Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra and Functional Analysis

127 Pages·2000·8.046 MB·English

by  Albrecht Böttcher, Sergei M. Grudsky (auth.)

18
TEXTSANDREADINGS
INMATHEMATICS
T oeplitz Matrices,
Asymptotic Linear Algebra
and Functional Analysis
Texts and Readings in Mathematics
Advisory Editor
C. S. Seshadri, SPIC Seienee Foundation, Chennai.
Managing Editor
Rajendra Bhatia, Indian Statistical Institute, New Delhi.
Editors
V. S. Borkar, Indian Institute of Seience, Bangalore.
R. L. Karandikar, Indian Statistieallnstitute, New Delhi.
C. Musili, University of Hyderabad, Hyderabad.
K. H. Paranjape, Institute of Mathematical Sciences, Chennai.
T. R. Ramadas, Tala Institute of Fundamental Research, Mumbai.
V. S. Sunder, Institute of Mathematical Seiences, Chennai.
A1ready Published Volumes
R. B. Bapat: Linear Algebra and Linear Models (Second Edition)
R. Bhatia: Fourier Senes
C. Musili: Representations of Finite Groups
H. Helson: Linear Algebra (Second Edition)
D. Sarason: Notes on Complex FUßetion Theory
M. G. Nadkarni: Basic Ergodie Theory (Second Edition)
H. Helson: Harmonie Analysis ( Seco.,d Edition)
K. Chandrasekharan: A Course on Integration Theory
K. Chandrasekharan: A Course on Topological Groups
R. Bhatia (ed.): Analysis, Geometry and Probability
K. R. Davidson: C· - Algebras by Example
M. Bhattacharjee el al.: Notes on Infinite Pennutation Groups
V. S. Sunder: Functional Analysis - Spectral Theory
V. S. Varadarajan: Algebra in Ancient and Modem Times
M. G. Nadkarni: Spectral Theory of Dynamical Systems
A. Borei: Semisimple Groups and Riemannian Symmetrie Spaces
M. Marcolli: Seiberg-WiHen Gauge Theory
T oeplitz Matrices,
Asymptotic Linear Algebra
and Functional Analysis
Albrecht Böttcher
Technical University o[ Chemnitz
Germany
and
Sergei M. Grudsky
Rostov-on-Don State University
Russ ian F ederation
rftCloUfßHINDUSTAN
BOOKAGENCY
Published by Hindustan Book Agency (India)
P 19 Green Park Extension, New Delhi 110016
Copyright © 2000 by Hindustan Book Agency ( India)
No part of the material protected by this copyright notice
may be reproduced or utilized in any form or by any means,
electronic or mechanical,including photocopying, record
ing or by any information storage and retrieval system,
without written permission from the copyright owner, who
has also the sole right to grant licences for translation into
other languages and publication thereof.
All export rights for this edition vest exclusively with
Hindustan Book Agency (India). Unauthorized export is a
violation of Copyright Law and is subject to legal action.
ISBN 978-81-85931-24-1 ISBN 978-93-86279-04-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-93-86279-04-0
Contents
Preface vii
1 Infinite Toeplits Matrices 1
1.1 Boundedness .. . . . . . 1
1.2 Compactness and SelflWljointness ........... . 3
1.3 C·-Algebras ...................... . 4
1.4 Fcedholm Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Continuous Symbols . . . . . . 8
1.6 Notes ............. . 13
2 C·-Algebras in Action 14
2.1 Finite Section Method 14
2.2 Perturbed Toeplitz Matrices .......... . 16
2.3 Algebraization of Stability ........... . . . .. 18
2.4 Stability Criteria . . . . . . . . . . . . .' . . . . 21
2.5 Asymptotic Inverses . . . . . . . . . . 23
2.6 Nonns ........ . 24
2.7 Nonns of Inverses. . . 24
2.8 Condition Numbers .. . . . . . .. 25
2.9 Eigenvalues of Hermitian Matrices ... . 26
2.10 Singular Values . . . . . .... . 28
2.11 Pseudospectra. . . . . . . . . . .. 30
2.12 Notes ........ . 33
3 Instability 36
3.1 Some Standard Tricks . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
3.2 At Least Polynomial Growth . . . . . . . . . . . . .. 38
3.3 At Most Polynomial Growth. . . . . . . . . . . . . .. 41
3.4 Semi-Definite Hermitian Matrices . . . . . . . . . . .. 46
vi Contents
3.5 Exponential Growth 47
3.6 Notes ....... 49
4 Condition Numbers 52
4.1 Norms of Pure Toeplitz Matrices 52
4.2 Structure of the Inverse . . . . . 56
4.3 Perturbed Toeplitz Band Matrices . 58
4.4 NOrmB of the Inverses of Toeplitz Matrices . . . 67
oe
4.5 Condition Numbers Toeplitz Matrices . . . . 73
4.6 Condition Numbers of Toeplitz-Like Matrices . 75
4.7 Notes ....................... 77
5 Singular Values 78
5.1 Basic Facts . 78
5.2 The Splitting Phenomenon 80
5.3 Extreme Singular Values .. 84
5.4 The First Szegö Limit Theorem. 88
5.5 The Avram-Parter Theorem . 92
5.6 Circulants............. 94
5.7 Toeplitz Band Matrices ..... 97
5.8 Zizler, Zuid wijk, Taylor, Arimoto . 98
5.9 Notes .............. . 104
Bibliography 106
Notation Index 113
Subject Index 115
PPrreeffaaccee
TThhee ssuubbjjeecctt ooff tthhiiss tteexxtt iiss tthhee rreellaattiioonn bbeettwweeeenn tthhee pprrooppeerrttiieess ooff
iinnffiinniittee TTooeepplliittzz mmaattrriicceess
aaoo aa--1l aa--22
aall aaoo aa--ll
= =
A (aj-k)j);=o
aaoo
aa22 aall
•, II •'
aanndd tthheeiirr llaarrggee ffiinniittee sseeccttiioonnss
ao
ao "' ,,' oa_-<{nan-:l'o} -l)} ).
AAnn == ((aajj--kk))j,jnk.=;-~Ol o == (( ::. :. .
On'-l
On-i ao
TThhiiBB iiss vveerryy bbiigg aanndd eevveenn iinneexxbhaauussttiibbllee ssuubbjjeecctt,, aanndd tthheerreeffoorree wwee
IrDolulSstt lliimmiitt oouurrsseellvveess ttoo aa ffeeww ccoonnccrreettee pprroobblleemmss hheerree., WWee wwiillll ffooccuuss
oouurr aatttteennttiioonn oonn ssiinngguullaarr vvaalluueess.. TThhee ssiinngguullaarr vvaalluueess
sl(An) ~ s2(An) $ ... ~ sn(An )
ooff AAnn aarree tthhee eeiiggeennvvaalluueess ooff ((~~AAnn)) 11//22., TThhee pprrooppeerrttiieess ooff tthhee ssiinngguullaarr
vvaalluueess ooff AAnn ffoorr ffiixxeedd nn ((oorr,, aass iinn ssoo--ccaalllleedd iinntteerrllaacciinngg tthheeoorreemmss,, ffoorr
ssoommee ccoonDBBeeCcuuttiivvee nn)) aarree ssttuuddiieedd iinn lliinneeaarr aallggeebbrraa., TThhee pprroobblleemm ooff
=
ddeetteennnniinniinngg ttbhee ssiinngguullaarr vvaalluueess ooff AAnn ffoorr llaarrggee nn ((ssaayy nn = 770000)) iiss
aa bbuussiinneessss ooff nnwumneerriiccaa1l lliinneeaarr aallggeebbrraa.. TThhee bbeehhaavviioorr ooff tthhee ssiinngguullaarr
=
vvaalluueess ooff AAnn ffoorr nn --++ 0000 ((oorr,, ssaayy,, ffoorr nn = 11002233)) iiss aa ccoonncceerrnn ooff
aassyymmppttoottiicc lliinneeaarr aallggeebbrraa.. FFiinnaallllyy,, tthhee iinnvveessttiiggaattiioonn ooff tthhee pprrooppeerrttiieess
ooff tthhee iinnffiinniittee mmaattrriixx AA iiss aa ttaasskk ooff ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss., TToo ggeett aann iiddeeaa
ooff wwhhaatt tthhiiss tteexxtt ijas aabboouutt,, wwee ceiittee aa ffeeww qquueessttiioonnss wwee wwiillll ccoonnssiiddeerr.,
vviilüi PPrreeJJooccee
QQuueessttiioonn 11.. DDooeess tthhee ssmmaalllleesstt ssiinngguullaarr vvaalluuee 8811((..44,,..)) ssttaayy aawwaayy
ffrroomm zzeerroo aass nn --++ oooo?? BBeeccaauussee
==
"811 ((AAn,.)) 11II~~1111l1--1I,,
11llAA;; 1111
tthhiiss iiss tthhee qquueeasttiiooDn wwhheetthheerr tthhee nDoOrrmmss 11 aarree uunniiffoorrmmllyy bboouunnddeedd
ffoorr aa1lll ssuuff6fi.cciieennttllyy llaarrggee RR.. WWee rreemmaarrkk tthhaatt tthhiias iiss aallssoo tthhee ccrruucciiaa11
qquueesstt iioonn wwhheenn ssttuuddyyiinngg tthhee ffiinniittee saeeccttiioonn mmeetthhoodd ffoorr tthhee ssoolluuttiioonn ooff
tthhee iinnffiinniittee ssyysstteemm AAxx == 1111,, tthhaatt iiss,, tthhee rreeppllaacceemmeenntt ooff tthhee ssyysstteemm
AAxx == 1J1I bbyy tthhee ssyysstteemm
7
( :~~ a_(~_l»)( r:)=(~l).
tIn-l . . . 00 ::t'n tln
QQuueessttiioonn 22.. TThhee mm&a.yyjjmmaall ssiinngguullaarr vvaalluuee ssnn((AAnn)) ccooiinncciiddeess wwiitthh
IIIIAAnnIIll,, aanndd iitt iiss eeaassiillyy sseeeenn tthhaatt I!ttAAnnIIll ~~ U"AAUU aass nn -~+ 0000.. TThhee nnoorrmm
IIIIAAIIII iiss aavvaallllaabbllee iinn mmaannyy ccaasaee8s,, bbuutt IIIIAAnnIIll iiss iinn ggeenneerraall ddiifflliiccuulltt ttoo 66nndd~~
TThhuuss,, aarree tthheerree ggoooodd eesattiimmaatteess ffoorr tthhee ssppeeeedd ooff tthhee ccoonnvveerrggeennccee ooff
IIIIAAnnllll IIIIAAIIII??
ttoo
QQuueessttiioonn 33.. IIfr tthhee ssmmaalllleesstt ssiinngguullaarr vvaalluuee "8l1((AAnn)) aapppprrooaacchheess aa
lliimmiitt dd,, wwhhaatt ccaann bbee ssaaiidd aabboouutt dd aanndd aabboouutt tthhee ssppeeeedd wwiitthh wwhhiicchh
SSII ((AAnn)) ggooeess ttoo dä?! FFoorr eexxaammppllee,, iiff dd >> 00,, iiss iitt ttrruuee tthhaatt
nA-llI-
d = I,
oorr,, eeqquuiivvaalleennttllyy,, iiss iitt ttrruuee tthhaatt
IIA-llI?
1I~11l-+
1IA; 11
AAnndd iiff tthhee aannsswweerr iiss iinn tthhee aaffffiirrmmaattiivvee,, hhooww ffaasstt ddooeess 1I~111l ccoonnvveerrggee
ttoo IIIIAA --lIllII?? NNoottiiccee tthhaatt tthhee nnoorrmm IIIIAA --1I1n1 iiss aatt oouurr ddiissppoossaall iinn rraarree ccaasseess
oonnllyy,, wwhhiillee 11IIAA;;1111ll ccaann bbee ccoommppuutteedd nnuummeerriiccaallllyy,, s8a&yY ffoorr nn == 770000,, aanndd
IIIIAA-1-1ll1l..
tthhee qquueessttii oonn iiss wwhheetthheerr IIIIAA7700~~11II iiss iinnddeeeedd cc1Io0ssee ttoo IInn tthhee ccaassee
==
dd 00,, tthhee qquueessttiioonn ccoonnssiiddeerreedd hheerree a&mmoouunnttss ttoo eessttiimmaattiinngg tthhee ggrroowwtthh
ooff I1IIA~1; 111l1 ttoo iinnffiinniittyy..
QQuueessttiioonn 44.. TThhee ccoonnddiittiioonn mnuumnbbeerr ooff AAnn iiss
IC(An) = sn(An)/SI(An) = IIAnllll~lll·
PPrreeffaaccee
11XX
1la8 iitt ttrruuee tthhaatt ,,,,((AAnn)) --+t IIIIAAIIIIIIIIAA--111111 aaBB nn --++ 0000,, aanndd iiff yyeeBs,, ccaann oonnee
eessttiimmaattee tthhee ssppeeeedd ooff ccoonnvveerrggeennccee?? CClleeaarrllyy,, tthhiiss qquueesstti ioonn ssuubbssuummeess
QQuueessttiioonnas 22 aanndd 33..
QQuueessttiioonn 55.. TThhee aahboovvee qquueessttiiooßllB8 ccoonncceerrnn tthhee eexxttrreemmee ssiinngguullaarr
vvaalluueess Ss I1 ((AAnn)) aanndd SSnn ((AAnn)).. WWhhaatt ccaann bbee asaaiidd aabboouutt tthhee ccoolllleeccttiivvee
bbeehhaavviioorr ooff tthhee ssiinngguullaarr vvaalluueess?? D00o tthheeyy 661111 oouutt aa cceerrttaaiinn lliimmiittiinngg sseett
aaBs nn --++ 0o0o1? HH yyeess,, ccaann oonnee iiddeennttiiffyy tthhiiss lliimmiittiinngg sseett aanndd ccaann oonnee eevveenn
ddeessccrriibbee tthhee aassyymmppttoottiicc ddiissttrriibbuuttiioonn ooff tthhee ssiinngguullaarr vvaalluueess aalloonngg tthhiias
lliimmiittiinngg sseett??
DDeessppiittee tthhee mmaannyy ooppeenn pprroobblleemmss wwee wwiillll bbee JJeeIttt wwiitthh,, wwee wwiillll bbee
aabbllee ttoo ggiivvee aannsswweerrss ttoo tthhee qquueessttiioollllBB rraaiisseedd aabboovvee tthhaatt aarree aaJlwwaayyss
bbeeaauuttiiffuull aanndd iinn mmaannyy ssiittuuaattiioonnss aallssoo uusseeffuull.. TThhee ddiifflliiccuullttyy wwiitthh
tthhee ttooppiicc iiss tthhaatt TTooeepplliittzz mmaattrriicceess ccaannnnoott bbee ttaacckklleedd bbyy tthhee ttooooIlss ooff
ffuunnccttiioonnaaII aannaallyyssiiss wwhhiicchh aarree uUsBuUaallllyy eemmppllooyyeedd wwhheenn wwoorrkkiinngg wwiitthh
sseellffaaddjjooiinntt oorr ccoommppaaectt ooppeerraattoorrss.. TThhee Craasscciinnaattiioonn ooff tthhee mmaatttteerr iiss
tthhaatt oonnee ccaann ggaaiinn aa wweeaalltthh ooff iinnssiigghhttss iinnttoo tthhee aassyymmppttoottiicc lliinneeaarr
aallggeebbrraa ooff TTooeepplliittzz mmaattrriicceess bbyy hhaavviinngg rreeccoouurrssee ttoo ssoommee aaddvvaanncceedd
ttooppiiccss ooff ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss,, ssuucchh aass CC·· --aallggeebbrraass aanndd iinnddeexx tthheeoorryy ooff
FFrreeddhhoollmm ooppeerraattoorrss..
TThhiiss tteexxtt iiss aann iinnttrroodduuccttiioonn ttoo tthhee ttooppiicc aanndd iiss tthheerreeffoorree aaddddrreesssseedd
ttoo bbeeggiinnnneerrss.. WWee 8a8ss8uummee tthhaatt tthhee rreeaaddeerr iiss ffaammiilliiaarr wwiitthh tthhee hbaassiiccss
ooff rreeaall aanndd ccoommpplleexx aannaallyyssiiss,, lliinneeaarr aallggeebbrraa,, aanndd ffWunlccttiioonnaall aannaallyyssiiss..
AAllmmoosstt aallll rreessuullttss ooff tthhiiss tteexxtt aarree aaccccoommppaanniieedd bbyy ffuullll pprrooooffBB.. IItt iiss
oonnllyy ssttaannddaarrdd rreessuullttss ffrroomm tthhee tthheeoorryy ooff CC··--aallggeebbrraass aanndd tthhee tthheeoorryy
ooff FFrreeddhhoollmm ooppeerraattoorrss tthhaatt aarree cciitteedd wwiitthhoouutt pprrooooffBs ((bbeeccaauussee tthheessee
aMree iinn tthhee wweellll kknnoowwnn tteexxttbbooookkss))..
IItt sshhoouulldd aallssoo bbee eemmpphhaassiizzeedd tthhaatt mmaannyy rreessuullttss ooff tthhiiss tteexxtt ccaann bbee
eesssseennttiiaallllyy ggeenneerraalliizzeedd,, ffoorr eexxaammppllee,, ttoo TTooeepplliittzz ooppeerraattoorrss wwiitthh ppiieeccee
wwiissee ccoonnttiinnuuoouuss ssyymmbboollss,, ttoo bblloocckk TTooeepplliittzz ooppeerraattoorrss,, oorr ttoo ooppeerraattoorrss
oonn IIPP ssppaacceess.. WWee nneevveerrtthheelleessss rreessttrriieett oouurrsseellvveess ttoo ssccaallaarr TTooeepplliittzz oopp
eerraattoorrss wwiitthh rraattiioonnaall ssyymmbboollss oonn l122,, bbeeccaauussee tthheessee ooppeerraattoorrss eemmeerrggee
iinn ssuuffffiicciieennttllyy mmaannyy aapppplliiccaattiioonnss aanndd bbeeccaauussee sseevveerraall iinntteerreessttiinngg pphhee
nnoommeennaa ~~ aaJlrreeaaddyy bbee ddeemmoonnssttrraatteedd wwiitthh ssuucchh ""ssiimmppllee"" TTooeepplliittzz
ooppeerraattoorrss.. WWee hhooppee tthhaatt tthhiiss rreessttrriieettiioonn iiss iinn tthhee bbeeggiinnnneerr''ss iinntteerr
eesstt.. TThhoossee wwhhoo wwaanntt ttoo kknnooww mmoorree oonn tthhee aassyymmppttoottiicc lliinneeaarr aallggeebbrraa