Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen

546 Pages·1984·22.548 MB·German

by  S. Fenyö, H. W. Stolle (auth.)

LMW/MA 76:
Lehrbücher und Monographien
aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften
Mathematische Reihe
Band 76
Springer Basel AG
S. Fenyö - H. W. Stolle
Theorie und Praxis
der linearen
Integralgleichungen
3
Springer Basel AG
1984
ClP-Horltitelaulnahme der Deutschen Bibliothek
Fenyö, Stelan:
Theorie und Praxis der linearen Integral
gleichungen I s. Fenyö ; H. W. Stolle. -
Ba.sel ; Bo8ton ; Stuttgart : Birkhäuser.
NE: Stolle, Hans W.:
3 (1984).
(Lehrbücher und Monographien au!:! dem Gebiete
der exakten Wi89(lDlwhaften : Math. Reihe;
Bd.76)
NE: Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete
der e:lakten Wissenschaften I Mathematiache Reihe
Library ot Congress Cataloging In Pobllcation Dab
Fenyö, [swan, 1917-
Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der
exakten Wissenschaften. Jllathematischc Reihc : Bd.
74, )
Includes bibliographie!:! and indexes.
1. Integral equations. I.Sw!le, H. W.
(Hans-Wolfgang, 1927- ). ILTitl('. Ur.Series.
QA431.F4G 515.4'5 81-12275
ISBN 978-3-0348-7670-4 ISBN 978-3-0348-7669-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7669-8
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@ 1984, Springer Basel AG
Urspn1nglich erschienen bei Birkhäuser Basel 1984
Softcover ~nl ofllle hardcover Ist edition 1984
Lizenzausgabe für alle nichtsozialiatischen Länder
BirkhAuser Verlag, Basel 1984
Inhaltsverzeichnis
III. LINEARE INTEGRALGLEICHUNGEN ERSTER ART
10. Eine allgemeine Theorie der Integralgleichungen erster Art 11
10.1. Überführung einer Integralgleichung erster Art in ein Gleichungssystem mit
unendlich vielen Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . 11
10.2. Ein speziell gewähltes Gleichungssystem . . . . . . . . . . 16
10.2.1. Ein speziell gewähltes Gleichungssystem für hermitesche Kerne 21
10.3. Weitere Lösungsmethoden . . . . . . . . 24
10.4. Umkehrbare Integraloperatoren 33
10.5. Die Anwendung der allgemeinen Methoden zur Lösung einiger Integralglei-
chungen erster Art . . . . . . 36
10.6. Lösung durch Reihenentwicklung 45
10.7. Ein iteratives Lösungsverfahren . 53
10.8. Die Methode von LATTA . . . . 56
10.9. Der funktionentheoretische Charakter der Lösung Abelscher Integralgleichun
gen mit festen Grenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11. Integraltransformationen der mathematischen Physik 74
11.1. Verallgemeinerte Funktionen . . . . . . . . . . . 74
11.1.1. Räume von Testfunktionen . . . . . . . . . . . . 74
11.1.2. Distributionen, temperierte Distributionen und Ultradistributionen 77
11.1.3. Faltung von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.2. Der Bochnersche Satz über unitäre Transformationen in L2 86
11.3. Die Watsonsche und die Fourier-Plancherelsche Transformation. 88
11.3.1. Die Fourier-Cosinus- und die Fourier-Sinus-Transformation 93
11.3.1.1. Anwendung zur Lösung von Integralgleichungen . . 98
11.3.2. Die Fouriertransformation im Funktionenraum L(lR) 106
11.3.3. Die Fouriertransformierten von Testfunktionen 115
11.3.4. Die Fouriertransformierten von Distributionen 121
11.4. Die Gauß- und die Hilberttransformation. 126
11.4.1. Die Gaußtransformation . 126
11.4.2. Die Hilberttransformation . . . . . . . 127
11.5. Die Laplacetransformation . . . . . . . 130
11.5.1. Die Laplacetransformierten von Distributionen 141
11.5.2. Eine Verallgemeinerung des Faltungssatzes und seine Anwendung zur Lösung
von Integralgleichungen . . . . . . 149
11.6. Die zweiseitige Laplacetrallsformation 154
11.7. Die Mellintransformation. . . . . . 164
11.7.1. Integralgleichungen vom Watson-Typ 170
6 Inhaltsverzeichnis
IV. SPEZIELLE TYPEN VON INTEGRALGLEICHUNGEN
12. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung 185
12.1. Historische Bemerkungen 185
12.2. Die Wieneralgebra . . . . 189
12.3. Faktorisierung von Funktionen, die einer Lipschitzbedingung genügE'n 194
12.4. Die Kreinschen Faktorisierungssätze. . . . . . . . . . . . . . . 200
12.5. Ein Satz von PALEY und WIENER ............... . 210
12.6. Die Sobolewschen Räume. Der verallgemeinerte Paley-Wienersche Sntz 213
12.7. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung zweiter Art . . . . . . . . . 219
12.8. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung erster Art. . . . . . . . . . 226
12.9. Anwendung der .Pu-Transformation zur Lösung von homogenen Integralglei
chungen des Wiener-Hopf-Typs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.10. Lösung inhomogener Wiener-Hopfscher Integralgleichungen mit Hilfe der La
placetransformation. . . . . . . . . . . 239
12.11. Faltungsgleichungen mit endlichen Grenzen. 243
13. VoIterrasche Integralgleichungen . . . . . 249
13.1. Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art 249
13.1.1. Die Volterrasche Integralgleichung zweiter Art in einem endlichen Gebiet 249
13.1.2. Volterrasche Integralgleichungen mit Kernen, die von s - tabhängen . 258
13.1.3. Weitere Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13.1.4. Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art mit unbeschränktem Kern 274
13.1.5. Systeme von Volterraschen Integralgleichungen zweiter Art. 278
13.2. Volterrasche Integralgleichungen erster Art. 281
13.2.1. Gleichungen mit differenzierbaren Kernen 281
13.2.2. Die Volterra-Peressche Methode. 285
13.2.3. Das Peressche Verfahren. . . . . . . . 295
13.2.4. Abelsche Integralgleichungen. . . . . . 298
13.2.4.1. Abelsche Integralgleichungen mit konstanten Grenzen 310
13.2.5. Integralgleichungen mit Kernen, die von tls allein abhängen 317
13.2.6. Weitere Typen Volterrascher Integralgleichungen erster Art 321
13.3. Die Volterra-Stieltjessche Integralgleichung .. . . . . . 329
13.3.1. Die allgemeine Volterra-Stieltjessche Integralgleichung zweiter Art 329
13.3.2. Der Volterra-Stieltjessche Faltungsoperator .. . . . . . . . . 334
13.3.3. Die Volterra-Stieltjessche Integralgleichung zweiter Art vom Faltungstyp 336
13.4. Die Volterrasche Theorie der vertauschbaren Kerne und die verallgemeinerte
Lösung Volterrascher Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . 340
13.4.1. Der Ring der vertauschbaren Kerne. . . . . . . . . . . . . . . . 340
13.4.2. Die Konstruktion der mit einem gegebenen Kern vertauschbaren Kerne 344
13.4.3. Die Volterra-Peressche Ähnlichkeitstransformation . . . . . . 354
13.4.4. Weitere Ähnlichkeitseigenschaften von Volterraschen Opera toren . 357
13.4.5. Der MikusIDskische Operatorenkörper . . . . . . . . . . . 365
13.4.6. Lösung Volterrascher Integralgleichungen vom Faltungstyp mit Hilfe von
M-Operatoren ............. . 367
13.4.7. Ein Operatorenkalkül für Volterrasche Kerne. _ ..... . 372
14. Zwei- und dreifache Integralgleichungen. 376
14.1. Problemstellung. Bezeichnungen 376
14.2. Die Erdelyi-Koberschen Operatoren ... 378
14.3. Zweifache Integralgleichungen vom Titchmarshschen Typ 381
Inhaltsverzeichnis 7
14.4. Zweifache Integralgleichungen mit trigonometrischem Kern. 385
14.5. Zweifache Integralgleichungen mit Besselschem Kern 391
14.6. Dreifache Integralgleichungen. . . . . . . . . . . 393
10. Singuläre Integralgleichungen mit einem Cauchykern 397
15.1. Eigenschaften der Integrale vom Cauchytyp . . . . 397
15.1.1. Hölderstetige Funktionen auf Kurvensystemen . . . 397
15.1.2. Das singuläre Cauchyintegral in HfI(r) und das singuläre Hilbertintegral . 404
15.1.3. Die Randwerte des regulären Cauchyintegrals. . . . . . . . . . . .. 415
15.1.4. Die Poincare-Bertrandsche Vertauschungsformel und Umkehrformeln singulä-
rer Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 421
15.2. Singuläre Integralgleichungen mit Cauchykern und das Hilbertsche Problem 434
15.2.1. Singuläre Integralgleichungen mit Cauchykern in HfI(F) . . . . . . . .. 434
15.2.2. Die charakteristische Gleichung und das Hilbertsche Problem ...... 447
15.2.2.1. Die Wiener-Hopfsche Integralgleichung und das Hilbertsche Problem für die
Gerade .....•......................... 458
15.2.3. Äquivalente Darstellungen für die singuläre Integralgleichung mit Cauchykern 467
15.2.4. Cauchyintegrale in Hl(r) und das Hilbertsche Problem in der Klasse h(Ct, .... cm) 472
15.2.5. Singuläre Integralgleichungen mit Cauchykern in Hi(c1, ••• , cm). . . . 486
15.3. Abstrakte singuläre Operatoren und Gleichungen ............. 490
15.3.1. Abstrakte singuläre Operatoren mit Koeffizienten aus einer Algebra m 490
15.3.2. Abstrakte singuläre Operatoren mit Koeffizienten aus einer speziellen Algebra
ffi(<YI) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • • 495
15.3.3. Die Anwendung der Theorie abstrakter singulärer Operatoren auf singuläre
Integralgleichungen in HfI(r) und LP(r). . . . . 505
16. Weitere spezielle Typen von Integralgleichungen 509
16.1. Integralgleiohungen dritter Art . • . . . . • . 509
16.2. Lösung Fredholmsoher Integralgleiohungen mit Hilfe Volterrascher Integral-
gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
16.3. Verallgemeinerte Abelsche Integralgleichungen mit äußeren und inneren Koeffi-
zienten • . . . . . . • . . • . . . . . . 513
16.4. Weitere Typen spezieller Integralgleichungen. 517
Literaturverzeichnis 524
Inhalt von Band 1 . 532
Inhalt von Band 2 . 533
Inhalt von Band 4 . 535
Bezeichnungen . 538
Symbole ... 541
Berichtigungen 541
Namen. und Sachverzeichnis 542
llI. UNEAREINTEGRALGLEICHUNGEN
ERSTER ART
10. Eine allgemeine Theorie der
Integralgleichungen erster Art
In Übereinstimmung mit den Definitionen von 5.1. ergibt sich aus
AX - Xx =/
eine Integralgleichung erster Art, wenn wir A = 0 setzen, wobei X irgendein Integral
operator ist.
Die Besonderheit dieser Integralgleichung besteht darin, daß im Gegensatz zum
OperatorA0 - X für A =!= 0, der unter der Bedingung der Vollstetigkeit von X ein
Fredholmoperator ist, der Operator X auch bei vorausgesetzter Vollstetigkeit keinen
Fredholmoperator darstellt (vgl. dazu Satz 1; 2.11). Aus dieser Tatsache werden sich
viele Unterschiede gegenüber den Integralgleichungen zweiter Art ergeben.
Die Auflösung von Integralgleichungen erster Art ist im allgemeinen eine schwie
rige Aufgabe. Die Schwierigkeit liegt darin, daß Probleme erster Art prinzipiell nicht
korrekt gestellte Aufgaben sind.
Nach HADAMARD wird ein Problem von der Gestalt eIlx = y, wobei x und y Ele
mente linearer topologischer Räume X und Y sind und eil ein linearer Operator von
X in Y ist, korrekt gestellt genannt, falls folgende Bedingungen gelten:
a) Für jedes y E Y gibt es eine Lösung x aus X;
b) die Lösung ist eindeutig bestimmt;
c) die Lösung x hängt stetig von dem vorgegebenen Element yab.
In den neueren Untersuchungen werden die Bedingungen abgeschwächt, meistens
derart, daß man nur die Existenz einer im gewissen Sinne verallgemeinerten Lösung
fordert. Die wesentlichste Forderung ist die unter c) formulierte. Es stellte sich
heraus, daß alle Schwierigkeiten bezüglich der Auflösung von Integralgleichungen
erster Art darauf zurückzuführen sind, daß die Bedingung c) nicht erfüllt ist.
10.1. "Überführung einer Integralgleichung erster Art in ein
Gleichungssystem mit unendlich vielen Unbekannten
Die allgemeine Gestalt einer Integralgleichung erster Art ist
Xx =/, (1)
wobei X: X --')-F irgendeinen Integraloperator bedeutet. X und F sind gegebene
Funktionenräume, und / E F ist ebenfalls gegeben. Die Räume X und F werden im
allgemeinen verschieden sein, doch wir wollen zunächst den einfachsten und wichtig-