THÈSE DOCTEUR DE LA COMMUNAUTE UNIVERSITE DE GRENOBLE ALPES Alexis FAURE ...

330 Pages·2017·31.43 MB·French

THÈSE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE LA COMMUNAUTE UNIVERSITE
DE GRENOBLE ALPES
Spécialité : Matériaux, Mécanique, Génie Civil, Electrochimie
Arrêtéministériel:25mai2016
Présentéepar
Alexis FAURE
Thèse dirigée par Rafael ESTEVEZ, Professeur UJF
etcodirigéeparGuillaumePARRY,MaîtredeconférencesGrenobleINP
préparéeausein duLaboratoiredeScienceetIngénieriedesMatériaux
et des Procédés (SIMaP)
etdel’Écoledoctoraled’Ingénierie-MatériauxMécaniqueEnergétique
Environnement Procédé Production (I-MEP2)
Optimisation de forme de matériaux et struc-
tures architecturés par la méthode des lignes
de niveaux avec prise en compte des interfaces
graduées
Thèse soutenue publiquement le 9 octobre 2017,
devant le jury composé de :
M. Olivier PANTZ
Professeur,UniversitédeNiceSophia-Antipolis,Rapporteur
M. Boris DESMORAT
MaîtredeconférenceHDR,Institutd’Alembert,Rapporteur
M. Yves BRECHET
Professeur,GrenobleINP,Examinateur
M. Grégoire ALLAIRE
Professeur,ÉcolePolytechnique,PrésidentduJury
M. Anthony GRAVOUIL
Professeur,INSALyon,Examinateur
M. Rafael ESTEVEZ
Professeur,UniversitéGrenobleAlpes,Directeurdethèse
M. Guillaume PARRY
MaîtredeconférenceHDR,GrenobleINP,Co-encadrantdethèse
M. Georgios MICHAILIDIS
Docteur,Ingénieurdéveloppement,Invité

3
Remerciements
Une thèse ne se fait pas toute seule, il faut travailler de manière constante, s’investir, se
passionner même. Mais tout cela n’est pas suffisant, si une thèse ne se fait pas toute seule, elle
ne se fait surtout pas seul!
Surceplanlàj’aiétégénéreusementservi!Etj’aidefaitbeaucoupdepersonnesàremercier.
D’abord le laboratoire qui m’a accueilli, je souhaite remercier la multitude de personnes
souriantes que j’ai eu la chance de rencontrer en arpentant les couloirs.
MerciàAlain quiatoujourseuà cœurdemettreàma dispositiondesmoyensinformatiques
adaptés à mes besoins, j’ai apprécié toutes nos discussions techniques et son souci d’aider!
Merci à Jacqueline, qui m’a géré administrativement, de la signature de mon contrat de
travail jusqu’à la préparation de ma soutenance de thèse.
Merci à Catherine, Catherine (et oui il y en a deux), Magalie, Edouard, Guy et Bruno pour
tout les moments d’échanges dans la cafétéria du troisième : rien de tel qu’un repas où l’on rit
de bon cœur pour restaurer la bonne humeur et l’envie d’avancer, même quand rien ne marche.
Je remercie Yves Bréchet et à travers lui le CEMAM qui m’a financé et qui a cru en le
projet.
Je remercie aussi Rafael qui a été un directeur de thèse à l’écoute, qui m’a motivé et n’a
pas manqué d’encourager chaque effort. Il m’a entrainé vers de belles collaborations, puis a su
me laisser les porter et les faire vivre de moi même. J’ai eu la chance d’avoir un directeur de
thèse accessible et ouvert à l’échange... Et qui partage de plus avec moi un goût prononcé pour
les repas généreux accompagnés d’une bonne bouteille, la vie quoi!
Et que serait un laboratoire sans d’autres thésards! Marie, Ilhem, Idir, Clément, Nicolas,
Anne et Romain, merci à vous pour votre bonne humeur et pour tous les échanges, plus ou
moins sérieux, qui ont jonchés ces trois années! J’ai aussi une pensée pour Cristian, dont la
bonne humeur et l’optimisme éclairent même les moments les plus démotivants. Et que serait
cette équipe sans Nadia, comme moi résidente permanente du bureau 317, avec qui j’ai partagé
presque chaque journée de travail. Merci pour la bonne humeur, pour le soutiens quand les
simulations échouaient par paquets de mille, et pour toutes les discussions que nous avons pu
avoir : j’ai commencé ma thèse avec une collègue, maintenant j’ai une bonne amie.
Je remercie aussi Robin et Étienne pour les nombreuses discussions techniques passionnées,
c’était un réel plaisir d’échanger avec eux, j’ai beaucoup appris.
Il faut maintenant remercier le chef des armées, le général Georgios! Jamais un thésard,
même dans ses rêves les plus fous, n’aurait pu imaginer un encadrant autant investi et mo-
tivé. Pendant trois ans nous avons échangé quotidiennement, j’ai eu accès à travers lui à une
connaissance livresque et à des explications détaillées. Nous avons creusé chaque détail, il a été
guide et force de travail, tenant successivement la pelle et la lampe de poche quand cela a été
nécessaire!
J’ai aussi eu la chance de collaborer avec beaucoup d’autres personnes, autant de person-
nalités enrichissantes que je souhaite aussi remercier.
De la part d’un professeur réputé, on s’attend à de la précision et à des conseils scientifiques
avisés, Grégoire en a été une excellente illustration durant toute ma thèse. Merci pour tout ces
échanges enthousiastes, pour la pédagogie, le tout avec une grande simplicité. Merci aussi pour
les nombreux échanges au CMAP avec Jean-Léopold, Aymeric, Perle et bien sur Marc qui m’a
accordé beaucoup de son temps et sa confiance.
Merci aussi à Charles du LJK qui a été un exemple de rigueur, de compétence et de moti-
vation : le genre de collaborateur qui vous donne envie d’avancer!
Je souhaite aussi remercier mes parents qui m’ont toujours soutenu. De mon premier "point
vert" en maternelle jusqu’à mon doctorat vous avez été présent pour m’encourager : merci à
vous.
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EnfinjeremerciemachèrefemmeAdelinequim’aaccompagnépendanttoutcelongvoyage,
me donnant la force et l’envie d’avancer chaque jour.
Table des matières
Page de garde 1
Sommaire 9
Introduction 11
A Optimisation de domaine pratique 17
I Formulation et résolution d’un problème d’optimisation 21
1 Définition d’un problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1 Formulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Résolution d’un problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Commentaires et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Une revue des méthodes itératives à gradient les plus courantes . . . . . . . . . 25
2.1 Lagrangien et Lagrangien augmenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Introduction à la programmation séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 MFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Autres méthodes dans la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Bilan sur les méthodes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Bilan du chapitre I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Une revue des descriptions de domaine 41
1 Plusieurs pistes pour la description de domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.1 Paramétrages réduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 Paramétrage en densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3 Bilan sur les méthodes de description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Méthode des lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Définition et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Description de plusieurs sous domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Évolution d’une fonction ligne de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Mise en œuvre de la méthode des lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Méthode de "frontière immergée" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Autres méthodes et améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bilan du chapitre II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IIIDérivation de forme: bases et mise en œuvre 63
1 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1 Concept de la dérivation de forme et théorèmes généraux . . . . . . . . . 64
1.2 Concordance avec la méthode des lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . 65
5
6
2 Dérivation pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1 Méthode de Céa pour la dérivation de forme rapide . . . . . . . . . . . . 66
2.2 Discrétisation et régularisation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Discussion autour des erreurs d’évaluation du gradient de forme . . . . . 71
Bilan du chapitre III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Conclusion de la Partie A 73
B Optimisation de forme de matériaux architecturés avec prise
en compte des effets d’interface graduée 77
IVMotivations et état de l’art 79
1 Généralités sur les matériaux architecturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.1 Une définition du matériau architecturé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.2 Matériaux architecturés et contrôle de la cinématique locale . . . . . . . 83
1.3 Choix de l’architecture: de l’intuition à l’optimisation de domaine . . . . 86
2 Propriétés thermoélastiques extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1 Contexte et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2 Matériau architecturé et contrôle de la dilatation thermique . . . . . . . 91
2.3 Résultats de la littérature et interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Prise en compte des interfaces graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1 Classification et description des interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Deux visions différentes des interfaces graduées . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Interfaces graduées et propriétés des matériaux architecturés . . . . . . . 98
Bilan du chapitre IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
V Définition du problème d’optimisation et calcul des quantités optimisables 103
1 Formulation complète du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.1 Définition des propriétés physiques à optimiser . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.2 Formulations de la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.3 Formulation retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2 Modélisation et dérivation de forme des quantités optimisables . . . . . . . . . . 112
2.1 Méthodes d’homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Dérivation des critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3 Prise en compte des aspects numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1 Difficultés liées à la formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2 Difficultés liées aux méthodes de programmation séquentielle . . . . . . . 119
3.3 Stratégies de simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bilan du chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
VIApplications de la méthode à plusieurs cas d’étude 123
1 Définition des paramètres d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.1 Choix des propriétés des constituants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.2 Calcul des propriétés effectives par homogénéisation périodique . . . . . . 126
1.3 Optimisation de la microstructure et influence de la topologie initiale . . 126
1.4 Choix de la formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2 Optimisation des propriétés thermoélastiques sans gestion des interfaces graduées128
2.1 Étape de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2 Étape d’isotropisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7
3 Optimisation des propriétés thermoélastiques avec gestion des interfaces graduées141
3.1 Modifications nécessaires de l’implémentation . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.2 Étape de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3 Étape d’isotropisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Bilan du chapitre VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Conclusion de la Partie B 155
C Intégration des matériaux architecturés et prise en compte des
contraintes de fabrication 157
VII Du matériau architecturé à la structure: conception, intégration et pro-
duction 159
1 Plusieurs pistes de conception de structures architecturées . . . . . . . . . . . . 160
1.1 Solution à une échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.2 Solution utilisant des matériaux architecturés . . . . . . . . . . . . . . . 164
1.3 Bilan sur les différentes solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2 Fabrication des structures architecturées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.1 Fabriquer et intégrer un matériau architecturé . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.2 Fabriquer une structure architecturée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3 Une présentation de quelques méthodes de fabrication additive . . . . . . . . . . 172
3.1 Présentation de quelques méthodes et de leur intérêt . . . . . . . . . . . 172
3.2 Limitations des méthodes de fabrication additives . . . . . . . . . . . . . 174
Bilan du chapitre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
VIII Prise en compte des propriétés induites lors d’une impression FDM 177
1 Modélisation des propriétés physiques d’une pièce imprimée . . . . . . . . . . . 178
1.1 Observation d’une pièce imprimée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
1.2 Un modèle descriptif pour les propriétés des pièces fabriquées par FDM . 181
2 Prise en compte des propriétés induites dans le processus d’optimisation . . . . . 184
2.1 Impact de la modification du modèle descriptif . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.2 Mise en œuvre de la formulation proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.1 Définition des paramètres de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2 Présentation des résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Bilan du chapitre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
IX Optimisation avec prise en compte des contraintes de fabrication 207
1 Gestion du problème des porte-à-faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
1.1 Solutions techniques permettant d’imprimer des zones en porte-à-faux
proposées dans la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
1.2 Formulations permettant le contrôle des porte-à-faux . . . . . . . . . . . 211
2 Implémentation du critère mécanique et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2.1 Implémentation du critère mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2.2 Résultats numériques utilisant le critère mécanique . . . . . . . . . . . . 219
Bilan du chapitre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Conclusion de la Partie C 227
8
D Prise en compte des non-linéarités géométriques et matériaux229
X Motivations et état de l’art 233
1 Résultats de la littérature prenant en compte les non-linéarités . . . . . . . . . . 234
1.1 Prise en compte des non-linéarités géométriques . . . . . . . . . . . . . . 234
1.2 Prise en compte de la non-linéarité de la loi de comportement . . . . . . 235
2 Résolution d’un problème de mécanique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2.1 Équations d’état non linéaires et discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . 237
2.2 Résolution numérique d’un problème non linéaire . . . . . . . . . . . . . 240
2.3 Complications numériques liées à la prise en compte des non-linéarités . . 242
3 Une présentation de plusieurs critères pertinents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.1 Les critères utilisés dans la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.2 Contrainte de point de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Bilan du chapitre X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
XIOptimisation de domaine avec prise en compte des non-linéarités 249
1 Optimisation de structures avec prise en compte des non-linéarités . . . . . . . . 250
1.1 Optimisation de structures matériau+vide . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
1.2 Optimisation de structures multi-matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2 Conception d’actuateurs non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
2.1 Optimisation de plusieurs déplacements cibles . . . . . . . . . . . . . . . 263
2.2 Optimisation d’un chemin de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
2.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Conclusion de la Partie D 273
Conclusion et perspectives 275
Annexes 279
A Codes minimalistes d’algorithmes d’optimisation 283
1 Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1.1 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2 SLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
2.1 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3 SQP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.1 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4 MFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.1 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.2 Modification: Ajout de permissivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
B Études des bornes de théoriques pour les propriétés thermomécaniques des
matériaux architecturés 299
1 Borne de Hashin-Shtrikman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
1.2 Extraction de bornes sur le module de Young . . . . . . . . . . . . . . . 300
1.3 Extraction de bornes sur le coefficient de Poisson . . . . . . . . . . . . . 300
2 Bornes pour la dilatation thermique des matériaux multi-phasés . . . . . . . . . 301
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9
2.2 Étude sur les propriétés atteignables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
2.3 Étude paramétrique des bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
C Détails des dérivations de forme 309
1 Outils mathématiques pour la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
2 Mécanique des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
2.1 Compliance en élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
3 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
3.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
3.2 Coefficients du tenseur d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Bibliographie 317
10
Notation
variable notation
Fonction objectif du problème d’optimisation J
Gradient de la fonction objectif du problème d’optimisation ∇J
Contrainte d’inégalité g
Contrainte d’égalité h
Vecteur de paramètres du problème d’optimisation p¯
Domaine admissible U
ad
Lagrangien du problème d’optimisation L
Multiplicateur de lagrange pour une contrainte d’inégalité donnée λ
+
Multiplicateur de lagrange pour une contrainte d’égalité donnée µ
¯¯¯¯
Tenseur d’élasticité d’ordre 4 C
Tenseur des déformations (cid:15)¯¯
Tenseur des contraintes σ¯¯
Champ de déplacements solution des équations d’état u¯