Theorie quantique des champs experimentale

41 Pages·0.26 MB·French

by  Bell J.S.

J.S. Bell
Th´eorie
Quantique des Champs
Exp´erimentale
Traduitde:Experimentalquantumfieldtheory,
Proceedingsofthe1977CERN-JINRschoolofphysics,
Nafplion,Greece,22May–4June1977
CERN77-18,20October1977
93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . snotilosseL
63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . snotnatsniseL
43 . . . . . . . . . . . . . . . . . eguajedecnadnep´edni’L
33 . . . . . . . . . . . . . . . enneidilcuepmahcedeiro´ehT
03 . . . . . . . . . . . . . . . . . sellennoitcnofselarg´etnI
92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . neerGedsnoitcnofseL
82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . le´eredivteunediV
42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . leirotcevpmahceL
22 . . . . . . . . . . secacfifesnoitcestenoitisnarteds´etilibaborP
02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . noitasilamroneraL
81 . . . . . . . . . . . . . . . . . namnyeFedsehpargseL
61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Secirtamedstnem´elE
51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sruetar´epo’L
41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . noitcaretnI
11 . . . . . . . . . . . . . selucitrapedsemretnenoitat´erpretnI
8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . le´ererialacspmahceL
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . euqinonacemsilamrofeL
3 . . . . . . . . . . . grebnesieHedtnemevuomudsnoitauq´eseL
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . euqitnauqeuqinac´emaL
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´emus´eR
ERIAMMOS
VsiraP,ueissuJ.lp2
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seuqirt´emo´egsnoitacilpmocsed´elliuop´eD.ilbuo’leuqxueimretir´emteeuqigogad´epediv
nu relbmoc ,noisicnoc as te ´etralc as rap ,tnatruop elbmes em lleB .S.J ed sruoc ec ,talp
in leicfirepus in euqiouQ .semulov ed sap euqnam en spmahc sed euqitnauq eiro´eht aL
1
RESUME
Jetenteicid’exposercequimesembleleminimumindispensabledeth´eoriequantiquedes
champsquidevraitˆetreconnudesexp´erimentateurscultiv´esdephysiquedesparticules.
L’adjectif «exp´erimental» dans le titre qualifie non seulement l’auditoire vis´e mais aussi
leniveauderigueurmath´ematiqueambitionn´e.
LAMECANIQUEQUANTIQUE
Commen¸cons par quelques points essentiels de m´ecanique quantique´el´ementaire. Con-
sid´erons un syst`eme dynamique typique n’ayant, pour simplifier, qu’un seul degr´e de
libert´e. En m´ecanique quantique, un´etat de ce genre de syst`eme est caract´eris´e par une
fonction-d’onde
(t,q) (1)
d´ependantdutempst etdelacoordonn´eeq.L’´evolutionaucoursdutempsestr´egiepar
Ψ
l’´equationdeSchr¨odinger
iℏ˙ , (2)
=H
ou` l’op´erateur hamiltonien est g´en´eralement une combinaison de la coordonn´ee q et
H Ψ Ψ
del’op´erateurdiff´erentiel
ℏ ∂
p . (3)
= i ∂q
Danscequisuit, seratoujoursunpolynˆomeenq etp.
H
Laquantit´e
dq (t,q) (t,q) (4)
∗
estsuppos´eedonnerladistributiondelaprobabilit´equelacoordonn´eeaitlavaleurqau
Ψ Ψ
tempst.LavaleurmoyennedetoutefonctionX deq estdonc:
dq (t,q)X(q) (t,q), (5)
∗
Z
Ψ Ψ
l’int´egrale´etant´etendue`atouteslesvaleursdeq.
On a coutume de faire allusion `a cette expression sous le nom de valeur moyenne
de X, mˆeme pour des X qui d´ependent de p aussi bien que de q, et qui sont donc des
op´erateursdiff´erentiels.
LorsqueX estunop´erateurdiff´erentiel,ilsemblenatureldeselerepr´esentercomme
agissantsur dans(5),c’est-`a-dire:
Ψ
dq (t,q) X (t,q) . (6)
∗
Z
(cid:0) (cid:1)
Ψ Ψ
Maisilestutiled’admettreaussil’associationalternative
dq (t,q)X (t,q), (7)
∗
Z
(cid:0) (cid:1)
Ψ Ψ
danslaquelleonimaginequeXagitverslagauche,“enarri`ere”,sur .Pourvoircomment
∗
celapeutsefaire,consid´erons,dansX,untermedelaforme:
Ψ
ℏ ∂
f(q)pg(q) f g.
= i ∂q
Dor´enavant,noussupposeronsque d´ecroˆıtbiengentiment`al’infini.Alors,parint´egra-
tionparpartiessurtoutq,
Ψ
ℏ ∂ ℏ ∂
dq f g dq f g .
∗ ∗
i ∂q = − i ∂q
Z (cid:18) (cid:19) Z (cid:18) (cid:19)
Ψ Ψ Ψ Ψ
2
Cela ne fait donc aucune diff´erence de consid´erer que p diff´erencie tout ce qui est `a sa
droiteoutoutcequiest`asagauche—danslamesureou`ilestbienentenduquecedernier
casimpliqueunchangementdesigne.Auprixdecesous-entendu,l’accouplement(7)est
´equivalent`a(6).
Moyennantcesactions“enarri`ere”implicites,l’´equation
(X ) X (8)
∗ ∗ ∗
=
peuts’´ecrire,parfoispluscommod´emenΨt, Ψ
(X ) X , (9)
∗ ∗ +
=
ou`X+,appel´eleconjugu´ehermitiquedΨeX,esΨtobtenu`apartirdecederniereninversant
la suite de tous les facteurs q et p et en conjuguant tous les coefficients num´eriques. Le
changement de signe qui s’introduit lorsqu’on ´ecrit p `a droite, plutˆot qu’`a gauche, est
´equivalent `a la conjugaison complexe de (ℏ/i)(∂/∂q). L’inversion de l’ordre, lorsqu’on
´ecrit les q et les p du cˆot´e droit, donne l’ordre des op´erations d´efinies par X . Nous
∗
aurons souvent affaire `a des op´erateurs X autoconjugu´es hermitiques (ou, simplement,
hermitiques), c’est-`a-dire dou´es de la propri´et´e X X . Les op´erateurs hermitiques ont
+
=
desvaleursmoyennesr´eellescar
∗
dq X dq (X )
∗ ∗
=
(cid:18)Z (cid:19) Z
Ψ Ψ dqΨ(X )Ψ
∗
=
Z
dq ΨX Ψ.
∗ +
=
Z
D’apr`es(4),lanormede , Ψ Ψ
dq , (10)
∗
Ψ Z
doitresterconstanteaucoursdutemps,defaΨit´eΨgale`al’unit´e,carellefournitlaprobabilit´e
detouteslesvaleursdeq.Calculonslad´eriv´eedelanormeparrapportautemps,`al’aide
del’´equationdeSchr¨odinger(2)etdesaconjugu´eecomplexe
iℏ˙ . (11)
∗ ∗ ∗ ∗ +
− =H = H
Ainsi: Ψ Ψ Ψ
d
iℏ dq dq . (12)
∗ ∗ +
− dt = H −H
Z Z
(cid:0) (cid:1)
LaconstancedelanormeestdoncasΨsurΨ´eeenimpΨosant`a d’ˆeΨtrehermitique: + .
H H =H
Onpeutr´esoudreformellementl’´equationdeSchr¨odingerparund´eveloppementde
Taylorautourdet 0,avecpourr´esultat:
=
i 1 i 2
(t,q) 1 t t (0,q)
= − ℏH + 2! ℏH +···
(cid:18) (cid:16) (cid:17) (cid:19)
it
Ψ e−ℏH (0,q), Ψ (13)
=
ou` l’exponentielle de l’op´erateur est dΨ´efinie (par exemple) par sa s´erie enti`ere. De mˆeme,
`al’aidede(11)etde ,ona:
+
H =H
it
∗(t,q) ∗(0,q)eℏH. (14)
=
Lavaleurmoyenne Ψ Ψ
dq (t,q)X (t,q) (15)
∗
Z
Ψ Ψ
3
peutdoncs’´ecrireaussi:
dq (0,q)X(t) (0,q), (16)
∗
Z
avec
Ψ Ψ
it it
X(t) eℏH Xe−ℏH . (17)
=
Leformalismeadopt´edans(15),ou` lesfonctions-d’onded´ependentdutempstandisque
lesop´erateurssontind´ependantsdutemps,estappel´erepr´esentationdeSchr¨odinger.
La valeur moyenne (5), ou` n’intervient qu’un seul ´etat , est un cas particulier
d’uneconstructionplusg´en´eraleimpliquantdeux´etats,disons et ,´eventuellement
α β
diff´erents: Ψ
dq X . Ψ Ψ (18)
α∗ β
Z
Cesquantit´essontappel´ees´el´ementsdemΨatriceΨs deX entreles´etatsαetβ,etnot´ees
α X β . (19)
h | | i
A la suite de Dirac, il est commode d’attribuer une signification aux diff´erentes parties
de cette notation composite entre crochets. Ainsi, le bra α est mis pour , le ket β
h | α∗ | i
pour , tandis que le bra-ket complet dans (19) implique l’int´egration sur q. Avec cette
β
notation,les´equationsdeSchr¨odinger(2)et(11)s’´ecrivent Ψ
Ψ
d
iℏ β,t β,t ,
dt| i=H| i
(20)
d
iℏ α,t α,t .
− dth |=h |H
On´ecrit`al’int´erieurdescrochetspartiels et ,lesbrasetkets,n’importequelssym-
|i h|
boles convenant pour identification de l’´etat en question. Lorsque nous aurons affaire
`a un ´etat de Schr¨odinger d´ependant du temps (dans (20) par exemple), nous ferons
g´en´eralementfigurerletempst parmilessymbolesidentificateurs.
Remarquez que (8) et une minime g´en´eralisation de (9) permettent d’´ecrire, en nota-
tiondeDirac:
X α ∗ α X+ (8′)
| i =h |
β(cid:0) X α(cid:1) α X β . (9 )
∗ + ′
h | | i =h | | i
LESEQUATIONSDUMOUVEMENTDEHEISENBERG
Soit X un polynˆome en q et p, ne d´ependant pas explicitement du temps (autrement dit
dontlescoefficientssontconstants).L’op´erateurdeHeisenbergcorrespondantest
it it
X(t) eℏH Xe−ℏH . (21)
=
End´erivantparrapportautemps,ona:
i
X˙(t) X(t), , (22)
=−ℏ H
(cid:2) (cid:3)
ou`lecommutateur dedeuxop´erateursest,pard´efinition, A,B AB BA.Ler´esultat(22)
= −
estobtenugrˆaceauxidentit´es
(cid:2) (cid:3)
d it it
ℏ e±ℏH i e±ℏH
dt =± H
(cid:16) (cid:17)
it
e±ℏH ( i ),
= ± H
4
dontonpeutseconvaincreenexaminantlas´erieenti`eredel’exponentielle.
C’est l’op´erateur de Schr¨odinger qui fait irruption en premier dans (22). Mais on
H
peutluisubstituerl’op´erateurdeHeisenberg (t),car
H
it it
(t) eℏH e−ℏH
H = H
it it
eℏH e−ℏH
=H
. (23)
=H
Ici,commesouventparlasuite,nousutilisonsl’identit´e
it it
e±ℏH e∓ℏH 1, (24)
=
quir´esulteduproduitdesdeuxs´eriesenti`eres,toutcommesi ´etaitunnombreplutˆot
H
qu’unop´erateur.
Onadonc:
i
X˙(t) X(t), (t) , (25)
=−ℏ H
(cid:2) (cid:3)
etenparticulier,
i
q˙(t) q(t), (t)
=−ℏ H
(26)
i (cid:2) (cid:3)
p˙(t) p(t), (t) ,
=−ℏ H
(cid:2) (cid:3)
dites´equationsdumouvementdeHeisenberg.
Remarquez que (t) est la mˆeme fonction de q(t) et p(t) que la fonction de q
H H
etp.Ons’enassureenappliquant`achaquetermede desidentit´esdugenre:
H
i t i t i t i t i t i t
eℏH ABe−ℏH eℏH Ae−ℏH eℏH Be−ℏH
=
A(t)B(t), (27)
=
grˆace`a(24).
Aumoyendel’expressionde (t),onpeutr´eduirelesmembresdedroitede(26)en
H
fonctionsdesseulscommutateurs:
q(t),q(t) p(t),p(t) 0
= = (28)
(cid:2)q(t),p(t)(cid:3) (cid:2)? (cid:3)
=
(cid:2) (cid:3)
Oneffectuecetter´eductionenappliquant`achaquetermede (t)desidentit´esdugenre
H
A,BC A,B C B A,C , (29)
= +
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
dont la validit´e saute aux yeux lorsqu’on ´ecrit leur d´eveloppement explicite. Enfin, on
´evaluefacilementlecommutateurinconnu:
i t i t
[q(t),p(t)] eℏH q,p e−ℏH
=
eℏiHt(cid:2)( ℏ)(cid:3)e−ℏiHt
= −i
ℏ. (30)
=−i
Supposons,parexemple,que (t)contienneunterme
H
2 2
q(t) p(t) q(t)q(t)p(t)p(t).
=
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
5
Nousavonsalors
q(t),q(t)q(t)p(t)p(t) q(t),q(t) q(t)p(t)p(t) q(t) q(t),q(t) p(t)p(t)
= +
(cid:2) (cid:3) (cid:2)q(t)q(t) (cid:3)q(t),p(t) p(t) q(t)(cid:2)q(t)p(t) (cid:3)q(t),p(t) ,
+ +
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
quidevient,grˆace`a(28)et(30):
i
q(t),q(t)q(t)p(t)p(t) q(t)q(t)p(t) q(t)q(t)p(t)
−ℏ = +
(cid:2) (cid:3) ∂
q(t)q(t)p(t)p(t),
= ∂p(t)
ou`,encalculantlesd´eriv´ees,ilfautveiller`anepasalt´ererl’ordredespetdesqsurvivants.
Moyennantcettepr´ecaution,onaune´equivalencetout`afaitg´en´eraleentrecommutation
avec q (ou p) et d´erivation par rapport `a p (ou q). Les ´equations du mouvement de
−
Heisenbergpeuventˆetrer´e´ecrites:
∂ (t)
q˙(t) H
= ∂p(t)
(31)
∂ (t)
p˙(t) H ,
=− ∂q(t)
c’est-`a-dire pr´ecis´ement (`a la pr´ecaution pr`es concernant les facteurs non commutables)
souslaformedes´equationsclassiquesdumouvementdeHamilton.
Bien suˆr, les quantit´es q et p dans (31) sont des op´erateurs (on dit des q-nombres),
etpasencorelesnombresordinaires(ditsc-nombres)delam´ecaniqueclassique.Maisles
op´erateurs peuventˆetre remplac´es par des valeurs num´eriques en prenant leurs valeurs
moyennes. On peut ainsi montrer, en s’appuyant sur (31), que dans certaines conditions
(lorsque ℏ peut ˆetre consid´er´e comme n´egligeable) les valeurs moyennes quantiques se
comportentcommedesvaleursmoyennesclassiques,ensortequelam´ecaniqueclassique
estuneapproximationidoine.
LEFORMALISMECANONIQUE
Nous avons vu comment la m´ecanique quantique r´ealise sa jonction avec la m´ecanique
classique par le truchement des ´equations du mouvement de Hamilton. Pour la plupart
d’entre nous, la m´ecanique classique est plus facile `a appr´ehender que la m´ecanique
quantique. Aussi la construction d’une th´eorie quantique s’op`ere-t-elle habituellement
`a partir de la th´eorie classique correspondante. A ce niveau classique, le formalisme
lagrangienest,parcertainscˆot´es,pluscommodequeleformalismehamiltonien.
Lelagrangien
(q,q˙) (32)
L
est une fonction de la coordonn´ee et de la vitesse. Les ´equations du mouvement sont
d´efiniesparleprincipevariationnel
δA 0, (33)
=
avec
A dt (q,q˙), (34)
= L
Z
etparrapport`adesvariationsδq(t)suppos´eess’annulerpour t grand.Ler´esultatpeut
| |
s’´ecrire
δA
0 (35)
δq(t) =
pourtoutt,ou`lad´eriv´eefonctionnelledeAparrapport`aq(t)estd´efinieparlarelation:
δA
δA dt δq(t). (36)
= δq(t)
Z
6
Celle-ciestuneg´en´eralisationdel’expression
∂F
δA δx ,
n
= ∂x
Xn n
d´efinissant les d´eriv´ees partielles d’une fonction F d’un nombre fini de variables x , au
n
cas d’une fonction A d’une infinit´e d’arguments q(t) — en fait une fonction de fonction,
diteunefonctionnelle.Pourcalculerlad´eriv´eefonctionnelle,notezque
∂ ∂
δA dt Lδq Lδq˙
= ∂q + ∂q˙
Z (cid:18) (cid:19)
∂ d ∂
dt L L δq,
= ∂q − dt ∂q˙
Z (cid:18) (cid:19)
apr`esint´egrationparparties.Donc:
δA ∂ d ∂
L L, (37)
δq(t) = ∂q − dt ∂q˙
etainsi(35)donnel’´equationdumouvementdeLagrangefamili`ere.
Lemomentp,conjugu´edeq,estpard´efinition:
∂
p L. (38)
= ∂q˙
Ensupposantcette´equationsolublepourqenfonctiondep,l’hamiltonienestd´efinipar
pq˙ , (39)
H = −L
etnousobtenonslaformehamiltoniennedes´equationsdumouvement:
∂ ∂
q˙ H , p˙ H . (40)
= ∂p =− ∂q
Onpassealors`alath´eoriequantiqueenconsid´erantlesop´erateursdeHeisenbergq(t)
etp(t)telsque
q(t),p(t) iℏ
=
q˙(t) (cid:2) (iℏ) 1 q(cid:3)(t), (t)
−
= H
p˙(t) (iℏ) 1(cid:2)p(t), (t)(cid:3),
−
= H
(cid:2) (cid:3)
avec (t) q(t),p(t) .
H =H
Lag´en´eralisation`aplusieursdegr´esdelibert´eestimm´ediate:
(cid:0) (cid:1)
∂
p L (41)
n
= ∂q˙
n
p q˙ (42)
n n
H = −L
P ∂
q˙ H
n
= ∂p
 n
p˙ ∂H (43)
n
=−∂q
n
q˙ (t) (iℏ) 1 q (t), (t)
n − n
= H (44)
(p˙ (t) (iℏ) 1(cid:2)p (t), (t)(cid:3)
n − n
= H
(cid:2) (cid:3)
7
q (t),q (t) p (t),p (t) 0
n m n m
= = (45)
((cid:2)q (t),p (t)(cid:3) (cid:2)iℏδ . (cid:3)
n m nm
=
(cid:2) (cid:3)
Pour en arriver enfin `a la th´eorie des champs, il nous faut encore g´en´eraliser `a une
infinit´e continue de degr´es de libert´e. En effet, mˆeme le plus simple des champs est
caract´eris´e, `a un instant t, par une infinit´e continue de quantit´es φ(t,x~) pour tout x~.
Et nous avons affaire `a des ´equations aux d´eriv´ees partielles plutˆot qu’`a des ´equations
diff´erentiellesordinaires.
Pour vous convaincre de la possibilit´e de cette g´en´eralisation, souvenez-vous du
traitement pratique des ´equations diff´erentielles qui consiste `a les approximer par des
´equations aux diff´erences. On peut ainsi imaginer repr´esenter la fonction φ par ses
valeurs, q (t) φ(t,x~ ), en un ensemble discret de points x~ que l’on rendra en fin de
n n n
=
compteinfinimentdense. Nous pouvonsaussi travailler,pour commencer, non pasdans
toutl’espace,maisdansunvolumefiniquel’onfiniraparrendretr`esgrand.Enproc´edant
ainsi,nouspouvonstrouvercommentg´en´eraliserleformalismecanoniqueetleprocessus
dequantification.Auniveauformel,nonobstantdesubtilesquestionsdeconvergence,la
g´en´eralisation aux syst`emes continus consiste principalement `a remplacer les sommes
surdesindicesnpardesint´egralessurdesargumentsx~,etlesdeltasdeKroneckerδ
nm
pardesdeltasdeDiracδ3(x~ y~).
−
Consid´eronsalorsunprincipevariationnel
δA 0, A dt (t),
= = L
Z
ou` le lagrangien est maintenant une fonctionnelle du champ φ(t,x~) et de sa d´eriv´ee
parrapportauteLmpsφ˙(t,x~).Dansuneth´eorieinvariantedeLorentz,ilfauts’attendre`a
desmanifestationssym´etriquesdescoordonn´eesdetempsetd’espace.Noussupposons
doncque
(t) d3x~L(t,x~),
L =
Z
ou` la densit´e lagrangienne L(t,x~) est une fonction de φ et de ses d´eriv´ees premi`eres
en(t,x~).Onaalors:
A d4xL(x),
=
Z
δA
δA d4x δφ(x), (46)
= δφ(x)
Z
ou` x (t,x~),d4x dtdx dx dx ,etavec
1 2 3
≡ =
δA ∂L ∂ ∂L
, (47)
δφ(x) = ∂φ − ∂x ∂ ∂φ/∂x
Xµ µ µ
(cid:0) (cid:1)
enanalogieavec(37).Enexprimantlanullit´edecetted´eriv´eefonctionnelle,onobtientles
´equationsdeLagrangedumouvementduchamp.
Enanalogieavec(41),lechamp (x)canoniquementconjugu´edeφ(x)estd´efinipar
Π ∂L
(x) . (48)
= ∂φ˙
Π
Enanalogieavec(42),ond´efinitl’hamiltonien
(t) d3x~ (t,x~)φ˙(t,x~) (t), (49)
H = −L
Z
Π
8
etonpeutr´e´ecrireles´equationsdumouvementsousformehamiltonienne:
δ (t)
φ˙(t,x~) H
= δ (t,x~)
(50)
δ (t)
˙(t,x~) H ,
=−Πδφ(t,x~)
enanalogieavec(43). Π
Passonsmaintenant`alath´eoriequantiqueenpostulantdeschampsd’op´erateursde
Heisenbergcorrespondants.Lesrelationsdecommutationetles´equationsdumouvement
deHeisenbergsontlesg´en´eralisationsnaturellesde(44)et(45):
φ˙(t,x~) (iℏ) 1 φ(t,x~), (t)
−
= H (51)
˙(t,x~) (iℏ) 1(cid:2) (t,x~), (t)(cid:3)
 −
= H
(cid:2) (cid:3)
φ(tΠ,x~),φ(t,y~) Π(t,x~), (t,y~) 0
= = (52)
((cid:2)φ(t,x~), (t,y~)(cid:3) i(cid:2)ℏδ3(x~ y~). (cid:3)
= Π −Π
Comme pr´ec´edemment, l(cid:2)es´equations du(cid:3)mouvement de Heisenberg peuvent se r´e´ecrire,
Π
enveillant`al’ordredesop´erateursnoncommutables,souslaformehamiltonienne(50).
Lag´en´eralisation`aunsyst`emedeplusieurschampsestdirecte:
φ˙ (t,x~) (iℏ) 1 φ (t,x~), (t)
n − n
= H (53)
˙ (t,x~) (iℏ) 1(cid:2) (t,x~), (t)(cid:3)
 n − n
= H
(cid:2) (cid:3)
φn(t,Πx~),φm(t,y~) Πn(t,x~), m(t,y~) 0
= = (54)
((cid:2)φ (t,x~), (t,y~)(cid:3) i(cid:2)ℏδ3(x~ y~)δ (cid:3)
n m = Π − Π nm
(cid:2) ∂L(t(cid:3),x~)
(t,x~Π)
n = ∂φ˙ (t,x~)
 n (55)
Π (t) d3x~ (t,x~)φ˙ (t,x~) L
H = n n n −
 Z (cid:16)˙P ΠδH (cid:17)
n
 = δφn
Πφ˙ δH . (56)
n
=−δ
n
Ilneresteplusqu’`aappliquercesch´emag´en´eral`adesexemplessp´ecifiques.
Π
LECHAMPSCALAIREREEL
Pour travailler sur des th´eories relativistes, nous utiliserons souvent, plutˆot que le
temps x ( t), la quatri`eme coordonn´ee imaginaire x ( ict). De plus, nous userons
0 4
= =
d’unit´estellesqueℏ c 1.
= =
Nous supposerons que la densit´e lagrangienne est un scalaire de Lorentz, car c’est
ce qui conduit `a des ´equations du mouvement invariantes de Lorentz. Le champ le plus
simpleestunscalairedeLorentz,r´eel:
φ(x), x x (x ,x ,x ,x )
µ 1 2 3 4
≡ ≡
φ(x) φ(x) ∗.
=
(cid:0) (cid:1)
Ladensit´elagrangiennescalairedeLorentznontrivialelaplussimplequel’onpuisse
construireaveccechampetsesd´eriv´eespremi`eresestdelaforme
L 1(∂ φ)(∂ φ) 1m2φ2, (57)
=−2 µ µ − 2