Thermal Transport through a Mesoscopic Weak Link

8 Pages·0.18 MB·English

by  Kelly R. Patton

Thermal transport through a mesoscopic weak link
Kelly R. Patton and Michael R. Geller
Department of Physics and Astronomy, University of Georgia, Athens, Georgia 30602-2451
(January 4, 2001)
We calculate the rate of energy flow between two macroscopic bodies, each in thermodynamic
1
equilibrium at a different temperature, and joined by a weak mechanical link. The macroscopic
0
solids are assumed to be electrically insulating, so that thermal energy is carried only by phonons.
0
2 To leading order in the strength of the weak link, modeled here by a harmonic spring, thethermal
current is determined by a product of the local vibrational density-of-states of the two bodies at
n
the points of connection. Our general expression for the thermal current can be regarded as a
a
thermal analog of the well-known formula for the electrical current through a resistive barrier. It
J
is also related to the thermal Landauer formula in the weak-tunneling limit. Implications for heat
4
transport experiments on dielectric quantumpoint-contacts are discussed.

]
l PACS: 63.22.+m, 66.70.+f, 68.65.-k
l
a
h
- I. INTRODUCTION ergy flow between two macroscopic bodies, each in ther-
s
e modynamic equilibrium, and joined by a weak mechani-
m
callink. Theweaklinkmayconsistofoneormorechem-
Mesoscopic phonon systems are relatively unexplored
. ical bonds, or by a narrow “neck” of dielectric material,
t compared with their electronic counterparts. An excep-
a both of which can be accurately modeled by a harmonic
m tionistherecentworkonthermalconductancequantiza- spring of stiffness K. We obtain a generalexpression for
tioninfreelysuspendedone-dimensionaldielectricwires,
- the thermal current that can be regarded as a thermal
d wherethethermalconductancewasfoundtobeπk2T/6h¯
B analog of the well-known formula, derived by Schrieffer
n per transmitted vibrational mode [1,2]. This behavior
et al. [8], for the electrical current through a resistive
o parallels the well known electrical conductance quanti-
barrier. Our result can also be interpreted as an ap-
c zation in units of e2/2π¯h per (spin-resolved) channel in
[ plication of the thermal Landauer formula [2,10] in the
one-dimensional mesoscopic conductors [3–5]. Electri-
weaktunnelinglimit,withthe energy-dependentphonon
1 cal conductance quantization and many other aspects of
transmission probability calculated microscopically.
v mesoscopic transport in one-dimensional Fermi liquids,
5 as well as edge-state transport in integral quantum Hall OurworkisalsorelatedtotheclassicworkofLittle[11]
4 effectsystems,canbeunderstoodwiththeLandauerand on the thermal boundary resistance at an interface be-
0
Landauer-Bu¨ttiker formalisms [5,6]. tween two dielectrics, a solid-solid analog of the Kapitza
1
resistance between solids and superfluid Helium caused
0 The conventional Landauer formula describes charge
1 transport in mesoscopic conductors in the limit where by phonon scattering at the interface. A tunneling-
0 there exists one or more propagating channels [7]. An- Hamiltonianapproachsimilartoourshasbeenappliedto
/ the Kapitza resistance problem by Sheard and Toombs
t other important transport regime is the weak tunneling
a [12]. In our geometry, however, the thermal resistance
limit, where the charge conductance is much less than
m
e2/2π¯h and, as shown by Schrieffer et al. [8,9], is deter- comes from scattering at the weak link, and the thermal
- mined by the density-of-states (DOS) obtained from the current depends on the elastic properties of the link and
d
doesnotvanishifthesolidsareidentical. Heattransport
one-particle Green’s function.
n
in mesoscopic junctions has been studied recently with
o The thermal analog of the weak tunneling limit has
thescatteringapproachbyCrossandLifshitz[13]. Ther-
c not been addressed theoretically and is interesting for
: mal transport through weak links has also been studied
v several reasons. First, a microscopic quantum descrip-
inconductors,includingthetwo-dimensionalelectrongas
i tion of thermal conduction through weak links is crucial
X [14,15] and one-dimensional Luttinger liquids [16].
for understanding energy dissipation in nanostructures
r suchasnanoparticles,nanotubes,molecularcircuits,and The organization of our paper is as follows: In the
a
nanometer-scale electromechanical systems. As we shall next section we describe in detail our mesoscopic weak-
demonstrate, the classical theory of thermal conduction, linkmodel,andinSectionIIIwedefineandcalculatethe
based on the heat equation, is entirely inapplicable to localvibrationalDOSfor the macroscopicsolids. A gen-
these systems. Second, thermal conduction through a eral expressionfor the thermal current is derived in Sec-
weak link connected to a macroscopic solid turns out to tionIV. Someexperimentalimplicationsarediscussedin
be a sensitive localprobe ofthe surface vibrationalDOS Section V, where we calculate the thermal conductance
of that solid, suggesting the possibility of a surface mi- throughananometer-scalejunctioninSi. SectionVIcon-
croscopy based on a scanning thermal probe. tainsadiscussionofthe differencesbetweenelectronand
In this paper we calculate the rate Ith of thermal en- phonon tunneling, and also of the role of phonon phase
1
coherence in this work. Here uz is the normal component of the displacement
I
field at the surface of body I at the point of connection
to the weak link, with the surface normal taken to be
II. MESOSCOPIC WEAK LINK in the z direction. The surface displacements can be ex-
panded in a basis of phonon annihilation and creation
The modelwe considerisas follows: Twomacroscopic operators as
solids, L and R, are held at fixed temperatures TL and
TR. The two bodies are assumed to be electrically insu- uzI = hInaIn+h∗Ina†In , I =L,R (6)
lating,sothatthermalenergyiscarriedonlybyphonons. n
X(cid:0) (cid:1)
The Hamiltonian of the isolated solids is (we set h¯ =1)
wheretheh aremodel-dependentcomplexcoefficients.
In
Theh appropriateforthestress-freeplanarsurfaceofa
H0 =HL+HR, (1) In
semi-infinite isotropicelasticcontinuumaregivenbelow.
where Asdiscussedabove,weareinterestedinsystemswhere
the mechanicalinteractionbetween the two bodies is ac-
H ω a† a , I =L,R. (2) tually caused by one or more atomic bonds, or by a nar-
I ≡ In In In
n row “neck” of dielectric material. Our harmonic spring
X
model correctly accounts for the longitudinal (normal to
The a†nI and anI are phonon creation and annihilation thesurface)elasticforcesbetweenthesolids,butneglects
operators for the left and right sides, satisfying any transverse or torsional interaction. Although trans-
verse and torsional forces can be included by a straight-
[anI,a†n′I′]=δnn′δII′ (3) forwardgeneralizationofourmodel,theyareoftenmuch
smaller than the longitudinal coupling.
and
The macroscopicbodies actas thermalreservoirs,and
[anI,an′I′]=[a†nI,a†n′I′]=0. (4) athreeytaakreenastsoumbeedidteoablethhearrmmaolncicon[sdeuecEtoqr.s(.2)In]. pTahretriceufolarer,,
The vibrational modes of the isolated bodies are labeled the thermal resistance we calculate is caused entirely by
byn andhaveenergiesω . Ouranalysisis validforany the scattering of phonons at the junction between the
In
ω . The mesoscopic weak-link model is illustrated in reservoirs and the weak link, and by the finite transmis-
In
Fig. 1. sion probability through the link.
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) III. LOCAL VIBRATIONAL DOS
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) Inwhatfollows wewill needthe local vibrationalDOS
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (or, more precisely, local spectral density) of the bulk
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) solids, evaluated at the point of contact with the weak
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) link. These can be obtained from the retarded surface-
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) displacement correlation functions
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) D (t) iθ(t) [uz(t),uz(0)] (7)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) I ≡− I I 0
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) for the isolated macroscop(cid:10)ic bodies L a(cid:11)nd R. Using (6)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) leads to
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) D (t)= 2θ(t) h 2sin(ω t). (8)
I In In
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) − | |
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) n
X
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
The local DOS N (ω) is then defined in terms of the
L R I
Fourier transform of (7),
FIG.1. Weaklinkmodel. Twomacroscopicdielectrics,
N (ω) 1 ImD (ω). (9)
at temperatures TL and TR, are joined by a harmonic I ≡−π I
spring of stiffness K.
Then we have
The two macroscopic solids are connected by a weak N (ω)= h 2[δ(ω ω ) δ(ω+ω )]. (10)
I In In In
mechanical link, which we model by a harmonic spring | | − −
n
with stiffness K, X
In many cases of interest the local spectral density is
δH = 1K uz uz 2. (5) an algebraic function of energy at low energies,
2 L− R
(cid:0) (cid:1)
2
N (ω) ωα, (11) n(ǫ) 1 eǫ/kBT 1 (21)
I
∝ ≡ −
where α is a constant. For example, α=1 at the planar (cid:14)(cid:0) (cid:1)
surface of a semi-infinite isotropic elastic continuum (see with temperatures TL and TR. The details leading to
below). Eq. (20) are given in Appendix A.
Ourresult(20)showsthatthethermalcurrentbetween
IV. THERMAL CURRENT adielectricheldatzerotemperatureandaseconddielec-
tric at temperature T will be a power-law function of T,
in striking contrast with nonmesoscopic thermal trans-
We now calculate the heat flow between the two bod-
port. For example, assuming a spectral density of the
ies joined by the weak link. The complete system is de-
form (11) leads at low temperature to
scribed by the Hamiltonian
H =H0+δH. (12) Ith T2α+2, (22)
∝
We define a thermal current operator Iˆth according to
Iˆth ∂tHR =i[H,HR]. (13) where T is the temperature of the second body.
≡
The linear thermal conductance, defined by
The expectation value of Iˆth is the energy per unit time
flowing from the left to the right body.
Writing the interaction (5) as Gth lim Ith , (23)
≡TL→TR TL TR
−
δH = 21K (ALn−ARn)(ALn′ −ARn′), (14)
nn′
X is given by
where
A h a +h∗ a† , (15) 2πK2 ∞ ∂n(ǫ)
In ≡ In In In In Gth = dǫǫNL(ǫ)NR(ǫ) . (24)
¯h ∂T
Z0
we find that the thermalcurrentoperatorthen takes the
form
This expression,along with Eq. (11), shows that the lin-
iK
Iˆth = 2 ωRn ARn′ −ALn′,hRnaRn−h∗Rna†Rn , ear thermal conductance between two dielectrics held at
nn′ a common temperature T, varies at low temperature as
X (cid:8) (cid:9)
a power-law in T,
(16)
where {·,·} is an anticommutator. Gth T2α+1, (25)
The equation of motion for the density matrix in the ∝
interaction representation is
where α is the exponent characterizing the power-law
∂ ρ(t)=i ρ(t),δH(t) , (17)
t
spectral density at low energies.
where (cid:2) (cid:3)
O(t) eiH0tOe−iH0t. (18)
≡
From (17) we find that the nonequilibrium thermal cur- V. THERMAL CONDUCTANCE OF
rent to leading order is NANOMETER-SCALE SILICON JUNCTION
t
Ith(t)=i dt′ [δH(t′),Iˆth(t)] 0. (19)
0
Z
(cid:10) (cid:11)
Evaluating Eq.(19) leads to our principalresult (with In this sectionwe give a simple applicationof our the-
factors of h¯ reinstated) ory to a structure consisting of a cylindrical neck of Si
material connecting two semi-infinite Si crystals. To be
2πK2 ∞ inthemesoscopicregimeweassumethedimensionsofthe
Ith = ¯h dǫǫNL(ǫ)NR(ǫ) nL(ǫ)−nR(ǫ) . (20) weak link to be smaller than the phase-coherence length
Z0 ofthe phonons. The geometryof the systemwe consider
(cid:2) (cid:3)
Here nL(ǫ) and nR(ǫ) are Bose distribution functions is shown schematically in Fig. 2.
3
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) ofthe cylindricallink,aspredictedbythe heatequation.
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) Hereκistheexperimentallymeasuredbulkthermalcon-
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) ductivity, itself a function of temperature, which for Si
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
can be parameterized as [19]
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) d (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) 107erg s−1 cm−1 K−1
κ= , (33)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) 0.16+1.5 10−3T +1.6 10−6T2
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) × ×
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) with temperature in K. Eq. (33) is accurate down
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) to about 100K, below which one can use the low-
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) temperature data of Ref. [20].
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) In Fig. 3 we plot our result (31) along with the classi-
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) l (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) cal thermal conductance (32) of the same Si link. As is
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
evident, these are dramatically different at low tempera-
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
tures. The large difference occurs because, as discussed
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
in Section VI, the origin of the thermal resistance in the
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) two formulas (31) and (32) are different. Although it is
tempting to conclude that they begin to agree at higher
FIG.2. Cylindrical silicon junction of length l and di- temperature,thiswouldbeincorrect,becauseourtheory
ameter d. breaks down at higher temperature and Eq. (31) is not
valid up to the temperature where the curves meet.
To apply our formula (24) we need the phonon spec-
tral density at the surface of Si, and also the effective 0.1
spring constant of the link. The spectral density at en-
ergiesmuchlessthan the Debye energymaybe obtained
0.08
from elasticity theory. This approach, which requires a
detailedconsiderationofthevibrationalmodesofasemi- −1K) 0.06
infinite elastic continuum with a stress-free planar sur- −1s
face, is carried out in Appendix B. We show there that g
the spectral density at the surface of Si is G (erth0.04
N(ǫ)=Cǫ, C 1.3 108 cm2erg−2. (26) 0.02
≈ ×
Then using (24) we obtain [17]
0
0 100 200 300 400 500 600
T (K)
Gth =(8π5K2C2kB4/15¯h)T3. (27)
FIG.3. ThermalconductanceofthemesoscopicSilink
The longitudinalstiffness ofthe mechanicallink,a cylin-
shown in Fig. 2, as a function of temperature. The solid
der of length l and diameter d, is
line follows from Eq. (31), and the dashed line from the
πd2 corresponding classical result given in Eq. (32). The thin
K = Y, (28) dottedlineistheuniversalthermalconductanceπkB2T/6h¯
4l
of a single propagating channel.
where Y is Young’s modulus. For Si, [18]
There are four reasons why our analysis becomes in-
Y 1.3 1012dyn cm−2, (29) validasthetemperatureisincreased: Thefirstisthatwe
≈ ×
have assumed the weak link to be of mesoscopic dimen-
andassuminglinkdimensionsofl =10nmandd=1nm,
sions. As the temperature increases, anharmonic inter-
we obtain
action will eventually make the phonon phase-coherence
K 1.0 104erg cm−2, (30) length smaller than the size of the link. While an esti-
≈ × mate of the phase-coherence length is beyond the scope
and a thermal conductance of ofthis work,theexperimentofSchwabet al.[1]suggests
thatinSiitisatleast1nmat1K.Thesecondisthatour
Gth =(9.5 10−11erg s−1 K−4) T3. (31) estimateofthespectraldensityisonlyvalidfortempera-
×
turesmuchlessthanthe Debyetemperature ofSi,about
It is interesting to compare this result with the “clas-
625K.Thethirdreasonisthatthe leading-orderpertur-
sical” thermal conductance
bation theory we have used breaks down when Gth ap-
Gcthl = π4dl2 κ (32) ipnrgoatcoheosnethpertohpeargmatailncgonchdauncntaenl,csehπokwB2nTa/s6h¯actohrinresdpootntedd-
4
line in Fig. 3. And the fourth reason is that we have l in the weak-tunneling limit, the thickness dependence
neglected any electronic contribution to Gth, which is inthe phonontunneling caseis different. Inthe example
correct only when kBT is much less than the Si band discussed in Section V, the thermal conductance varies
gap. Taking all of these factors into consideration sug- with length l of the bridge as l−2, because the effective
geststhatEq.(31)isprobablynotquantitativelycorrect spring constant (28) of the bridge becomes softer with
beyond about 10 K. increasing l.
Wehavedemonstratedthattheclassicaltheoryofther-
mal conduction, based on the heat equation and on the
VI. DISCUSSION concept of a local thermal conductivity, is entirely in-
applicable to mesoscopic dielectrics. In a mesoscopic di-
Inthispaperwehavestudiedthethermalanalogofthe electric,thermalresistanceiscausedbyelasticscattering
weaktunneling limitofchargeconduction—whichmight of phonons, whereas in an infinite, disorder-free crystal
be regardedasphonon“tunneling”—andfindmanysim- it is caused by inelastic scattering due to anharmonic-
ilaritiestoelectrontunneling. Thereareafewimportant ity. In the example of Section V, the quantum result
differences, however. (27) is determined by the mechanical properties of the
Electrontunneling,asitisusuallydefined,involvesthe bridge material,throughthe elastic modulus Y, whereas
passageofanelectronthrougha classicallyforbiddenre- the classical result (32) is determined by the bridge ma-
gion. In the thermal case, a phonon of energy ǫ is never terial’s bulk thermal conductivity κ.
inaregionthatdoes supportamode atthatenergy.[21]
For example, the harmonic spring employed in Eq. (5)
ACKNOWLEDGMENTS
can support a single propagating phonon channel, but
phonons incident on the weak link are mostly reflected
back into the macroscopic dielectrics. Whereas the tun- This work was supported by the Research Corpora-
neling rate of an electron(at a fixed energyǫ) through a tion. It is a pleasure to thank Steve Lewis for useful
forbidden region of thickness l varies exponentially with discussions.
APPENDIX A: GENERAL FORMULA FOR THE THERMAL CURRENT
Evaluating (19) we find
K2 t
Ith(t)= dt′ ωRn Re ALm(t′) ARm(t′), ALm′(t′) ARm′(t′), ALn′(t) ARn′(t)
2 − − −
nn′mm′Z0 (cid:28)(cid:26) (cid:20) (cid:18) (cid:19)
X
× hRnaRn(t)−h∗Rna†Rn(t) , (A1)
(cid:18) (cid:19)(cid:21)(cid:27)(cid:29)0
and, after further simplification,
K2 t
Ith(t)= 2 dt′ ωRn Re ALn′(t),ALn′(t′) + ARn′(t),ARn′(t′) hRnaRn(t)−h∗Rna†Rn(t), ARn(t′)
nn′ Z0 (cid:28)(cid:18) (cid:19)(cid:20) (cid:21)
X (cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9)
+ hRnaRn(t)−h∗Rna†Rn(t), ARn(t′) ALn′(t),ALn′(t′) + ARn′(t),ARn′(t′) , (A2)
(cid:26) (cid:27)(cid:18) (cid:19)(cid:29)0
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
where we have used the fact that the commutators are c-numbers. The required thermal expectation values are
A (t),A (t′) =2 h 2 1+2n (ω ) cosω (t t′), (A3)
In In 0 | In| I In In −
(cid:10)(cid:8) (cid:9)(cid:11) (cid:2) (cid:3)
A (t),A (t′) = 2i h 2sinω (t t′), (A4)
In In 0 − | In| In −
(cid:10)(cid:2) (cid:3)(cid:11)
hRnaRn(t)−h∗Rna†Rn(t), ARn(t′) 0 =2|hRn|2cosωRn(t−t′), (A5)
and (cid:10)(cid:2) (cid:3)(cid:11)
hRnaRn(t)−h∗Rna†Rn(t), ARn(t′) 0 =−2i|hRn|2 1+2nR(ωRn) sinωRn(t−t′). (A6)
(cid:10)(cid:8) (cid:9)(cid:11) (cid:2) (cid:3)
5
These lead to
t
Ith(t)=2K2 ωRn hRn 2 dt′ hLn′ 2 1+2nL(ωLn′) cosωLn′(t t′) cosωRn(t t′)
| | | | − −
nn′ Z0
X (cid:0) (cid:2) (cid:3)
+ hRn′ 2 1+2nR(ωRn′) cosωRn(t t′) cosωRn′(t t′)
| | − −
hLn′ 2(cid:2)1+2nR(ωRn) (cid:3)sinωLn′(t t′) sinωRn(t t′)
− | | − −
hRn′ 2(cid:2)1+2nR(ωRn)(cid:3)sinωRn(t t′) sinωRn′(t t′) . (A7)
− | | − −
Here nL(ǫ) and nR(ǫ) are Bose distributio(cid:2)n functions [se(cid:3)e Eq. (21)] with temperatures(cid:1)TL and TR. Next we make a
change of variables t′ t t′, take the t limit, and include a convergence factor to regularize the long-time
→ − → ∞
behavior of the resulting integrals. Finally, using the identities
∞ π
dt cosωt cosω′t e−ζt = δ(ω ω′)+δ(ω+ω′) (A8)
2 −
Z0
(cid:2) (cid:3)
and
∞ π
dt sinωt sinω′t e−ζt = δ(ω ω′) δ(ω+ω′) , (A9)
2 − −
0
Z
(cid:2) (cid:3)
whereζ isapositiveinfinitesimal,andreinstatingfactors ρ=2.3g cm−3. (B2)
of h¯, leads to Eq. (20).
In Eqs. (20) and (24) we have introduced an energy- It will be convenient to treat the Rayleigh branch
dependent DOS, (m=R)separately,andthenconsiderthebrancheswith
continuousc. IntheRayleighcasethedisplacementfield
N (ǫ) h 2[δ(ǫ ¯hω ) δ(ǫ+h¯ω )] (A10) is expanded as [23]
I In In In
≡ | | − −
n
X
¯h
wnehoiuchsehlaasstdicimcoenntsiinounusmofo(flemnagstsh)d2e/nesniteyrgρy.anIndavohluommeogVe-, u= K s2ρcR|K| aRKfRK+a†RKfR∗K , (B3)
2 X (cid:2) (cid:3)
N(ǫ) is equal to h¯ /2ρǫ times the thermodynamic DOS
per volume, V−1 δ(ǫ ǫ ). wherethe vibrationaleigenfunctions fRK(r) havedimen-
n − n sions of L−23 and satisfy
P
APPENDIX B: SURFACE DOS OF SILICON d3r fR∗K fRK′ =δKK′. (B4)
·
Z
InthisappendixwecalculatethelocalphononDOSat
Here cR =ξvt, where ξ is the root between 0 and 1 of
the stress-free planar surface of a semi-infinite isotropic
elastic continuum, following closely the work of Ezawa ξ6 8ξ4+8(3 2ν2)ξ2 16(1 ν2)=0, (B5)
[22],andusethistoestimatetheDOSatthesurfaceofSi. − − − −
Thesubstrateisassumedtooccupythespacez 0. The and where
vibrationalmodes arelabeledbyn=(m,K,c),≥wherem
iiss aabtwraon-cdhiminendseixontaakliwngavtehevevcatlouresinSHth,e±x,y0,palannde,Ra,nKd ν ≡vt/vl (B6)
c ω/K is a parameter (continuous for all branches isthe ratiooftransverseandlongitudinalbulk soundve-
≡ | |
except m = R) with dimensions of velocity. In contrast locities. For Si, ν =0.69 and ξ =0.88; hence
to Ref. [22] we shall use periodic boundary conditions in
the x and y directions, over a square of area . cR =5.2 105cm s−1. (B7)
A ×
In our analysis we will approximate Si as an isotropic
elasticcontinuumwithlongitudinalandtransversesound The z component of the vibrational eigenfunction at
velocities the point r=0 on the surface is
vl =8.5 105cm s−1, 2γ3η2 K 2
vt =5.9××105cm s−1, (B1) fRz(0)=s(γ−η)(γ−η|+|2γη2)A(cid:20)1−(cid:18)1+η2(cid:19)(cid:21),
and mass density (B8)
6
where The value for g2, obtained by doing the integration over
c in Eq. (B13) numerically, is valid only for the value of
γ 1 (cR/vl)2 and η 1 (cR/vt)2. (B9) ν corresponding to Si.
≡ − ≡ −
The m=0 branch has amplitude
p p
WefindthattheRayleighbranchcontributestothelocal
DOS (9) an amount (for positive ω) K
fz(0)= | | γD+i(1 E) , (B19)
R branch: N(ω)= 4gπ1ρ¯hcω3 , g1 ≈0.42. (B10) 0 s2πcβA(cid:2)− − (cid:3)
R where
Note thatg1 generallydepends onν, thevalue quotedin 4β(β2 1)3 16iγβ2(β2 1)
D − − − (B20)
(B10) corresponding to Si. ≡ (β2 1)4+16γ2β2
Nextweconsiderthebrancheswithcontinuousc. Here −
and
¯h
u= K ZΓdc s2ρc|K| amKcfmKc+a†mKcfm∗Kc , E ≡ (β2−1)4(β−216γ1)24β+2−168γiγ2ββ2(β2−1)2 (B21)
X (cid:2) (cid:3) −
(B11)
are complex-valued functions of c. This leads to a con-
tribution
where the vibrational eigenfunctions have dimensions of
L−23c−12 and satisfy g3¯hω
0 branch: N(ω)= 8π2ρv3, g3 ≈0.59. (B22)
t
d3r fm∗Kc·fm′K′c′ =δmm′δKK′δ(c−c′). (B12) Asbefore,g3isobtainednumericallyandassumesavalue
Z
of ν valid for Si. Combining the three contributions
The range Γ of the c integration in (B11) is [vt, ] for (B10), (B18), and (B22), yields [24]
∞
m = SH, [vl, ] for m = , and [vt,vl] for the m = 0
∞ ±
branch. The contribution to the local DOS (for ω 0) ¯hω g1π g2 g3
≥ N(ω)= + + . (B23)
from these branches is given by 4π2ρ c3 v3 2v3
(cid:20) R l t(cid:21)
N(ω)= ¯h dc fz (0)2δ(ω cK). (B13) Using Eq. (B23) we obtain the estimate (26).
2ρω | mKc | − | |
K ZΓ
X
TheSHmodesarepolarizedinthexy planeandthere-
fore do not contribute to (9). The modes have surface
±
amplitude
K [1] K. Schwab, E. A. Henriksen, J. M. Worlock, and M. L.
f±z(0)= 4|πc| ±√α(1+A±iB) Roukes, Nature404, 974 (2000).
r A(cid:20) [2] L. G. C. Rego and G. Kirczenow, Phys. Rev. Lett. 81,
i 232 (1998).
+ (1 A iB) , (B14)
√β − ∓ [3] B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J.
(cid:21)
G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marcel,
where and C. T. Foxen,Phys.Rev. Lett. 60, 848 (1988).
[4] D. A. Wharama et al.,J. Phys.C 21, L209 (1988).
(β2 1)2 4αβ
A − − , (B15) [5] For areview seeC. W.J. Beenakkerand H.van Houten
≡ (β2 1)2+4αβ in Solid State Physics: Advances in Research and Appli-
−
cations, edited by H. Ehrenreich and D. Turnbull (Aca-
demic Press, San Diego, 1991), Vol. 44.
4√αβ(β2 1) [6] M. Bu¨ttiker, in Semiconductors and Semimetals, edited
B − , (B16)
≡ (β2 1)2+4αβ byM. Reed(AcademicPress, San Diego, 1992), Vol.35.
−
[7] TheLandauerformulacanbeappliedtothecaseofweak
tunneling provided one includes an energy-dependent
α (c/vl)2 1, and β (c/vt)2 1, (B17) transmissionprobabilityforeachchannel.However,these
≡ − ≡ − transmission probabilities would have to be calculated
are all rpealfunctions of c. The m=p branches together microscopically, which amounts to using ourapproach.
contribute an amount ± [8] J.R.Schrieffer,D.J.Scalapino,andJ.W.Wilkins,Phys.
Rev. Lett.10, 336 (1963).
g2¯hω [9] See also G. D. Mahan, Many-Particle Physics, 3rd ed.
± branches: N(ω)= 4π2ρv3, g2 ≈1.0. (B18) (Plenum Publishers, New York,2000).
l
7
[10] D.E.Angelescu,M.C.Cross, andM.L.Roukes,Super- and D.L. McElroy, Phys.Rev. 167, 765 (1968).
lattices Microstruct. 23, 673 (1998). [20] C. J. Glassbrenner and G. A. Slack, Phys. Rev. 134,
[11] W. A.Little, Can. J. Phys. 37, 334 (1959). A1058 (1964).
[12] F. W. Sheard and G. A. Toombs, J. Phys. C 5, L166 [21] This iscorrect only at thelow energies of interest in the
(1972). present work. At higher energies it is of course possible
[13] M. C. Cross and R.Lifshitz, cond-mat/0011501. to have forbidden regions, for example, in a vibrational
[14] L.W.Molenkamp,Th.Gravier,H.vanHouten,O.J.A. analogofaphotonicband-gapstructure,orsimplyaten-
Buijk,M.A.A.Mabesoone,andC.T.Foxen,Phys.Rev. ergieshigherthantheacousticandopticalphononbands
Lett.68, 3765 (1992). of an ordinary crystal.
[15] C.L.KaneandM.P.A.Fisher,Phys.Rev.B55,15832 [22] H. Ezawa, Ann.Phys. 67, 438 (1971).
(1997). [23] Here ‘R’ denotes theRayleigh branch.
[16] C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 76, [24] Itisusefultocomparethisresultwiththecorresponding
3192 (1996). bulk spectral density of an isotropic elastic continuum,
[17] Notethat ∞dxx4ex(ex−1)−2 =4π4/15. calculated with periodic boundaryconditions,
0
[18] Semiconductors: Group IV Elements and III-V Com-
R
pounds, editedbyO.Madelung(Springer-Verlag,Berlin,
¯hω 1 2
1991). Nbulk(ω)= 4π2ρ v3 + v3 .
[19] W.Fulkerson,J.P.Moore,R.K.Williams,R.S.Graves, (cid:18) l t(cid:19)
8