Thesis - Departement Computerwetenschappen - KU Leuven

282 Pages·2006·1.88 MB·English

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN
DEPARTEMENT COMPUTERWETENSCHAPPEN
AFDELING NUMERIEKE ANALYSE EN
TOEGEPASTE WISKUNDE
Celestijnenlaan 200A – B-3001 Leuven
MULTISCALE AND HYBRID METHODS
FOR THE SOLUTION OF OSCILLATORY
INTEGRAL EQUATIONS
Promotor: Proefschrift voorgedragen tot
Prof. Dr. ir. S. Vandewalle het behalen van het doctoraat
in de ingenieurswetenschappen
door
Daan HUYBRECHS
Mei 2006

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN
DEPARTEMENT COMPUTERWETENSCHAPPEN
AFDELING NUMERIEKE ANALYSE EN
TOEGEPASTE WISKUNDE
Celestijnenlaan 200A – B-3001 Leuven
MULTISCALE AND HYBRID METHODS
FOR THE SOLUTION OF OSCILLATORY
INTEGRAL EQUATIONS
Jury: Proefschrift voorgedragen tot
Prof. Dr. ir. L. Froyen, voorzitter het behalen van het doctoraat
Prof. Dr. ir. S. Vandewalle, promotor in de ingenieurswetenschappen
Prof. Dr. A. Bultheel
door
Prof. Dr. ir. G. Vandenbosch
Daan HUYBRECHS
Prof. Dr. ir. R. Cools
Prof. Dr. ir. D. Roose
Prof. Dr. A. Iserles
(University of Cambridge)
Prof. Dr. R. Stevenson
(Universiteit Utrecht)
U.D.C. 519.64
Mei 2006
c Katholieke Universiteit Leuven — Faculteit Ingenieurswetenschappen
(cid:13)
Arenbergkasteel, B-3001 Leuven, Belgium
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden
vermenigvuldigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk,
fotocopie, microfilm, elektronisch of op welke andere wijze ook zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
All rights reserved. No part of the publication may be reproduced in any
form by print, photoprint, microfilm or any other means without written
permission from the publisher.
D/2006/7515/48
ISBN 90-5682-714-6
Rev. 1.1
Multiscale and hybrid methods for the
solution of oscillatory integral equations
Daan Huybrechs
Departement Computerwetenschappen, K.U.Leuven
Celestijnenlaan 200A, B-3001 Leuven, Belgi¨e
Abstract
Wavesandoscillatoryphenomenaaboundinmanydisciplinesofscienceand
engineering. Prime examples are electromagnetic and acoustic waves that
permeatetheatmosphere. Inthisthesis,weanalyseanddevelopalgorithms
for the efficient numerical simulation of the scattering of such waves.
Time-harmonic scattering problems are modelled by an integral equa-
tion formulation. We consider three multiscale methods for the efficient
solution of the resulting oscillatory integral equation: methods based on
wavelets, methods based on hierarchical matrices and fast multipole meth-
ods. Although the discretisation matrix for integral equations is a dense
matrix, each of these methods yields a fast matrix-vector product, where
the number of operations scales approximately linearly in the number of
unknowns. The solution can then be obtained efficiently in combination
with an iterative Krylov subspace solver.
Weshowthatwaveletbasedmethodsarenotsuitableforhighfrequency
problems, where the number of oscillations is large with respect to the size
of the scattering obstacle. We quantify the behaviour of the method in the
oscillatory setting, and propose an improvement based on wavelet packets.
Quadrature techniques are constructed for the efficient implementation of
wavelet Galerkin discretisations. Methods based on hierarchical matrices
and fast multipole methods are discussed for low frequency and high fre-
quency scattering problems, and their applicability is compared.
iv
Due to their ubiquitous nature in wave phenomena, oscillatory integrals
arestudied. Anewmethodisproposedfortheevaluationofunivariateand
multivariate oscillatory integrals, based on an extension of the method of
steepest descent. Contrary to traditional methods, the accuracy of the new
method increases rapidly with increasing frequency of the integrand, and it
is shown that its computational cost is very low.
Finally, the insights in the behaviour of oscillatory integrals lead to the
formulation of a novel method for highly oscillatory integral equations. We
proposeahybridmethodthatcombinesasymptoticestimatesofthesolution
with a classical boundary element discretisation. The hybrid asymptotic
method requires a number of operations that is fixed with respect to the
frequency. Results are given for the case of smooth and convex scattering
obstacles. We show that the discretisation matrix in this case is small and
highly sparse.
Multiscale and hybrid methods for the
solution of oscillatory integral equations
Daan Huybrechs
Departement Computerwetenschappen, K.U.Leuven
Celestijnenlaan 200A, B-3001 Leuven, Belgi¨e
Samenvatting
Golven en golfverschijnselen komen voor in verchillende disciplines van de
wetenschap en in vele ingenieurstoepassingen. De voornaamste voorbeel-
den zijn electromagnetische en akoestische golven die ons overal omgeven.
In deze doctoraatsthesis analyzeren en ontwikkelen we algoritmes voor de
effici¨ente numerieke simulatie van de weerkaatsing van dergelijke golven.
Tijdsharmonischeverstrooi¨ıngsproblemenwordengemodelleerdmeteen
wiskundige formulering in de vorm van een integraalvergelijking. We be-
kijken drie multischaalmethodes voor het oplossen van de resulterende os-
cillerende integraalvergelijking: methodes gebaseerd op wavelets, methodes
gebaseerdophi¨erarchischematricesensnellemultipoolmethodes. Hoewelde
discretizatiematrix voor integraalvergelijkingen een volle matrix is, maakt
elk van die methodes een snel matrix-vectorproduct mogelijk waarbij het
aantal bewerkingen bij benadering linear is in het aantal onbekenden. De
oplossing kan dan snel gevonden worden in combinatie met een iteratieve
Krylov deelruimte oplossingsmethode.
We tonen aan dat waveletgebaseerde methodes niet geschikt zijn voor
problemen met hoge frequenties, waarbij het aantal oscillaties groot is ten
opzichtevandegroottevanhetweerkaatsendeobstakel. Weanalyzerenhet
gedragvandemethodeineensterkoscillerendregime,enstelleneenverbe-
tering voor op basis van wavelet pakketten. Kwadratuurtechnieken worden
vi
opgesteld voor de effici¨ente implementatie van wavelet-Galerkin discretiza-
ties. Methodes gebaseerd op hi¨erarchische matrices en snelle multipool-
methodes worden onderzocht voor lage- en hoge frequentieregimes, en de
toepasbaarheid van de methodes wordt vergeleken.
Omwille van hun verschijnen in de beschrijving van tal van golfproble-
men, worden vervolgens integralen bestudeerd met een sterk oscillerende
integrand. Er wordt een nieuwe methode voorgesteld voor de evaluatie van
dergelijkeintegralenin´e´enofmeerderedimensies,gebaseerdopeenuitbrei-
dingvandemethodevandesteilstehelling. Integenstellingtottraditionele
methodesverhoogtdenauwkeurigheidvandenieuwemethodesterkbijstij-
gende frequenties, en we tonen aan dat de berekeningstijd klein blijft.
Tenslotte worden de verworven inzichten in het gedrag van oscillerende
integralen aangewend in een originele oplossingsmethode voor sterk oscil-
lerende integraalvergelijkingen. We stellen een hybride methode voor die
een asymptotische schatting van de oplossing combineert met een klassie-
ke randelementendiscretizatie. Resultaten worden gegeven voor het geval
van convexe obstakels met een zachtverlopende rand. We tonen aan dat de
discretisatiematrix in dit geval klein is en in hoge mate ijl.
Preface
This thesis is the result of four years of research in numerical analysis, of
analysing and developing algorithms for the simulation of engineering pro-
blems. YoucouldsaythatIhavespenttheseyearstakingthingsaparttosee
whatmakesthemwork. ThisismuchlikeIdidwhenIwasyoung,although,
admittedly, wavelets are somewhat less tangible than clock radio’s.
Severalpeoplehavehelpedmetogettothispoint,andI’dliketomention
a few that have made a difference. Foremost, I would like to thank Stefan
Vandewalle,mysupervisor. Hehasoriginallygivenmethechancetopursue
thestudyofintegralequations. Sincethen,hehasactivelysupportedmein
various ways, and introduced me to many people. Also, it is no coincidence
that almost every referee report that we received on one of our papers
stated that the paper was well written. This is certainly due to Stefan and
his strong desire for clarity and perfection.
A number of people from abroad have also played an important role. I
thankStephenLangdonandSimonChandler-Wilde(UniversityofReading)
for inviting me to Reading and for the great experience I’ve had there.
Likewise, I thank Arieh Iserles (University of Cambridge) for a wonderful
visit to Cambridge, but also for his support in my research and for the
opportunity to participate in the HOP programme at the Isaac Newton
InstituteinCambridgenextyear. Iamverymuchlookingforwardtodoing
research in the United Kingdom.
I thank all the members of the jury for agreeing to take part in my de-
fence,andespeciallymyassessorsAdhemarBultheelandGuyVandenbosch
fortheircarefulreadingofthetextandtheirsuggestionsforimprovements.
IhavelearnedmanyaspectsofnumericalintegrationfromRonaldCools.
There are numerous other people at the department who had an influence
on this thesis, in particular the members of the TWR research group and
theothergroups, withwhomI’vehadmanyinterestingdiscussions. I’dlike
to thank Bert, Dominik and Bart for making our office an enjoyable place
to work, and Pieter for the many snooker games. It’s funny to notice how
the level of our game accurately reflected the deadlines we faced. Judging
from past experiences, we should be breaking some records after our PhD.
vii
viii PREFACE
Finally, I would like to thank my family and friends for their support
over the years, especially my fianc´ee Elise. The times I was faced with a
choice of different research paths to pursue, her advice has invariably been
to work harder and do it all. She then made sure that I could do so. It is
impossibletosayhowmuchhermotivationandencouragementhavehelped
me, except that it must be a lot.
Fouryearsago,intheprefaceofmymaster’sthesis,Iwrotethatresearch
is an ongoing process without end. It’s an obvious truth, that I can easily
repeathere. Itisperhapsatellingfactthatthelistofsuggestionsforfuture
researchattheendofthisthesisislongerthanthelistofachievements. One
cannotpossiblyhopetofindalltheanswers. Instead,intheyearstocome,
I hope to find many more interesting questions.
Daan Huybrechs
May 2006