as propriedades seguintes:
a) .ÐBßBÑœ!;
b) .ÐBßCÑœ.ÐCßBÑ;
c) .ÐBßDÑŸ.ÐBßCÑ.ÐCßDÑ;
d) Se .ÐBßCÑœ!, então BœC.
À propriedade c), que é a única que, na maioria dos casos, necessita de uma
atenção mais cuidada, é costume dar-se o nome de desigualdade triangular.
Quando se considera uma métrica . num conjunto \ é costuma referir o
valor .ÐBßCÑ como sendo a distância dos elementos B e C.
Com frequência, e para simplificar os enunciados, referimo-nos simples-
mente a um espaço métrico \, omitindo a referência à métrica . que se
considera implícita.
1.1.2 (Generalização da desigualdade triangular) No contexto dum espaço
métrico, dados elementos B ßB ßáßB (onde 8 #), tem-se
" # 8
.ÐB ßB ÑŸ.ÐB ßB Ñ.ÐB ßB Ñâ.ÐB ßB Ñ.
" 8 " # # $ 8" 8
Dem: Pode justificar-se esta propriedade por indução em 8, começando por
reparar que o caso 8œ# se reduz à igualdade .ÐB ßB Ñœ.ÐB ßB Ñ.
" # " #
2 Cap. 1. Topologia Geral
Admitindo que o resultado vale para um certo 8, podemos escrever, quando
temos pontos B ßB ßáßB ,
" # 8"
.ÐB ßB ÑŸ.ÐB ßB Ñ.ÐB ßB ÑŸ
" 8" " 8 8 8"
Ÿ.ÐB ßB Ñâ.ÐB ßB Ñ.ÐB ßB Ñ. 
" # 8" 8 8 8"
1.1.3 (Uma desigualdade útil) Sejam \ um espaço métrico e BßCßD −\.
Tem-se então
l.ÐDßBÑ.ÐDßCÑlŸ.ÐBßCÑ.
Dem: Pela desigualdade triangular, podemos escrever
.ÐDßBÑŸ.ÐDßCÑ.ÐCßBÑœ.ÐDßCÑ.ÐBßCÑ,
.ÐDßCÑŸ.ÐDßBÑ.ÐBßCÑ,
donde
.ÐDßBÑ.ÐDßCÑŸ.ÐBßCÑ
.ÐDßCÑ.ÐDßBÑŸ.ÐBßCÑ.
Uma vez que l.ÐDßBÑ.ÐDßCÑl é um dos dois primeiros membros das desi-
gualdades precedentes, podemos concluir a desigualdade enunciada. 
1.1.4 (A métrica usual de ‘) No conjunto ‘ dos números reais fica definida
uma métrica pela igualdade
.ÐBßCÑœlCBlÞ
É esta a métrica que se considera implicitamente quando se encara ‘ como
um espaço métrico. Podemos referir-nos a ela como sendo a métrica usual de
‘.
Dem: As propriedades a) e d) da definição em 1.1.1 resultam de ! ser o
único número real cujo módulo é ! e a propriedade b) resulta do facto de um
número real e o seu simétrico terem o mesmo módulo. Quanto a c), dados
números reais BßCßD, vem
.ÐBßDÑœlDBlœlÐCBÑÐDCÑlŸlÐCBÑllÐDCÑlœ
œ.ÐBßCÑ.ÐCßDÑ. 
O modo como se definiu a métrica precedente em ‘, a partir do valor
absoluto, pode ser generalizado a situações em que em vez de ‘ temos um
espaço vetorial e em vez do valor absoluto temos aquilo a que se constu-
ma chamar uma norma.
1.1.5 (Norma num espaço vetorial real) Seja I um espaço vetorial (real).
Chama-se norma em I a uma aplicação I ÄÒ!ß_Ò, notada frequen-
temente BÈmBm, que verifique as seguintes propriedades: