Theorie linearer Regelsysteme

509 Pages·1973·13.398 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Manfred Thoma (auth.)

Manfred Thoma
Theorie linearer Regelsysteme
Theorie geregelter Systeme
E. Pestel / E. Kollmann
Grundlagen der Regelungstechnik
H. Schlitt
Stochastische Vorgänge in linearen und
nichtlinearen Regelkreisen
H. Schwarz
Einführung in die moderne Systemtheorie
M. Thoma
Theorie linearer Regelsysteme
Manfred Thoma
Theorie
linearer Regelsysteme
Mit 110 Bildern, 71 Beispielen und 150 Übungsaufgaben
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Prof. Dr.-Ing. Man/red Thoma ist Direktor des Instituts für Regelungstechnik
an der Technischen Universität Hannover.
Verlagsredaktion: Al/red Schubert, Willy Ebert
1973
Alle Rechte vorbehalten
Copyright © 197 3 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn GmbH, Braunschweig 1973
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1973
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Umschlaggestaltung : Peter Morys, Wolfenbüttel
ISBN 978-3-663-05228-9 ISBN 978-3-663-05227-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05227-2
v
Vorwort
Die Regelungstheorie hat in den letzten Jahren einen erheblichen Wandel erfahren. Man
denke z.B.lediglich an die immense Anzahl von Arbeiten über strukturoptimale Rege
lungsvorgänge und den damit verbundenen erweiterten mathematischen Aufwand. Wie
stets bei solchen stürmischen Entwicklungen, bilden sich erst nach einem gewissen Reife
prozeß grundlegende Beschreibungs-und Behandlungsmethoden heraus. So hat sich zu
den in der "klassischen" Theorie bewährten Beschreibungsformen, wie z.B. der kom
plexen übertragungsfunktion, der entsprechenden Frequenzgangdarstellung und der
übergangsfunktion, in der modernen Theorie die der Charakterisierung von Systemen
im Zustandsraum gesellt. Für das Verständnis von modernen regelungstheoretischen und
damit auch regelungstechnischen Arbeiten, ist die Kenntnis der grundlegenden Beschrei
bungsformen und ihre Bedeutung unerläßlich. Mit diesem Buch hat sich der Verfasser
die Aufgabe gestellt, praktisch tätigen Regelungstechnikern und fortgeschrittenen Stu
denten der System-und Regelungstechnik einen tieferen Einblick in die mathematischen
Zusammenhänge zu geben und gleichzeitig den Zugang zu den modernen Behandlungs
und Beschreibungsformen von linearen Systemen zu erleichtern.
Bezüglich der Stoffauswahllagen von vornherein zwei "Randbedingungen" fest. Es ist
dies einmal das Erscheinen des Buches innerhalb der Reihe "Theorie geregelter Systeme",
auf die es bezüglich Thematik und Umfang abgestimmt werden mußte. Zum anderen soll
es an den Grundlagen der Regelungstechnik anknüpfen, wie sie seit einigen Jahren an
den deutschen Universitäten und zum Teil auch an Fachhochschulen dargeboten werden.
Diese Grundlagen sind z.B. Gegenstand des in dieser Reihe erschienenen Bandes von
Pestel, E. und Kollmann, E.: Grundlagen der Regelungstechnik. An einigen Stellen des
Buches, vor allen Dingen solchen, die dem Anschluß an die klassische Behandlung und
deren Vertiefung dienen, tritt sicher die Frage auf, warum auf gewisse Punkte besonders
eingegangen wurde und auf andere nicht. Neben einer stets subjektiven Auswahl hat
hierzu die Hochschullehrererfahrung des Verfassers in der Bundesrepublik Deutschland
und auch in den Vereinigten Staaten von Amerika den Ausschlag gegeben.
Es kann nicht das Anliegen eines Buches über Regelungstheorie sein, die bloße Anwen
dung von geeigneten Verfahren in den Vordergrund zu stellen, sondern es muß vielmehr
prinzipielle und tiefergreifende Zusammenhänge aufzeigen. Dies gilt um so mehr, als in
vielen Fällen die verwendeten theoretischen Hilfsmittel rein schematisch, d.h. ohne
Beachtung ihrer zulässigen Grenzen, Anwendung finden. Mit anderen Worten, die mathe
matischen Operationen werden häufig kritiklos ausgeführt und dabei wird gegen die
grundsätzlichen Voraussetzungen verstoßen. Es gibt eine Anzahl von Beispielen, wo ein
solches bedenkenloses Vorgehen falsche Schlüsse bezüglich der praktischen System
untersuchung lieferte, die glücklicherweise in den meisten Fällen zu keinen drastischen
Folgen führten. Wenn dem folgenden Text häufig etwas präzisere mathematische For
mulierungen zugrunde liegen, so kommt es dennoch nicht auf die mathematische Frage-
VI Vorwort
stellung selbst an, sondern auf den Zusammenhang mit dem physikalisch-technischen
Erfahrungsbereich, d.h. auf die Aussagekraft der mathematischen Formulierung für das
reale Geschehen. Soll jedoch eine Lösung ein e sinnvolle Aussagekraft bezüglich einer
technisch-physikalischen Realisierung gewährleisten, dann muß man stets auf die Gültig
keit der mathematischen Schritte achten. Auf der anderen Seite wurde, wegen der engen
Verbindung zum realen Geschehen, bewußt auf eine möglichst elegante und verallge
meinerte mathematische Darstellung verzichtet. Diese Vorgehensweise wird auch noch
dadurch gerechtfertigt, daß die Ausftihrungen auf die in der mathematischen Grundlagen
ausbildung vermittelten Kenntnisse Rücksicht nehmen müssen.
Noch ein Wort zur Theorie selbst. Es dürfte sicher unumstritten sein, daß die Kenntnisse
des Lehrsatzes der Algebra, der besagt, daß ein Polynom noten Grades genau n Wurzeln
aufweist, auch für praktische Untersuchungen äußerst bedeutungsvolle Konsequenzen
hat, wenn er auch keine direkte praktische Anwendung besitzt. Die oftmals gestellte
Frage, wo denn die Theorie in der Praxis Erfolge gebracht hat, weist bereits auf eine ge
wisse Unkenntnis des Fragestellers bezüglich der tieferen Zusammenhänge und Bedeu
tung der Theorie hin. Wesentliche Fortschritte lassen sich meines Erachtens nur dann
erzielen, wenn man über den unmittelbaren Anwendungsbereich hinausblickt. Dazu ge
hört, bei der Behandlung von dynamischen Systemen, auch die Beschäftigung mit den
theoretischen Grundlagen. Das Buch ist den Grundlagen gewidmet, die für ein tieferes
Eindringen in die moderne Betrachtungs-und Behandlungsweise linearer Systeme mit
konzentrierten Parametern unter dem Einfluß von deterministischen Signalen erforder
lich sind. Glücklicherweise kann man viele Systeme mit hinreichender Genauigkeit als
linear oder über weite Bereiche als linearisierbar ansehen. Zum anderen läßt sich in vie
len Fällen die Theorie linearer Systeme zur Untersuchung des "lokalen" Verhaltens von
nichtlinearen Systemen heranziehen, was besonders für das Studium der linearen Theo
rie spricht.
Das Buch ist in sechs, durch römische Ziffern gekennzeichnete Teile gegliedert, von
denen jeder mehrere, mit arabischen Ziffern bezeichnete Abschnitte aufweist; diese
Abschnitte sind zum Teil weiter in Unterabschnitte unterteilt. So bedeutet z.B. 11.7.1
den ersten Unterabschnitt des 7. Abschnittes von Teil 11. Bei Hinweisen auf Abschnitte
innerhalb eines Buchteiles wird auf die römische Kennziffer verzichtet. Jeder der sechs
Teile enthält als Abschluß eine Anzahl von Übungsaufgaben, deren selbsttätige Bearbei
tung dem Leser Auskunft über die Beherrschung des dargebotenen Stoffes geben soll.
Zum anderen wurden sie vielfach auch im Hinblick auf eine Erweiterung bzw. Vertie-
fung des Stoffes ausgewählt. In einigen Fällen enthält daher der Text Hinweise auf
Übungsaufgaben. Auch wenn diese Aufgaben nicht sofort gelöst werden, so ergibt den
noch das Erfassen der Aufgabenstellung bereits wertvolle Anregungen. Neben den Übungs
aufgaben enthält das Buch eine große Anzahl von im Text eingestreuten Beispielen,
deren Anfang und Ende durch dicke Punkte am Rande gekennzeichnet sind. Eine Zu
sammenstellung des verwendeten oder weiterführenden Schrifttums, ist auf den Seiten
486-491 zu finden; Hinweise auf diese Literaturstellen sind in eckige Klammern gesetzt.
Vorwort VII
Der eintUhrende erste Teil enthält, neben der Definition der Linearität, eine grobe
Systemeinteilung nach Signaltypen. Dieses Einteilungsmerkmal wurde vornehmlich aus
praktischen Erwägungen gewählt.
Teil 11 ist der Beschreibung von Systemen mit konzentrierten Parametern durch Differen
tialgleichungen gewidmet. Sie beginnt mit dem Existenz-und Eindeutigkeitssatz fur
lineare Gleichungen, an den sich eine ausführliche Betrachtung über den Charakter der
allgemeinen Lösung von Differentialgleichungen, Integrodifferentialgleichungen sowie
von Differentialgleichungssystemen anschließt. Das Lösungsschema selbst wird dabei als
bekannt vorausgesetzt. Die etwas eingehendere Betrachtung soll jedoch die Einsicht in
die Lösungstheorie vertiefen. Eingehende Kenntnisse über die allgemeine Lösung dieser
Gleichungen "im klassischen Sinne" sind deshalb fur den Ingenieur unerläßlich, da alle
realen Vorgänge im "Zeitbereich" ablaufen; sie lassen daher einen direkten Schluß auf
das wirkliche Geschehen (z.B. bei Messungen) zu.
Im dritten Teil werden mit Hilfe des allgemeinen Transformationsgedankens diese Zeit
darstellungen verallgemeinert. Die ersten beiden Abschnitte dieses Teiles geben einen
Einblick in die Raumdarstellungen und enthalten einige Defmitionen. Sie können jedoch
bedenkenlos von dem Leser übergangen werden, der sich lediglich fur die nachfolgende
Zustandsraumdarstellung interessiert, die mit der Beschreibung von Systemen mittels
Zustandsgleichung (Vektordifferentialgleichungen) beginnt. Diese stellt eine grund
legende Voraussetzung tUr die moderne Regelungstheorie dar. Die Lösung von zeitinva
rianten Systemen sowie ihre Steuer-und Beobachtbarkeit bilden den Schwerpunkt die
ser Betrachtung, an die sich die Lösung von zeitvariablen Differentialgleichungen an
schließt. In diesem Zusammenhang liegt die Frage nahe, ob sich die Einführung der
Zustandsgleichungen und besonders die Definition der Steuer-und Beobachtbarkeit
zumindest fur die klassische Behandlung von dynamischen Systemen überhaupt lohnt?
Abgesehen davon, daß man moderne Abhandlungen, die diese Begriffe zur Voraussetzung
haben, nicht richtig erfassen kann, liefern sie auch im klassischen Fall einen tieferen Ein
blick in die möglichen Systemstrukturen. Die Zustandsraumdarstellung beschreibt näm
lich die Systeme vollständiger als die klassischen Verfahren es vermögen. Dabei ist es
jedoch fur den Regelungstechniker sehr wichtig, daß er diese Begriffe in engem Zusam
menhang mit der Behandlung von realen Systemen sieht; eine bloße mathematische
Betrachtung ist für den praktisch tätigen Wissenschaftler nahezu wertlos.
Dies trifft besonders tUr die im vierten Teil behandelte Laplace-Transformation zu. Sie
überfUhrt zwar die transzendenten Differentialgleichungen in handlichere algebraische
Gleichungen, was allerdings auf Kosten des unmittelbaren Zusammenhanges zum realen
Geschehen geht. Dieser in sich abgeschlossene IV. Teil gibt aus regelungstechnischer
Sicht eine etwas ausfuhrlichere EintUhrung in die Laplace-Transformation und ihre Zu
sammenhänge. Im Buch wird häufig von der Darstellung im Laplaceschen Bildbereich
ausgegangen und dabei auf die Abhandlungen des vierten Teiles verwiesen; falls erfor
derlich, kann dann der Leser die entsprechenden Zusammenhänge nachlesen.
VIII Vorwort
Teil V beginnt mit einer Einftihrung in die verallgemeinerten Funktionen, so z.B. den
tS-Funktionen, denen bei der Systemuntersuchung eine große Bedeutung zukommt.
Auch hier liegt nicht die allgemeinste mathematische Darstellungsform zugrunde, son
dern es wurde ein Zugang gewählt, der hier wegen seiner Anschaulichkeit als besonders
geeignet erscheint. Im anschließenden zweiten Abschnitt werden einige Eigenschaften
von linearen Systemen aufgezeigt. Der dritte Abschnitt stellt den Zusammenhang zwi
schen der komplexen übertragungsfunktion und der Zustandsraumdarstellung her. Der
Vollständigkeit halber wurde im letzten Abschnitt noch kurz auf die Darstellung von
Mehrgrößensystemen eingegangen. Gerade in den letzten Jahren wurden, im Hinblick
auf die Behandlung von Mehrgrößensystemen mit Hilfe von Digitalrechnern, erhebliche
Anstrengungen unternommen. Einen wesentlichen Gesichtspunkt stellen dabei die so
genannten "Minimalrealisierungen" dar. Dieser Entwicklung konnte im vorliegenden
Buch aus zweierlei Gründen nicht voll Rechnung getragen werden. Einmal war das
Manuskript in seinen wesentlichen Teilen bereits vor mehreren Jahren fertiggestellt.
Eine unglückselige Verkettung von verschiedenen Umständen hat diese "Totzeit" bei
der Veröffentlichung bewirkt. Zum anderen hätte ein ausftihrlicheres Eingehen auf
diese Arbeiten den Rahmen dieses Buches weit überschritten.
Den letzten Teil bilden die diskontinuierlichen Systeme. Auch hier wird wieder aus
Gründen der Anschaulichkeit und um die weitgehende Analogie zu den kontinuierlichen
Systemen hervorzuheben, mit der Zeitdarstellung begonnen, anschließend die Z-Trans
formation eingeftihrt und schließlich die Zustandsraumdarstellung behandelt. Um den
Umfang des Buches nicht noch weiter zu vergrößern, wurden die einzelnen Abschnitte
erheblich kürzer abgefaßt, als dies z.B. im IV. und V. Teil geschah. Dieses Vorgehen
läßt sich durch die weitgehenden Analogien rechtfertigen, die besonders die Abtast
systeme mit den kontinuierlichen Systemen aufweisen. Die Entsprechungen gestatten
es vielfach, die Ergebnisse unmittelbar zu übertragen.
Die Abschnitte 11.11, 111.3 bis III.6, V.3 (sowie die Bemerkungen auf den Seiten
343-348) bei den kontinuierlichen und VI.5 bei den diskontinuierlichen Systemen,
bilden eine in sich abgeschlossene Einführung in die Zustandsraumdarstellung. Leser,
die sich vornehmlich für diese moderne Darstellung interessieren, können den übrigen
Text bedenkenlos überschlagen.
Zum Schluß möchte ich noch allen Dank sagen, die auf die eine oder andere Weise am
Entstehen dieses Buches teilhaben. Dazu gehören die anregenden Gespräche mit den
Hörern meiner Vorlesungen und mit meinen Mitarbeitern. Besonders hervorheben
möchte ich in diesem Zusammenhang meine Frau, die das Schreiben des Manuskriptes
besorgte und beim Lesen der Korrekturen viel Geduld aufbrachte sowie Herrn Dipl.-Ing.
H.-D. Zago, für das sorgfältige Zeichnen der Bilder. Weiter möchte ich Herrn Kollegen
Prof. Dr.-Ing. E. Pestei, dem Herausgeber dieser Buchreihe, für seine Anregung zu die
sem Band danken. Nicht zuletzt gilt mein Dank dem Verlag Friedr. Vieweg + Sohn für
die angenehme Zusammenarbeit.
M Thoma
Hannover, Herbst 1972
IX
Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung
1. Allgemeine Bemerkungen
2. Linearität 4
2.1. Definition der Linearität 5
2.2. Lineare Differentialgleichungen 7
3. Einteilung der Systeme 8
4. Übungsaufgaben 15
11. Beschreibung von Systemen durch Differentialgleichungen
1. Einführung 18
2. Existenz und Eindeutigkeiten von Lösungen 20
3. Die homogene Differentialgleichung 21
4. Das Fundamentalsystem 26
4.1. Lineare Abhängigkeit 29
4.2. Gesamtheit der Lösungen 32
4.3. Normiertes Fundamentalsystem 33
5. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung 34
5.1. Charakteristische Gleichung mit Einfachwurzeln 34
5.2. Komplexe Funktionen einer reellen Veränderlichen 35
5.3. Charakteristische Gleichung mit Mehrfachwurzeln 36
6. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 39
7. Diskussion der allgemeinen Lösung 40
7.1. Eigenbewegung und eingeschwungene Bewegung 43
7.2. Harmonische Amegung 45
8. Differentialgleichungen mit unstetigen Eingangsgrößen 47
9. Integrodifferentialgleichungen 50
10. Operatorenmethode zur Auflösung von linearen Differentialgleichungssystemen 54
10.1. Rechenvorschriften zur Auflösung von Differentialgleichungssystemen 56
10.2. Umformungen von BlockschaltbilddarstelJungen 60
10.3. Die Ordnung eines Differentialgleichungssystems 61
11. Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung 64
11.1. Einführung der Zustandsvariablen 66
12. Verallgemeinerte Existenz-und Eindeutigkeitssätze 67
12.1. Differentialgleichung 1. Ordnung 67
12.2. Differentialgleichungssysteme 6&
12.3. Implizite Differentialgleichungen 71
13. Übungsaufgaben 72