Thèse de doctorat de l'École Centrale Paris Mathématiques Appliquées François Loret ...

183 Pages·2004·15.74 MB·French

ÉCOLE CENTRALE DES ARTS
ET MANUFACTURES
— ÉCOLE CENTRALE PARIS —
Thèse de doctorat de l’École Centrale Paris
Spécialité
Mathématiques Appliquées
présentée par
François Loret
pour l’obtention du titre de docteur de l’École Centrale Paris
Sujet de la thèse :
Décomposition sur les mouvements périodiques ou
sur les modes résonants pour la simulation de
la réponse transitoire d’un problème de tenue à la mer
Soutenu le 15 septembre 2004 devant le jury composé de
MM. Nicolas Burq Président
Alain Bachelot Rapporteurs
Philippe Destuynder
Michael Meylan
Didier Clouteau Examinateur
Christophe Hazard Directeur de thèse
2004–17

À ma famille,
à mon épouse Karine, mes enfants Théo et Léa,
et à tous ceux, amis, chercheurs,
qui ont apporté leur brindille à cet humble édifice.

À tous un grand MERCI. . .
C’est une habitude saine que de remercier au début d’un tel travail tous ceux qui, plus ou moins
directement, ont contribué à le rendre possible.
Je désire exprimer ma gratitude à Christophe Hazard mon directeur de thèse pour avoir accepté
d’être mon guide tout au long de ce parcours. Je lui suis reconnaissant de m’avoir aidé à clarifier et
mettre en forme ce manuscrit.
Je tiens à remercier Alain Bachelot, Philippe Destuynder et Mike Meylan d’avoir accepté la
charge d’être rapporteurs de ma thèse et, Nicolas Burq et Didier Clouteau d’en être les examina-
teurs.
Je tiens à remercier également Mike ainsi que toute sa famille, Colin Fox et Boris Pavlov pour
m’avoir permis d’effectuer un agréable séjour à Auckland et pour m’avoir chaleureusement accueilli à
l’université de Auckland.
Je tiens à remercier vivement tous les membres du Laboratoire de Mathématiques Appliquées de
L’énsta et plus particulièrement Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Marc Lenoir, Frédéric Jean,
Jean-François Mercier, Jean-Luc Commeau et Eric Lunéville qui m’ont donné de leur temps et
ont répondu à certaines de mes interrogations.
Je tiens à exprimer ma gratitude à Annie Marchal et Odilia Bertrand pour leur gentillesse et
leur incontournable soutient administratif respectivement à l’ensta et à l’ecp.
Il m’est très difficile de remercier à sa juste valeur toute la famille de thésards et de stagiaires
avec qui j’ai pu passer de bons moments de/au travail. Je tiens tout particulièrement à remercier mes
‘tepo’ Fabrice Roy et Guillaume Legendre d’avoir été là aussi bien dans les moments de bonheur
que dans les moments plus difficiles. Merci à vous deux.
Jenesauraisoublierlesoutienetl’aidedespersonnesquimesonttrèschères:mesgrandeetpetite
merveilleuses familles. Je réserve une reconnaissance particulière à ma tendre et douce mie, Karine,
qui me supporte depuis tant d’années.
iii

Table des matières
Introduction iii
I La méthode de décomposition en modes résonants :
application à un problème transitoire de tenue à la mer 1
1 La méthode de décomposition en modes résonants 3
1 Le problème transitoire modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Le problème stationnaire : la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 La transformée de Laplace inverse et son prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Et vers le demi-plan complexe de gauche ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Quand dire que u (t) est négligeable ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
reste
2 Le problème de tenue à la mer d’une plaque mince 13
1 Introduction et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Les équations linéarisées de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Le potentiel des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 La condition cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 La condition dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Le modèle de plaque de Kirchhoff–Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Équation des ondes abstraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Approche rigoureuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Application : le prolongement méromorphe 31
1 Le procédé d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Étude du problème libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 Représentation spectrale de l’opérateur A˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Représentation intégrale de la résolvante R˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Propriété du noyau de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Problème diffracté et prolongement méromorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Approche formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Le cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Le théorème de Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
i
ii Table des matières
4 Application de la méthode de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Mise en œuvre numérique en dimension 2 d’espace 55
1 Couplage éléments finis / éléments modaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 La résolvante approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 La méthode de calcul des résonances et des modes associés . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1 La méthode de l’intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 La méthode Newton–puissance inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 La méthode de calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Calcul des divers termes de la méthode de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Résultats numériques 71
1 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Les résultats des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1 Autour de la fréquence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Autour des fréquences ±=m(p ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3
3.3 Autour des fréquences ±=m(p ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11
3.4 Excitation initiale de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Conclusion 107
A La résolvante d’un point de vue variationnel 109
B Outils de la méthode numérique 113
1 Diagonalisation de l’opérateur A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
P
2 Extraction de la singularité pour le calcul de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
ζ
2.1 Formule d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2 Formule d’intégration générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3 La formule analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3 Extraction de la singularité pour le calcul de l’onde incidente. . . . . . . . . . . . . . 121
C Le contenu spectral d’une donnée 123
Bibliographie 124
II Développement en fonctions propres généralisées :
application au problème transitoire de tenue à la mer 129
Introduction
Un dicton chinois dit :
“choisis un travail que tu aimes,
tu ne travailleras jamais.”
Le thème initiateur de ce travail de thèse est le problème de stabilisation dynamique de navires
(plus généralement de structures flottantes à la surface de l’océan) par déplacement de masses ou
commandes d’appendices mobiles.
Leproblèmedestabilisationestunproblèmeardudontlapréoccupationn’estpasuneaffairerécente,
mais les modèles retenus jusqu’ici sont beaucoup trop grossiers pour obtenir une simulation réaliste
des mouvements. Et il est à craindre qu’un modèle de tenue à la mer qui rendrait mieux compte du
problème physique, conduise à des temps de calcul trop importants pour un calcul en temps réel.
Afin de disposer d’un processus fiable de contrôle des mouvements transitoires d’un navire dans un
champ de vagues quelconque, il est plus que nécessaire de posséder un moyen à la fois rapide et précis
deprédictiondecesmouvements.L’objectifquenousnoussommesdoncnaturellementfixéestlamise
au point d’un simulateur pouvant alimenter un processus de contrôle dynamique : nous n’aborderons
finalement pas ici à proprement parler le problème de stabilisation dynamique. Pour ce faire, nous
avons décidé de conserver le modèle linéarisé complet de tenue à la mer, pour satisfaire notre critère
de précision. Le critère de rapidité exclut de fait, a priori, les méthodes habituellement utilisées pour
simuler la propagation des ondes transitoires, qui sont certes précises mais trop coûteuses en temps
de calcul :
– Équations intégrales : concernant les travaux impliquant la fonction de Green transitoire en
hydrodynamique citons Jami et Pot [46], concernant les travaux sur les potentiels retardés
en acoustique ou électromagnétisme citons Abboud, Nedelec et Volakis [1] ainsi que les
rapports de recherche du cmap de Abboud sur le sujet;
– Décomposition modale (sur les mouvements périodiques) : citons le précurseur Ikebe [45] dans
le cadre de l’équation de Schrödinger, en acoustique et dans les milieux stratifiés Wilcox
[63, 64], dans le cadre des guides d’ondes Goldstein [34], en hydrodynamique citons Beale
[10];
– TransformationdeLaplace:c’estuneméthodequiprocèdedemanière“opposée” àlaméthode
de décomposition modale en ce sens qu’elle va chercher à diagonaliser l’opération de dérivation
en temps et non pas l’opérateur A (cf. (1)). Consulter Dautray-Lions [25] et par exemple
Hazard, Loret et Meylan [43] pour une application en hydrodynamique;
– Schémas aux différences finies en temps avec conditions aux limites absorbantes ou couches ab-
sorbantes (PML) dont l’intérêt est de borner artificiellement le domaine de calcul : citons les
iii
iv Introduction
précurseurs Engquist et Majda [29] et Bérenger [12], mais aussi dans le cadre de l’électro-
magnétismeCollinoetMonk[20]etenélasto-dynamiqueBécache,FauqueuxetJoly[11].
Ce type de méthode ne semble pas avoir été appliqué en hydrodynamique navale.
Par pur soucis de généralité, nous ne travaillerons en fait pas directement sur les équations de
l’hydrodynamique navale, comme on pourrait s’y attendre, mais sur une équation du second ordre en
temps dite équation des ondes abstraite et définie par :
Trouver u∈H, un espace de Hilbert séparable, telle que
(1) ∂2u+Au=0, ∀t>0 avec A auto-adjoint et positif.
t
u(0)=0 et ∂ u(0)=u .
t 1
Le choix de ce modèle abstrait n’est pas l’aboutissement d’un simple désir d’abstraction, mais résulte
d’un désir plus profond de montrer que ce que nous développerons peut également s’appliquer (direc-
tement) à d’autres problèmes que ceux issus de l’hydrodynamique navale. Le modèle que nous avons
retenu répond à ce souhait en ce sens qu’il permet de réunir dans un même formalisme des problèmes
issus de l’élasticité, de l’acoustique, de l’électromagnétisme et de l’hydrodynamique (consulter par
exempleDautray-Lions[25]etHazard[36]):cequiconstitueuntrèslargechampdesapplications.
Nousétudieronssurcemodèledeuxméthodesdereprésentationdelasolutiontransitoire.Lapremière,
baptiséeméthode de développement en fonctions propres généralisées(voirDautray-Lions[24],Ha-
zard [36] et, Hazard et Loret [42]) est une méthode de décomposition spectrale qui conduit à une
représentationcontinueexactedeuparsuperpositiondemouvementspériodiques.Laseconde,nommée
méthode de décomposition en modes résonants (voir Hazard et Loret [41], Hazard [40]) est une
méthodequipeutêtrevuecommeunprolongementanalytiquedelatransformationdeLaplace.Elle
permet, par superposition discrète de modes exponentiellement amortis, d’obtenir un comportement
de la solution transitoire pour les temps longs.
La base commune à ces deux techniques se retrouve dans le lien qui peut exister entre le régime
transitoire et le régime harmonique. À savoir la possibilité de représenter la solution transitoire u
de l’équation (1) à l’aide des solutions harmoniques. Pour ne laisser place à aucune source d’ambi-
guïté, précisons que par solutions harmoniques, nous entendons des solutions de l’équation (1) dont
la dépendance temporelle est du type exp(iωt). La fréquence ω pouvant être un élément du corps des
complexes.
Décomposition spectrale
La méthode de décomposition spectrale consiste à diagonaliser l’opérateur A de l’équation (1).
Supposons dans un premier temps, pour faciliter la compréhension, le cas relativement bien connu où
l’opérateur A (que l’on nomme aussi l’hamiltonien en physique) possède un spectre discret.
La recherche des valeurs propres λ et des fonctions propres normalisées wdisc de A
λ
(2) Awdisc =λwdisc, λ≥0
λ λ
conduitàunsous-ensemblediscretΛ deR+ contenantlesvaleurspropresauxquellessontassociées
disc
des fonctions propres appartenant à H. Un point important à noter est que la famille {wdisc} forme
λ λ
une base hilbertienne de H dans laquelle l’opérateur A agit comme un opérateur de multiplication,
autrementditilestdiagonal.Lasolutiontransitoireadmetalorsledéveloppementenfonctionspropres
suivant
√
X (cid:0) (cid:1)
(3) u(t)=<e exp −i λt (u ,wdisc)wdisc
1 λ λ
λ∈Λdisc