THÈSE Nicolas Laurent Alexandre MILLOT GRADE DE DOCTEUR

125 Pages·2011·1.14 MB·English

ÉCOLE CENTRALE DES ARTS
ET MANUFACTURES
« ÉCOLE CENTRALE PARIS »

THÈSE
présentée par

Nicolas Laurent Alexandre MILLOT

pour l’obtention du

GRADE DE DOCTEUR

Spécialité : Mathématiques Appliquées

Laboratoire d’accueil : MAS

SUJET : Couverture des produits dérivés par minimisation locale de critères de
risque convexes

soutenue le : 17 février 2012

devant un jury composé de :

Huên Pham Président
Frédéric Abergel Directeur de thèse
Denis Talay Examinateur
Bruno Bouchard Examinateur
Martin Schweizer

2012ECAP0016
Hedging Contingent Claims by
Convex Local Risk-Minimization
Nicolas Laurent Alexandre MILLOT
MAS Department
´
Ecole Centrale Paris
A thesis submitted for the degree of
PhD in Applied Mathematics
17 February 2012
A` mes parents.
R´esum´e
Ons’int´eressedanscetteth`ese`alacouverturedesproduitsd´eriv´esdansdes
march´es incomplets. L’approche choisie peut se voir comme une extension
des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadra-
tique. En effet, tout en restant dans le cadre de la mod´elisation des actifs
par des semimartingales, notre m´ethode consiste `a remplacer le crit`ere de
risquequadratiqueparuncrit`erederisqueplusg´en´eral, souslaformed’une
fonctionnelle convexe du couˆt local. Nous obtenons d’abord des r´esultats
d’existence, d’unicit´e et de caract´erisation des strat´egies optimales dans un
march´e sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous ex-
plicitons ces strat´egies dans le cadre de mod`eles de diffusion avec et sans
sauts. Nous ´etendons ´egalement notre m´ethode au cas ou` la liquidit´e n’est
plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations num´eriques les
effetsduchoixdelafonctionnellederisquesurlaconstitutionduportefeuille
optimal.
Abstract
This thesis deals with the issue of hedging contingent claims in incomplete
markets. The way we tackle this issue may be seen as an extension of M.
Schweizer’s work on quadratic local risk-minimization. Indeed, while still
modelling assets as semimartingales, our method relies on the introduc-
tion of a convex function of the local costs to assess risk, thus relaxing the
quadratic assumption. The results we obtain are existence and uniqueness
results first and characterizations of optimal strategies in a frictionless mar-
ket, both in discrete and continuous time settings. We then make those
strategies explicit by using diffusion models with and without jumps. We
further extend our approach in the case when liquidity is given through a
stochastic supply curve. Finally we show the effect of the choice of different
riskfunctionsontheoptimalportfoliobynumericallysolvingtheoptimality
equations.
Remerciements
Jetienstoutd’abord`aexprimermasinc`eregratitudeenversFr´ed´ericAbergel
pourm’avoirpropos´ecesujet, jeleremerciechaleureusementpoursesnom-
breuxconseilsfructueuxetsurtoutpoursesencouragements,sacompr´ehension
et sa gentillesse.
Un grand merci ´egalement `a Lionel Gabet qui m’a tenu au courant des
avanc´ees de la cr´eation de la chaire de finance quantitative apr`es que je lui
ai fait part de mon d´esir d’effectuer une th`ese.
JeremercieBrunoBouchardetDenisTalayquim’ontfaitl’honneurd’accepter
d’ˆetre les rapporteurs de cette th`ese et j’adresse mes sinc`eres remerciements
aux membres du jury, Huyˆen Pham et Martin Schweizer.
Je remercie ´egalement le personnel et les doctorants du laboratoire MAS
de l’E´cole Centrale Paris pour leur accueil sympathique ; je remercie plus
particuli`erementAbhijeetGaikwad, AymenJedidi, OlafTorn´eetRiadhZa-
atour pour leur aide `a l’accomplissement de ce travail. Toute ma gratitude
va aussi `a Laurent Series grˆace `a qui j’ai pu avoir acc`es aux supercalcula-
teurs du m´esocentre, soirs et weekends compris !
Enfin, mes plus vifs remerciements vont `a ma famille et `a mes amis dont
le soutien sans faille aura ´et´e plus que n´ecessaire pour mener `a bien cette
th`ese.
Contents
Notations ix
1 Introduction 1
1.1 Pricing and Hedging Derivatives Products . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Introduction 7
2.1 Couverture et ´evaluation des produits d´eriv´es . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Quadratic Local Risk Minimization 19
3.1 Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Local Risk-Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Continuous Time Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Assumptions and Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Local Risk-Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3 Explicit Characterization of Locally Risk-Minimizing Strategies . 31
4 Convex Local Risk Minimization 33
4.1 Measuring Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Discrete time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 Definitions and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 Local f−Risk Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Continuous Time Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Definitions and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Local f−Risk-Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.3 The f−Costs Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
v
CONTENTS
4.3.4 Pseudo-Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 g−Martingales and Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Application to Stochastic Volatility Models 57
5.1 Model Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Quadratic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 Existence and Uniqueness Results . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2 Complete markets case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Quadratic FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Application to Jump Diffusion Models 65
7 Liquidity 69
7.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Liquidity costs and risk process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Optimal and pseudo-optimal strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Continuous time setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4.1 The f−Costs Process (inclusive of liquidity costs) . . . . . . . . 75
7.4.2 The supply price process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5 Application to stochastic volatility models . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.5.1 PDE formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5.2 The minimization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.6 Application to stochastic volatility/jump diffusion models . . . . . . . . 86
7.6.1 PIDE formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8 Numerical Results and Comparisons 91
8.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Benchmark Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.1 Solving the Quadratic Forward-Backward Stochastic Differential
Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.2 Solving the Nonlinear Partial Differential Equation . . . . . . . . 96
8.2.3 Discrete Time Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.4 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3 Mean Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
vi
CONTENTS
References 109
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CONTENTS
viii