Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen

406 Pages·2017·3.858 MB·German

by  Wolfgang Hackbusch (auth.)

Wolfgang Hackbusch
Theorie und
Numerik elliptischer
Differentialgleichungen
4. Auflage
Theorie und Numerik elliptischer
Differentialgleichungen
Wolfgang Hackbusch
Theorie und
Numerik elliptischer
Differentialgleichungen
4., überarbeitete Auflage
Wolfgang Hackbusch
Max-Planck-Institut für Mathematik in den
Naturwissenschaften
Leipzig, Deutschland
ISBN 978-3-658-15357-1 ISBN 978-3-658-15358-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-15358-8
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Die 3. Auflage ist online erschienen bei Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften,
Leipzig, 2005.
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Meiner Enkelin Finja gewidmet
Vorwort
Die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typ fu¨hren zu einer Reihe von
Aufgaben,dieinderfolgendenSkizzedargestelltwerden.
A: B: C:
Theorieder Diskretisierung NumerischeAnalyse:
elliptischen (Differenzenverfahren, Konvergenz,
Gleichungen finiteElemente,etc.) Stabilita¨t
↓ ↓ ↓
elliptische
diskretes
Randwert- ——————
−→ Gleichungssystem
aufgabe
E: D:
Theorieder Gleichungsauflo¨sung:
——————
Iterations- −→ a)direktodermittels
verfahren b)Iterationsverfahren
Die Theorie der elliptischen Differentialgleichungen (A) bescha¨ftigt sich unter
anderem mit den Fragen nach der Existenz, Eindeutigkeit und den Eigenschaften der
Lo¨sung der Randwertaufgaben. Das erste Problem der Numerik ist die Beschreibung
vonDiskretisierungsverfahren(B),dieendlichdimensionaleGleichungenfu¨rNa¨herungen
der Lo¨sung erzeugen. Der anschließende Teil der Numerik ist die numerische Analyse
(C) der entsprechenden Verfahren. Insbesondere ist zu kla¨ren, ob und wie schnell die
Na¨herunggegendieexakteLo¨sungkonvergiert.DieAuflo¨sungderendlichdimensionalen
Gleichungen(D,E)istimAllgemeinenkeineinfachesProblem,daessichumgroßskalige
Systemehandelt:dieZahlderUnbekanntenkannindieMillionengehen.DieDiskussion
derAufgabenbereicheDundEistindiesemBuchallerdingsausgespart,daesdasThema
derMonographie[117]desAutorsist.
Die Diskretisierungsverfahren und ihre Analyse stehen in engem Zusammenhang
mit entsprechenden Kapiteln aus der Theorie der elliptischen Differentialgleichungen.
Außerdem ist eine fundierte numerische Analyse ohne Grundkenntnisse der Theorie der
elliptischen Gleichungen nicht mo¨glich. Daher bietet es sich an, die Theorie und die
Numerikgemeinsamzupra¨sentieren.
VIII Vorwort
Das Buch ist zuna¨chst als eine Einfu¨hrung in die Behandlung elliptischer Randwert-
aufgaben gedacht. Es soll den Leser aber auch an weiterfu¨hrende Literatur zu speziellen
Themen und an anwendungsorientierte Aufgaben heranfu¨hren. Absichtlich wurden
Kapitel, die ha¨ufig am Rand behandelt werden (z.B. Eigenwertaufgaben, Regularita¨ts-
aussagen)ausfu¨hrlicherbehandelt.
Die Darstellungen beschra¨nken sich grundsa¨tzlich auf lineare Randwertaufgaben.
Damit ist die Diskussion der in der Stro¨mungsmechanik wichtigen Navier-Stokes-
Gleichungenzwarausgeschlossen,abermanfindethierdieverwandteStokes-Gleichung,
diealseinBeispieleineselliptischenSystemseingehendbehandeltwird.
Die aufgefu¨hrten U¨bungsaufgaben sind integrierter Bestandteil der Darstellung.
Ihre Lo¨sungen sind im Anhang zu finden. Wird dieses Buch als Grundlage einer Vor-
lesung benutzt, ko¨nnen sie als U¨bungen dienen. Der Leser sollte aber auch versuchen,
seinVersta¨ndnisderLektu¨reandenAufgabenzutesten.
Das Buch entstand aus Vorlesungen an der Ruhr-Universita¨t Bochum und an der
Christian-Albrechts-Universita¨t zu Kiel. Der Teubner-Verlag Stuttgart publizierte 1986
und 1996 zwei Auflagen: [110]. Als dritte Buchauflage wurde eine u¨berarbeitete und
stellenweise erweitere Version des Buches in der Lecture-Notes-Reihe des Max-Planck-
Instituts fu¨r Mathematik in den Naturwissenschaften bereitgestellt. Die vorliegende
vierte Auflage ist eine erneut u¨berarbeitete und aktualisierte Version. Außerdem sei auf
dieenglischeU¨bersetzung[112]hingewiesen.
DerAutordanktFrauSchmickler-Hirzebruchfu¨rdieunkomplizierteZusammenarbeit
mitdemVerlagSpringerSpektrumbeiderRealisierungdieserAuflage.
Kiel,Juni2016 WolfgangHackbusch
Inhaltsverzeichnis
1 PartielleDifferentialgleichungenundihreTypeneinteilung............... 1
1.1 Beispiele....................................................... 1
1.2 TypeneinteilungenbeiGleichungenzweiterOrdnung.................. 5
1.3 TypeneinteilungenbeiSystemenersterOrdnung...................... 7
1.4 UnterschiedlicheEigenschaftenderverschiedenenTypen .............. 8
1.5 Literatur ....................................................... 11
2 DiePotentialgleichung............................................... 13
2.1 Problemstellung................................................. 13
2.2 Singularita¨tenfunktion ........................................... 15
2.3 MittelwerteigenschaftundMaximumprinzip......................... 18
2.4 StetigeAbha¨ngigkeitvondenRanddaten............................ 23
3 DiePoisson-Gleichung............................................... 27
3.1 Problemstellung................................................. 27
3.2 Green’scheFunktionundLo¨sungsdarstellung ........................ 28
3.3 ExistenzeinerLo¨sung............................................ 30
3.4 DieGreen’scheFunktionfu¨rdieKugel ............................. 35
3.5 DieNeumann-Randwertaufgabe ................................... 36
3.6 DieIntegralgleichungsmethode.................................... 37
4 Differenzenmethodefu¨rdiePoisson-Gleichung ......................... 39
4.1 Einfu¨hrung:DereindimensionaleFall .............................. 40
4.2 Fu¨nfpunktformel ................................................ 42
4.3 M-Matrizen,MatrixnormenundpositivdefiniteMatrizen .............. 46
4.4 EigenschaftenderMatrixL ...................................... 53
h
4.5 Konvergenz .................................................... 60
4.6 Differenzenverfahrenho¨hererOrdnung ............................. 63
4.7 DieDiskretisierungderNeumann-Randwertaufgabe .................. 66
4.7.1 EinseitigeDifferenzfu¨r∂u/∂n ............................. 66
4.7.2 SymmetrischeDifferenzfu¨r∂u/∂n.......................... 70
4.7.3 SymmetrischeDifferenzfu¨r∂u/∂nimverschobenenGitter ..... 71
4.7.4 BeweisdesStabilita¨tsatzes4.62 ............................. 72
4.8 DiskretisierungderPoisson-GleichungimbeliebigenGebiet ........... 78
X Inhaltsverzeichnis
4.8.1 Shortley–Weller-Approximation............................. 78
4.8.2 InterpolationinrandnahenPunkten .......................... 81
5 AllgemeineRandwertaufgaben ....................................... 83
5.1 Dirichlet-Randwertaufgabenfu¨rlineareDifferentialgleichungenzweiter
Ordnung ....................................................... 83
5.1.1 Problemstellung .......................................... 83
5.1.2 Maximumprinzip ......................................... 85
5.1.3 EindeutigkeitderLo¨sungundstetigeAbha¨ngigkeit............. 88
5.1.4 Differenzenverfahrenfu¨rdieallgemeineDifferentialgleichung
zweiterOrdnung.......................................... 90
5.1.5 Green’scheFunktion ...................................... 94
5.2 AllgemeineRandbedingungen..................................... 95
5.2.1 FormulierungderRandwertaufgabe.......................... 95
5.2.2 DifferenzenverfahrenbeiallgemeinenRandbedingungen ........ 97
5.3 Randwertaufgabenho¨hererOrdnung ............................... 101
5.3.1 DiebiharmonischeDifferentialgleichung ..................... 101
5.3.2 AllgemeinelineareDifferentialgleichungderOrdnung2m ...... 101
5.3.3 DiskretisierungderbiharmonischenDifferentialgleichung ....... 103
6 Exkursu¨berFunktionalanalysis ...................................... 107
6.1 Banach-Ra¨umeundHilbert-Ra¨ume................................. 107
6.1.1 NormierteRa¨ume......................................... 107
6.1.2 Operatoren............................................... 108
6.1.3 Banach-Ra¨ume ........................................... 109
6.1.4 Hilbert-Ra¨ume ........................................... 110
6.2 Sobolev-Ra¨ume ................................................. 112
6.2.1 DerRaumL2(Ω) ......................................... 112
6.2.2 DieRa¨umeHk(Ω)undHk(Ω) ............................. 114
0
6.2.3 Fourier-TransformationundHk(Rn)......................... 116
6.2.4 Hs(Ω)fu¨rreelless 0 ................................... 119
≥
6.2.5 Spur-undFortsetzungssa¨tze ................................ 120
6.3 Dualra¨ume ..................................................... 127
6.3.1 DualraumeinesnormiertenRaumes.......................... 127
6.3.2 AdjungierteOperatoren.................................... 128
6.3.3 SkalenvonHilbert-Ra¨umen ................................ 129
6.4 KompakteOperatoren............................................ 131
6.5 Bilinearformen.................................................. 134
7 Variationsformulierung.............................................. 141
7.1 HistorischeBemerkungenzumDirichlet-Prinzip ..................... 141
7.2 GleichungenmithomogenenDirichlet-Randbedingungen.............. 143
7.2.1 Dirichlet-Randbedingung .................................. 143
7.2.2 SchwacheFormulierung ................................... 144
7.2.3 Hm(Ω)-Elliptizita¨t ....................................... 145
0
7.2.4 Hm(Ω)-Koerzivita¨t ....................................... 148
0
7.3 InhomogeneDirichlet-Randbedingung.............................. 149
7.4 Natu¨rlicheRandbedingungen...................................... 151
Inhaltsverzeichnis XI
7.4.1 VariationinHm(Ω)....................................... 151
7.4.2 KonormaleRandbedingung................................. 152
7.4.3 SchiefeRandbedingungen.................................. 153
7.4.4 Randbedingungenbei m 2............................... 156
≥
7.4.5 WeitereRandbedingungen.................................. 157
7.5 Pseudodifferentialgleichungen..................................... 159
8 DieMethodederfinitenElemente..................................... 161
8.1 HistorischeBemerkungen ........................................ 161
8.2 DasRitz–Galerkin-Verfahren...................................... 163
8.2.1 Grundlagen .............................................. 163
8.2.2 AnalysederdiskretenGleichung ............................ 165
8.2.3 Lo¨sbarkeitdesdiskretenProblems........................... 168
8.2.4 Beispiele ................................................ 170
8.3 Fehlerabscha¨tzungen............................................. 172
8.3.1 Quasioptimalita¨t .......................................... 172
8.3.2 KonvergenzderRitz–Galerkin-Lo¨sungen ..................... 173
8.3.3 Ritz-Projektion ........................................... 175
8.3.4 WeitereStabilita¨ts-undFehlerabscha¨tzungen.................. 176
8.4 FiniteElemente ................................................. 177
8.4.1 Einfu¨hrung:LineareElementefu¨rΩ =(a,b).................. 177
8.4.2 LineareElementefu¨rΩ R2 .............................. 180
⊂
8.4.3 BilineareElementefu¨rΩ R2 ............................. 183
⊂
8.4.4 QuadratischeElementefu¨rΩ R2.......................... 184
⊂
8.4.5 Elementefu¨rΩ R3 ..................................... 186
⊂
8.4.6 BehandlungvonNebenbedingungen ......................... 186
8.5 Fehlerabscha¨tzungenbeiFinite-Element-Verfahren ................... 189
8.5.1 Vorbereitungen ........................................... 189
8.5.2 EigenschaftenvonFolgenvonFinite-Element-Ra¨umen ......... 192
8.5.3 H1-Abscha¨tzungenfu¨rlineareElemente...................... 193
8.5.4 L2-Abscha¨tzungenfu¨rlineareElemente ...................... 195
8.6 Verallgemeinerungen ............................................ 198
8.6.1 Fehlerabscha¨tzungenfu¨randereElemente .................... 198
8.6.2 FiniteElementefu¨rGleichungenho¨hererOrdnung ............. 198
8.6.3 FiniteElementefu¨rNichtpolygon-Gebiete .................... 201
8.7 A-posteriori-Fehlerabscha¨tzungen,Adaptivita¨t ....................... 203
8.7.1 A-posteriori-Fehlerabscha¨tzungen ........................... 203
8.7.2 EffizienzderFinite-Element-Methode........................ 208
8.7.3 AdaptiveFinite-Element-Methode........................... 209
8.8 EigenschaftenderSystemmatrix ................................... 212
8.8.1 ZusammenhangvonLundL .............................. 212
h
8.8.2 Norma¨quivalenzenundMassematrix......................... 212
8.8.3 InverseAbscha¨tzungundKonditionvonL .................... 214
8.8.4 Elementmatrizen.......................................... 216
8.8.5 Positivita¨t,Maximumprinzip................................ 217
8.9 WeitereHinweise ............................................... 218
8.9.1 Gemischtebzw.hybridefiniteElemente ...................... 218
8.9.2 NichtkonformeElemente................................... 219