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Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen PDF

546 Pages·1984·22.548 MB·German
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LMW/MA 76: Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 76 Springer Basel AG S. Fenyö - H. W. Stolle Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen 3 Springer Basel AG 1984 ClP-Horltitelaulnahme der Deutschen Bibliothek Fenyö, Stelan: Theorie und Praxis der linearen Integral gleichungen I s. Fenyö ; H. W. Stolle. - Ba.sel ; Bo8ton ; Stuttgart : Birkhäuser. NE: Stolle, Hans W.: 3 (1984). (Lehrbücher und Monographien au!:! dem Gebiete der exakten Wi89(lDlwhaften : Math. Reihe; Bd.76) NE: Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der e:lakten Wissenschaften I Mathematiache Reihe Library ot Congress Cataloging In Pobllcation Dab Fenyö, [swan, 1917- Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen. (Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Jllathematischc Reihc : Bd. 74, ) Includes bibliographie!:! and indexes. 1. Integral equations. I.Sw!le, H. W. (Hans-Wolfgang, 1927- ). ILTitl('. Ur.Series. QA431.F4G 515.4'5 81-12275 ISBN 978-3-0348-7670-4 ISBN 978-3-0348-7669-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-7669-8 Die vorliegende Publikation ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil die8ell Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form - durch Fotokopie, Mikrofilm oder andere Verfahren - reproduziert oder in eine für Maschinen, inBhe!:!ondere Datenverarbeitungsanlagen, verwendbare Sprache übertragen werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk oder Fernsehen sind vorbehalten. @ 1984, Springer Basel AG Urspn1nglich erschienen bei Birkhäuser Basel 1984 Softcover ~nl ofllle hardcover Ist edition 1984 Lizenzausgabe für alle nichtsozialiatischen Länder BirkhAuser Verlag, Basel 1984 Inhaltsverzeichnis III. LINEARE INTEGRALGLEICHUNGEN ERSTER ART 10. Eine allgemeine Theorie der Integralgleichungen erster Art 11 10.1. Überführung einer Integralgleichung erster Art in ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . 11 10.2. Ein speziell gewähltes Gleichungssystem . . . . . . . . . . 16 10.2.1. Ein speziell gewähltes Gleichungssystem für hermitesche Kerne 21 10.3. Weitere Lösungsmethoden . . . . . . . . 24 10.4. Umkehrbare Integraloperatoren 33 10.5. Die Anwendung der allgemeinen Methoden zur Lösung einiger Integralglei- chungen erster Art . . . . . . 36 10.6. Lösung durch Reihenentwicklung 45 10.7. Ein iteratives Lösungsverfahren . 53 10.8. Die Methode von LATTA . . . . 56 10.9. Der funktionentheoretische Charakter der Lösung Abelscher Integralgleichun gen mit festen Grenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11. Integraltransformationen der mathematischen Physik 74 11.1. Verallgemeinerte Funktionen . . . . . . . . . . . 74 11.1.1. Räume von Testfunktionen . . . . . . . . . . . . 74 11.1.2. Distributionen, temperierte Distributionen und Ultradistributionen 77 11.1.3. Faltung von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 82 11.2. Der Bochnersche Satz über unitäre Transformationen in L2 86 11.3. Die Watsonsche und die Fourier-Plancherelsche Transformation. 88 11.3.1. Die Fourier-Cosinus- und die Fourier-Sinus-Transformation 93 11.3.1.1. Anwendung zur Lösung von Integralgleichungen . . 98 11.3.2. Die Fouriertransformation im Funktionenraum L(lR) 106 11.3.3. Die Fouriertransformierten von Testfunktionen 115 11.3.4. Die Fouriertransformierten von Distributionen 121 11.4. Die Gauß- und die Hilberttransformation. 126 11.4.1. Die Gaußtransformation . 126 11.4.2. Die Hilberttransformation . . . . . . . 127 11.5. Die Laplacetransformation . . . . . . . 130 11.5.1. Die Laplacetransformierten von Distributionen 141 11.5.2. Eine Verallgemeinerung des Faltungssatzes und seine Anwendung zur Lösung von Integralgleichungen . . . . . . 149 11.6. Die zweiseitige Laplacetrallsformation 154 11.7. Die Mellintransformation. . . . . . 164 11.7.1. Integralgleichungen vom Watson-Typ 170 6 Inhaltsverzeichnis IV. SPEZIELLE TYPEN VON INTEGRALGLEICHUNGEN 12. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung 185 12.1. Historische Bemerkungen 185 12.2. Die Wieneralgebra . . . . 189 12.3. Faktorisierung von Funktionen, die einer Lipschitzbedingung genügE'n 194 12.4. Die Kreinschen Faktorisierungssätze. . . . . . . . . . . . . . . 200 12.5. Ein Satz von PALEY und WIENER ............... . 210 12.6. Die Sobolewschen Räume. Der verallgemeinerte Paley-Wienersche Sntz 213 12.7. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung zweiter Art . . . . . . . . . 219 12.8. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung erster Art. . . . . . . . . . 226 12.9. Anwendung der .Pu-Transformation zur Lösung von homogenen Integralglei chungen des Wiener-Hopf-Typs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.10. Lösung inhomogener Wiener-Hopfscher Integralgleichungen mit Hilfe der La placetransformation. . . . . . . . . . . 239 12.11. Faltungsgleichungen mit endlichen Grenzen. 243 13. VoIterrasche Integralgleichungen . . . . . 249 13.1. Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art 249 13.1.1. Die Volterrasche Integralgleichung zweiter Art in einem endlichen Gebiet 249 13.1.2. Volterrasche Integralgleichungen mit Kernen, die von s - tabhängen . 258 13.1.3. Weitere Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 13.1.4. Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art mit unbeschränktem Kern 274 13.1.5. Systeme von Volterraschen Integralgleichungen zweiter Art. 278 13.2. Volterrasche Integralgleichungen erster Art. 281 13.2.1. Gleichungen mit differenzierbaren Kernen 281 13.2.2. Die Volterra-Peressche Methode. 285 13.2.3. Das Peressche Verfahren. . . . . . . . 295 13.2.4. Abelsche Integralgleichungen. . . . . . 298 13.2.4.1. Abelsche Integralgleichungen mit konstanten Grenzen 310 13.2.5. Integralgleichungen mit Kernen, die von tls allein abhängen 317 13.2.6. Weitere Typen Volterrascher Integralgleichungen erster Art 321 13.3. Die Volterra-Stieltjessche Integralgleichung .. . . . . . 329 13.3.1. Die allgemeine Volterra-Stieltjessche Integralgleichung zweiter Art 329 13.3.2. Der Volterra-Stieltjessche Faltungsoperator .. . . . . . . . . 334 13.3.3. Die Volterra-Stieltjessche Integralgleichung zweiter Art vom Faltungstyp 336 13.4. Die Volterrasche Theorie der vertauschbaren Kerne und die verallgemeinerte Lösung Volterrascher Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . 340 13.4.1. Der Ring der vertauschbaren Kerne. . . . . . . . . . . . . . . . 340 13.4.2. Die Konstruktion der mit einem gegebenen Kern vertauschbaren Kerne 344 13.4.3. Die Volterra-Peressche Ähnlichkeitstransformation . . . . . . 354 13.4.4. Weitere Ähnlichkeitseigenschaften von Volterraschen Opera toren . 357 13.4.5. Der MikusIDskische Operatorenkörper . . . . . . . . . . . 365 13.4.6. Lösung Volterrascher Integralgleichungen vom Faltungstyp mit Hilfe von M-Operatoren ............. . 367 13.4.7. Ein Operatorenkalkül für Volterrasche Kerne. _ ..... . 372 14. Zwei- und dreifache Integralgleichungen. 376 14.1. Problemstellung. Bezeichnungen 376 14.2. Die Erdelyi-Koberschen Operatoren ... 378 14.3. Zweifache Integralgleichungen vom Titchmarshschen Typ 381 Inhaltsverzeichnis 7 14.4. Zweifache Integralgleichungen mit trigonometrischem Kern. 385 14.5. Zweifache Integralgleichungen mit Besselschem Kern 391 14.6. Dreifache Integralgleichungen. . . . . . . . . . . 393 10. Singuläre Integralgleichungen mit einem Cauchykern 397 15.1. Eigenschaften der Integrale vom Cauchytyp . . . . 397 15.1.1. Hölderstetige Funktionen auf Kurvensystemen . . . 397 15.1.2. Das singuläre Cauchyintegral in HfI(r) und das singuläre Hilbertintegral . 404 15.1.3. Die Randwerte des regulären Cauchyintegrals. . . . . . . . . . . .. 415 15.1.4. Die Poincare-Bertrandsche Vertauschungsformel und Umkehrformeln singulä- rer Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 421 15.2. Singuläre Integralgleichungen mit Cauchykern und das Hilbertsche Problem 434 15.2.1. Singuläre Integralgleichungen mit Cauchykern in HfI(F) . . . . . . . .. 434 15.2.2. Die charakteristische Gleichung und das Hilbertsche Problem ...... 447 15.2.2.1. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung und das Hilbertsche Problem für die Gerade .....•......................... 458 15.2.3. Äquivalente Darstellungen für die singuläre Integralgleichung mit Cauchykern 467 15.2.4. Cauchyintegrale in Hl(r) und das Hilbertsche Problem in der Klasse h(Ct, .... cm) 472 15.2.5. Singuläre Integralgleichungen mit Cauchykern in Hi(c1, ••• , cm). . . . 486 15.3. Abstrakte singuläre Operatoren und Gleichungen ............. 490 15.3.1. Abstrakte singuläre Operatoren mit Koeffizienten aus einer Algebra m 490 15.3.2. Abstrakte singuläre Operatoren mit Koeffizienten aus einer speziellen Algebra ffi(<YI) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • • 495 15.3.3. Die Anwendung der Theorie abstrakter singulärer Operatoren auf singuläre Integralgleichungen in HfI(r) und LP(r). . . . . 505 16. Weitere spezielle Typen von Integralgleichungen 509 16.1. Integralgleiohungen dritter Art . • . . . . • . 509 16.2. Lösung Fredholmsoher Integralgleiohungen mit Hilfe Volterrascher Integral- gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 16.3. Verallgemeinerte Abelsche Integralgleichungen mit äußeren und inneren Koeffi- zienten • . . . . . . • . . • . . . . . . 513 16.4. Weitere Typen spezieller Integralgleichungen. 517 Literaturverzeichnis 524 Inhalt von Band 1 . 532 Inhalt von Band 2 . 533 Inhalt von Band 4 . 535 Bezeichnungen . 538 Symbole ... 541 Berichtigungen 541 Namen. und Sachverzeichnis 542 llI. UNEAREINTEGRALGLEICHUNGEN ERSTER ART 10. Eine allgemeine Theorie der Integralgleichungen erster Art In Übereinstimmung mit den Definitionen von 5.1. ergibt sich aus AX - Xx =/ eine Integralgleichung erster Art, wenn wir A = 0 setzen, wobei X irgendein Integral operator ist. Die Besonderheit dieser Integralgleichung besteht darin, daß im Gegensatz zum OperatorA0 - X für A =!= 0, der unter der Bedingung der Vollstetigkeit von X ein Fredholmoperator ist, der Operator X auch bei vorausgesetzter Vollstetigkeit keinen Fredholmoperator darstellt (vgl. dazu Satz 1; 2.11). Aus dieser Tatsache werden sich viele Unterschiede gegenüber den Integralgleichungen zweiter Art ergeben. Die Auflösung von Integralgleichungen erster Art ist im allgemeinen eine schwie rige Aufgabe. Die Schwierigkeit liegt darin, daß Probleme erster Art prinzipiell nicht korrekt gestellte Aufgaben sind. Nach HADAMARD wird ein Problem von der Gestalt eIlx = y, wobei x und y Ele mente linearer topologischer Räume X und Y sind und eil ein linearer Operator von X in Y ist, korrekt gestellt genannt, falls folgende Bedingungen gelten: a) Für jedes y E Y gibt es eine Lösung x aus X; b) die Lösung ist eindeutig bestimmt; c) die Lösung x hängt stetig von dem vorgegebenen Element yab. In den neueren Untersuchungen werden die Bedingungen abgeschwächt, meistens derart, daß man nur die Existenz einer im gewissen Sinne verallgemeinerten Lösung fordert. Die wesentlichste Forderung ist die unter c) formulierte. Es stellte sich heraus, daß alle Schwierigkeiten bezüglich der Auflösung von Integralgleichungen erster Art darauf zurückzuführen sind, daß die Bedingung c) nicht erfüllt ist. 10.1. "Überführung einer Integralgleichung erster Art in ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Unbekannten Die allgemeine Gestalt einer Integralgleichung erster Art ist Xx =/, (1) wobei X: X --')-F irgendeinen Integraloperator bedeutet. X und F sind gegebene Funktionenräume, und / E F ist ebenfalls gegeben. Die Räume X und F werden im allgemeinen verschieden sein, doch wir wollen zunächst den einfachsten und wichtig-

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